同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 离散傅里叶变换（5/7）

Q六、抛能交一颜域理论 时域抽样定理:在满足奈奎斯特定理条件下,时域抽样 信号可以不失真地还原原连续信号 频域抽样呢? 抽样条件? 内插公式?

六 、抽样z变换—频域抽样理论 时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样 信号可以不失真地还原原连续信号。 频域抽样呢？ 抽样条件？ 内插公式？

任意绝对可和的非周期序列x(n)其z变换 X()=∑x(m) 对(z)在单位圆上N点等间隔抽样,得周期序列: X()=X()n=∑x(mW 1=-00 分析:X(k)→x(m)?

( ) ( ( ) ( ) ) k N nk z W N n X k N W z n X X z  x        对 在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列： X (k)  x(n) ?? 分析：  ( ) z ( ) ( ) n n x n X z x n z      任意绝对可和的非周期序列 ，其 变换：

x(n)为X(k)的DFS: xN(n)=DFS[()=∑X(k N∑L∑x(m)xJ w(m-n)k ∑x(m)∑WXm1 h=-00 N ∑x(n+rN) 4之少 (m-nk ∫1m=n+Nr为任意整数 0其它m

( ) ( ) Nx n X k IDFS  令 为 的 ： 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) N nk N N k x n IDFS X k X k W N          1 0 1 [ ( ) ] N mk nk N N k m x m W W N         1 ( ) 0 1 ( )[ ] N m n k N m k x m W N         ( ) r x n rN      1 ( ) 0 1 1 0 N m n k N k m n rN W N m           其它 r为任意整数

由频域抽样序列X(k)还原得到的周期序列 |是原非周期序列x的周期延拓序列,其 周期为频域抽样点数N 所以:时域抽样造成频域周期延拓 同样,频域抽样造成时域周期延拓 ◆x(n)为无限长序列混叠失真 ◆x(n)为有限长序列,长度为M 1)N≥M,不失真 2)N<M,混叠失真

¨ x(n)为无限长序列—混叠失真 ¨ x(n)为有限长序列，长度为M X (k) 由频域抽样序列  还原得到的周期序列 是原非周期序列 的周期延拓序列，其 周期为频域抽样点数N。 x(n) 所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓 1）N  M，不失真 2）N  M，混叠失真

Q频率采样定理 若序列长度为M,则只有当频域采样点数 N≥M 时,才有 I(nR,(n=IDFSLX(KR(n)=x(n) 即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号 x(n),否则产生时域混叠现象

频率采样定理 若序列长度为M，则只有当频域采样点数: 时，才有 即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。 N  M ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N N x n R n  IDFS X k R n  x n   X (k) x(n)

用频域采样x(k)表示X(=)的内插公式 M点有限长序列x(n,频域N点等间隔抽样,且 N≥M 遏X(=)=∑(m)”=∑x(n)= ∑ N ∑X(k)WKx N ∑X(k)∑W k=0 W=1-=(X(k N ∑X(k) 1-W k-1 N k=0 1-W

1 1 0 1 ( ) 1 N N k k N z X k N W z          M x(n) N N  M 点有限长序列 ，频域 点等间隔抽样，且 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) M N n n n n X z x n z x n z           1 1 0 0 1 ( ) N N nk n N n k X k W z N                1 1 0 0 1 ( ) N N nk n N k n X k W z N                1 1 0 1 1 ( ) 1 N Nk N N k k N W z X k N W z           用频域采样X (k)表示 X (z)的内插公式

内插公式:X(z)= X(k) N k-1 k=0 内插函数:中()=11-zN N1-W-k--l jImIl 则内插公式简化为: :|=1 X()=∑X(k)(=) k=0 Relal WON-D) 零点:z=eN,r=0,12,N 极点:z=eN,0(N-1阶

1 1 0 1 ( ) ( ) 1 N N k k N z X k X z N W z         内插公式：  1 1 1 ( ) 1 N k k N z z N W z         内插函数： 1 0 ( ) ( ) ( ) N k k X z X k z      则内插公式简化为： 2 0,1,..., 1 j r N z e r N  零点：  ，   2 0 ( -1) j k N z e N  极点：  ， 阶

Q用频城采样X)表示x()的内插公式 X(el)=X(=l-celo=2X(k) (elo) k=0 O元 SIn k (N-1) Φ(e)=Φk( N O丌 sIn k N 内插函数: ON SIn P(o) O SIn

( ) ( ) j j k k z e e z       ( ) j X e 用频域采样 X (k) 表示  的内插公式 1 ( 1) 2 sin 1 2 sin 2 k N j N j N N k N e e N k N                             1 0 ( ) ( ) j ( ) ( ) N j j k z e k X e X z  X k e          1 2 sin 1 2 ( ) sin 2 N j N e N                            内插函数：

2丌 2丌 argl(o) 2π 图3-13插值函数φ(o)的幅度特性与相位特性(=5)

内插公式 (e)=∑X(k)(O k 2丌 O k=0 2丌 P(a-k) N 2丌 00 ≠k N X(eio) X(0)项() X()(-y)

1 0 2 ( ) ( ) ( ) N j k X e X k k N          内插公式： 2 1 2 ( ) 2 0 k i k N k N i i k N                     