Q四,序处与连续时信号的 Laplace交换、F ourier 交换的关系 序列的z变换:X(n)→>X(z) 连续时间信号的 Laplace变换:x2(1)→Xa(s) 连续时间信号的 Fourier/变换:x(t)→X(j2)
四 、序列的z变换与连续时间信号的 Laplace变换、Fourier变换的关系 序列的z变换：x(n)X(z) ( ) ( ) a a 连续时间信号的Lap x t X s lace变换： ( ) ( ) a a 连续时间信号的Fourier变换：x t X j
1、序列的z变换&理想抽样信号的 Laplace变换 理想抽样信号:()=∑x1(n)(-m) n=-00 其 Laplace变换: Xa s)=i(te sdt ∑x(m7)6(t-mn)e=obt n=-00 ∑」x(m)e"o(-m) (nt)e
1、序列的z变换&理想抽样信号的 Laplace变换 理想抽样信号： ˆ ( ) ˆ ( ) st Xa a s x t e dt ˆ ( ) ( ) ( ) a a n x t x nT t nT ( ) ( ) st a n x nT t nT e dt 其Laplace变换： ( ) ( ) st a n x nT e t nT dt ( ) snT a n x nT e
抽样序列:x(m)=xn(mT 其z变换:X(=)=∑x2(m7)=n n=-00 比较理想抽样信号的 Laplace变换: xa(s)=∑x2(n7)em 得 当z=e时,X(x)=X(s)
( ) ( ) a 抽样序列： x n x nT ( ) ( ) n a n X z x nT z ˆ ( ) ( ) sT a 当z e 时，X z X s ˆ ( ) ( ) snT a a n X s x nT e 其z变换： 比较理想抽样信号的Laplace变换： 得：
H2=e 时 抽样序列的z变换一理想抽样信号的 Laplace变换 X(z)==X(e)=X(s) 是复平面s平面到z平面的映射 s平面:s=a+2 (直角坐标) e°-a(a+j9)r T iQT z平面:z=re 2三 (极坐标) 0=QT
z平面： （极坐标） j z re sT ( j )T T j T e e e e j z re T r e T ˆ ( ) sT ( ) ( ) sT X z e a z X e X s 即： 是复平面s平面到z平面的映射： s j (直角坐标） s平面： 抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换 sT 当z e 时
S平面 Z平面 G=0虚轴 r=1单位圆 0右半平面r>1单位圆外部 ↑ jIm/z/ s平面 z平面 Re/z/ 图2-170分别映射成r1
T r e σ >0 右半平面 r>1 单位圆外部 σ <0 左半平面 r<1 单位圆内部 σ =0 虚轴 r=1 单位圆 S平面 Z平面
0=T S平面 Z平面 g2=0实轴 =0正实轴 g=9。平行直线 O=920T辐射线 g:-丌/T→丌/T :-丌→元 9:-3n/7->-丌/T (:-丌→)丌 丌/T→3丌/T j32 37/T 丌T s平面到z平面的 1 Re// 映射是多值映射 图2-18
s平面到z平面的 映射是多值映射。 T Ω =Ω0 平行直线 ω=Ω0T 辐射线 Ω =0 实轴 ω=0 正实轴 S平面 Z平面 Ω: /T /T Ω: 3 /T /T /T 3 /T ω: ω:
当z=e“(时,X(x)=X(s) 而x(s)=∑X(S-jg2,) k=-00 2兀 X(=) ∑X(S-g2) -0
ˆ ( ) ( ) sT a 当z e 时，X z X s 1 ˆ ( ) ( ) a a s k X s X s jk T 而 1 1 2 ( ) sT ( ) z e a s a k k X z X s jk X s j k T T T
2、序列的z变换&理想抽样信号的 Fourier变换 Fourier变换是 Laplace变换在虚轴上的特例。 即:s=j 映射到z平面为单位圆 e jQ2T X(=) e27 X(e)=X0(j92) Xa(s)s=ir 抽样序列在单位圆上的z变换 其理想抽样信号的 Fourier变换
2、序列的z变换&理想抽样信号的 Fourier变换 抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换 ˆ ( ) j T ( ) ( ) j T X z e a z X e X j ˆ ( ) Xa s j s Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ j T z e 映射到z平面为单位圆
序列的 Fourie变换X(e0) 单位圆上序列的z变换 X(e)=X(= 数字域频率:O=ΩT X(e=X( ∑X2(A2-jkg2,) T 2兀k 2丌 为周期 -00
序列的Fourier变换 单位圆上序列的z变换 ( ) j X e ( ) ( ) j j z e X e X z 数字域频率： T 1 ( ) a s k X j jk T 2 s T 为周期 1 2 a k k X j T T ˆ ( ) ( ) j T X a e X j
