同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（1/6）

第二章学习目标 ◆掌握z变换及其收敛域,掌握因果序列的概念及 判断方法 ◆会运用任意方法求z反变换 ◆理解z变换的主要性质 理解z变换与 Laplace/ Fourier变换的关系 ◆掌握序列的 Fourier变换并理解其对称性质 ◆掌握离散系统的系统函数和频率响应,系统函数 与差分方程的互求,因果/稳定系统的收敛域

第二章学习目标  掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法  会运用任意方法求z反变换  理解z变换的主要性质  理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系  掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质  掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域

本章作业练习 P83 ◆1(2)(3) ◆3(1)(2 ◆6 ◆7(1)(3) ◆10(a)(b)(c) ◆11(a)(b) ◆13 14 17

本章作业练习 P83:  1(2)(3)  2  3(1)(2)  6  7(1)(3)  9  10(a)(b)(c)  11(a)(b)  13  14  17

第二章z变换 ◆时域分析方法 ◆变换域分析方法 连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换

第二章 z变换  时域分析方法  变换域分析方法： 连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换

交换的定义及收放域 1、z变换的定义 序列x(n)的z变换定义为 X()=Z[x(n)=∑x(m)=n z是复变量,所在的复平面称为z平面 例: X(z)=2z+1+1.52-22+0.5234

一、z变换的定义及收敛域 1、z变换的定义 序列x(n)的z变换定义为： ( ) [ ( )] ( ) n n X z ZT x n x n z  − =− = =  z 是复变量，所在的复平面称为z平面 例： 1 2 3 X z z z z z ( ) 2 1 1.5 +0.5 − − − = + + −

2、z变换的收敛域与零极点 ◆对于任意给定序列x(n),使其z变换Ⅹ(z) 收敛的所有z值的集合称为Ⅹ(z)的收敛域。 ◆级数收敛的充要条件是满足绝对可和 ∑|x(n)=-=M X(z)的极点:使X(z)→>∞的点, 即Q(z)=0和当P(=阶次高于Q(=)时P(z)→∞

2、z变换的收敛域与零极点  对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。  级数收敛的充要条件是满足绝对可和 ( ) n n x n z M  − =−  =   ( ) ( ) ( ) P z X z Q z 令 = X(z) X(z)=0 P z Q z P z Q z ( ) 0 ( ) ( ) ( ) = →  则 的零点：使 的点， 即 和当 阶次高于 时 X(z) X(z) Q z P z Q z P z ( ) 0 ( ) ( ) ( ) →  = →  的极点：使 的点， 即 和当 阶次高于 时

Q1)有限长序列 x(n)n1≤n≤n x(n 0其它n 其Z变换:X(z) r(n) jIm[z] RQc至少为:0<<∞

1）有限长序列 1 2 ( ) ( ) 0 x n n n n x n n    =   其它 2 1 Z ( ) ( ) n n n n X z x n z− = 其 变换： =  Roc z 至少为： 0    Re[ ]z j z Im[ ] 0

0 ()=x(n)2+x(n1+1)=01+)+…+x(-1)z +x(O)0+x(1)z1+…+x(n2-1)z2+x(n2)z 0-2→ Rc:00 →>∝ Roc:0≤<∞

n n 1 2   0 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) n n X z x n z x n z x z − − + = + + + + −2 2 0 1 ( 1) 2 2 (0) (1) ( 1) ( ) n n x z x z x n z x n z − − − − + + + + − + 2 1 0 : 0 n n Roc z − − →   →      0   n n 1 2 0 0 : 0 n n Roc z − − →   →     0 0 : 0 n n Roc z − − →  →      n n 1 2   0

2)右边序列 3 (n)n≥n s2 x(n 0n<n1 0 5 其Z变换:X()=2x(m)"+∑x(m)mn n=n1 前式Roc:0≤2<∞ ↑lm[-] 后式Roc:R<|z|≤∞ 当n1≥0时,Roc:R-<|≤ R Re[-] 当n<O时,ROc:R<2|< n≥0 包括z=∞处

2）右边序列 1 1 ( ) ( ) 0 x n n n x n n n   =    1 1 0 Z ( ) ( ) ( ) n n n n n X z x n z x n z −  − − = = 其 变换： = +   前式Roc: 0    z Roc: x 后式 R z −    1 1 0 : 0 : x x n Roc R z n Roc R z − −          当 时， 当 时， Re[ ]z j z Im[ ] 0 x R − 包括 处 z =  1 n  0

Q因果序列 ◆n1=0的右边序列 ◆RoC:R<z|≤∞ ◆因果序列的z变换必在∞处收敛 ◆在∞处收敛的z变换, ↑Im[] 其序列必为因果序列 R Reel 包括z=∞处

因果序列  的右边序列，  Roc:  因果序列的z变换必在 处收敛  在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列 n1 = 0 x R z −      Re[ ]z j z Im[ ] 0 x R − 包括 处 z = 

3)左边序列 0n> X(n x(n 其变换:X(=)=∑x(n)=+2x(n)2 n=-00 n=1 前式Roc:0≤|O时,Roc:0<<R 0

3）左边序列 2 2 0 ( ) ( ) n n x n x n n n   =    0 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n z X z x n z x n z − − =− = 其 变换： = +   Roc: 0 x 前式   z R + 后式 Roc: 0    z 2 2 0 : 0 0 : 0 x x n Roc z R n Roc z R + +        当 时， 当 时， Re[ ]z j z Im[ ] 0 x R + n2  0