Q六、抛能交一颜域理论 时域抽样定理:在满足奈奎斯特定理条件下,时域抽样 信号可以不失真地还原原连续信号 频域抽样呢? 抽样条件? 内插公式?
六 、抽样z变换—频域抽样理论 时域抽样定理:在满足奈奎斯特定理条件下,时域抽样 信号可以不失真地还原原连续信号。 频域抽样呢? 抽样条件? 内插公式?
任意绝对可和的非周期序列x(n)其z变换 X()=∑x(m) 对(z)在单位圆上N点等间隔抽样,得周期序列: X()=X()n=∑x(mW 1=-00 分析:X(k)→x(m)?
( ) ( ( ) ( ) ) k N nk z W N n X k N W z n X X z x 对 在单位圆上 点等间隔抽样,得周期序列: X (k) x(n) ?? 分析: ( ) z ( ) ( ) n n x n X z x n z 任意绝对可和的非周期序列 ,其 变换:
x(n)为X(k)的DFS: xN(n)=DFS[()=∑X(k N∑L∑x(m)xJ w(m-n)k ∑x(m)∑WXm1 h=-00 N ∑x(n+rN) 4之少 (m-nk ∫1m=n+Nr为任意整数 0其它m
( ) ( ) Nx n X k IDFS 令 为 的 : 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) N nk N N k x n IDFS X k X k W N 1 0 1 [ ( ) ] N mk nk N N k m x m W W N 1 ( ) 0 1 ( )[ ] N m n k N m k x m W N ( ) r x n rN 1 ( ) 0 1 1 0 N m n k N k m n rN W N m 其它 r为任意整数
由频域抽样序列X(k)还原得到的周期序列 |是原非周期序列x的周期延拓序列,其 周期为频域抽样点数N 所以:时域抽样造成频域周期延拓 同样,频域抽样造成时域周期延拓 ◆x(n)为无限长序列混叠失真 ◆x(n)为有限长序列,长度为M 1)N≥M,不失真 2)N<M,混叠失真
¨ x(n)为无限长序列—混叠失真 ¨ x(n)为有限长序列,长度为M X (k) 由频域抽样序列 还原得到的周期序列 是原非周期序列 的周期延拓序列,其 周期为频域抽样点数N。 x(n) 所以:时域抽样造成频域周期延拓 同样,频域抽样造成时域周期延拓 1)N M,不失真 2)N M,混叠失真
Q频率采样定理 若序列长度为M,则只有当频域采样点数 N≥M 时,才有 I(nR,(n=IDFSLX(KR(n)=x(n) 即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号 x(n),否则产生时域混叠现象
频率采样定理 若序列长度为M,则只有当频域采样点数: 时,才有 即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ,否则产生时域混叠现象。 N M ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N N x n R n IDFS X k R n x n X (k) x(n)
用频域采样x(k)表示X(=)的内插公式 M点有限长序列x(n,频域N点等间隔抽样,且 N≥M 遏X(=)=∑(m)”=∑x(n)= ∑ N ∑X(k)WKx N ∑X(k)∑W k=0 W=1-=(X(k N ∑X(k) 1-W k-1 N k=0 1-W
1 1 0 1 ( ) 1 N N k k N z X k N W z M x(n) N N M 点有限长序列 ,频域 点等间隔抽样,且 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) M N n n n n X z x n z x n z 1 1 0 0 1 ( ) N N nk n N n k X k W z N 1 1 0 0 1 ( ) N N nk n N k n X k W z N 1 1 0 1 1 ( ) 1 N Nk N N k k N W z X k N W z 用频域采样X (k)表示 X (z)的内插公式
内插公式:X(z)= X(k) N k-1 k=0 内插函数:中()=11-zN N1-W-k--l jImIl 则内插公式简化为: :|=1 X()=∑X(k)(=) k=0 Relal WON-D) 零点:z=eN,r=0,12,N 极点:z=eN,0(N-1阶
1 1 0 1 ( ) ( ) 1 N N k k N z X k X z N W z 内插公式: 1 1 1 ( ) 1 N k k N z z N W z 内插函数: 1 0 ( ) ( ) ( ) N k k X z X k z 则内插公式简化为: 2 0,1,..., 1 j r N z e r N 零点: , 2 0 ( -1) j k N z e N 极点: , 阶
Q用频城采样X)表示x()的内插公式 X(el)=X(=l-celo=2X(k) (elo) k=0 O元 SIn k (N-1) Φ(e)=Φk( N O丌 sIn k N 内插函数: ON SIn P(o) O SIn
( ) ( ) j j k k z e e z ( ) j X e 用频域采样 X (k) 表示 的内插公式 1 ( 1) 2 sin 1 2 sin 2 k N j N j N N k N e e N k N 1 0 ( ) ( ) j ( ) ( ) N j j k z e k X e X z X k e 1 2 sin 1 2 ( ) sin 2 N j N e N 内插函数: