同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（习题讲解）

第二章习题讲解

第二章习题讲解

2-1求以下序列的z变换并画出零极点图和 收敛域: 2)x(m) u(n) 2 解:Z[mx0) n=-00 m 零点:z=0 1/2 极点:z Re[-] 收敛域:|

2-1求以下序列的z 变换并画出零极点图和 收敛域： 解：  ( ) ( )  n n ZT x n x n z  − =− =  1 1 1 2 z −  零点： z = 0 极点： 1 2 z = 1 ( ) ( ) 2 n x n u n   =     (2) 0 1 2 n n n z  − =   =      1 2 z z = − 1 1 1 1 2 z − = − 收敛域： 1 2 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 1/ 2

O* zla0)2 (3)x(n)= (-n-1) 2 x(n)=∑ 2 n=-00 2z 2< m 零点:z=0 极点:z Re[=] 收敛域:

解：   1 1 ( ) ( ) 2 n n n n n ZT x n x n z z  − − − =− =−   = = −      1 ( ) ( 1) 2 n x n u n   = − − −     （3） 零点： z = 0 极点： 1 2 z = 收敛域： 1 2 z  1 2 n n n z  = = −  2 1 2 1 2 z z z z = − = − − 2 1 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 1/ 2

2-2假如x(n)的变换代数表示式是下式, 问ⅹ(=)可能有多少不同的收敛域,它们分 别对应什么序列? X(=) 4 3 1+-z 21+x-1+2 8

( ) 2 2 1 2 1 1 4 1 5 3 1 1 4 4 8 z X z z z z − − − − − =       + + +    x n( ) X z( ) 2-2 假如 的z变换代数表示式是下式， 问 可能有多少不同的收敛域，它们分 别对应什么序列？

解:对X()的分子和分母进行因式分解,得 4 1+z-2‖1+ 4 8 1+ 1-21+ 1+ 2 2

解：对 X z( ) 的分子和分母进行因式分解，得 ( ) 2 2 1 2 1 1 4 1 5 3 1 1 4 4 8 z X z z z z − − − − − =       + + +    1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 4 2 4 z z z z z − − − − −       − +    =         + + +     1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 4 z jz jz z − − − − − =         + − +    

X(二) 3 1+-J2 J2 1+ 4 零点: 0极点: 3 224 所以X(x)的收敛域为 Im[-] 为左边序列 3/4 0.5 Relet

1 1 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 3 1 1 1 2 2 4 z X z jz jz z − − − − − =             + − +       1 , 0 2 零点：z = 3 2 2 4 j j 极点： ，- ，- z = 1 1 2 ） ，为左边序列 z  所以 的收敛域为： X z( ) Re[ ]z j z Im[ ] 0 −3/ 4 j /2 − j /2 0.5

jm[2] 为双边序列 2 Rez t[=] 3) 3 为右边序列 05 3/4(0 Rez

1 3 2 2 4 ） ，为双边序列   z 3 3 4 ） ，为右边序列 z  Re[ ]z j z Im[ ] 0 −3/ 4 j /2− j /2 0.5 Re[ ]z j z Im[ ] −3/ 4 0 j /2 − j /2 0.5

2-3用长除法,留数定理,部分分式法求以下X(=) 的z反变换 1)X(x)=2 解:①长除法 X(=) 1+-z-11 4

1 2 1 1 2 ( ) 1 1 4 z X z z − − − = − （1） 1 2 z  解：①长除法 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 z z z z − − − − − = =    + − +       2-3 用长除法，留数定理，部分分式法求以下 的z反变换 X z( ) 1 2 1 1 2 ( ) 1 1 4 z X z z − − − = −

2由Roc判定x(m)是 右边序列,用长 1+-z 除法展成z的负 幂级数,分子分 1+-z 母按z的降幂排 列 X(二)=1 + ∑ .x(n) uln 2

1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 1 2 4 1 2 z z z z z z − − − − − − + + − − − 1 1 1 2 1 2 4 z z − − 由Roc判定x(n)是 − + + 右边序列，用长 除法展成z的负 幂级数，分子分 母按z的降幂排 列 1 1 1 2 ( ) 1 2 4 X z z z − − = − + + 0 1 2 n n n z  − =   = −     1 ( ) ( ) 2 n x n u n    = −   

②留数法 ROC:|>又imX(=)=1即∞处X()收敛 x(n)为因果序列即x(m)=0,n<0 当n≥0时,F(=)=X()21_2 F(=)在围线c内只有一个 jIm[z 单阶极点 2 0.5 Rely

1 : lim ( ) 1 ( ) 2 z ROC z X z X z →   =  又 即 处 收敛 ②留数法  =  x n x n n ( ) ( ) 0 0 为因果序列 即 ， 当 n  0 时， 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 n n n z z F z X z z z z − − − = = = + + 在围线c内只有一个 单阶极点 1 2 z = − F z( ) Re[ ]z j z Im[ ] 0 C −0.5