同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（4/6）

Q四,序处与连续时信号的 Laplace交换、F ourier 交换的关系 序列的z变换:X(n)→>X(z) 连续时间信号的 Laplace变换:x2(1)→Xa(s) 连续时间信号的 Fourier/变换:x(t)→X(j2)

四 、序列的z变换与连续时间信号的 Laplace变换、Fourier变换的关系 序列的z变换：x(n)X(z) ( ) ( ) a a 连续时间信号的Lap x t  X s lace变换： ( ) ( ) a a 连续时间信号的Fourier变换：x t  X j

1、序列的z变换&理想抽样信号的 Laplace变换 理想抽样信号:()=∑x1(n)(-m) n=-00 其 Laplace变换: Xa s)=i(te sdt ∑x(m7)6(t-mn)e=obt n=-00 ∑」x(m)e"o(-m) (nt)e

1、序列的z变换&理想抽样信号的 Laplace变换 理想抽样信号： ˆ ( ) ˆ ( ) st Xa a s x t e dt      ˆ ( ) ( ) ( ) a a n x t x nT  t nT      ( ) ( ) st a n x nT  t nT e dt          其Laplace变换： ( ) ( ) st a n x nT e  t nT dt          ( ) snT a n x nT e     

抽样序列:x(m)=xn(mT 其z变换:X(=)=∑x2(m7)=n n=-00 比较理想抽样信号的 Laplace变换: xa(s)=∑x2(n7)em 得 当z=e时,X(x)=X(s)

( ) ( ) a 抽样序列： x n  x nT ( ) ( ) n a n X z x nT z      ˆ ( ) ( ) sT a 当z  e 时，X z  X s ˆ ( ) ( ) snT a a n X s x nT e      其z变换： 比较理想抽样信号的Laplace变换： 得：

H2=e 时 抽样序列的z变换一理想抽样信号的 Laplace变换 X(z)==X(e)=X(s) 是复平面s平面到z平面的映射 s平面:s=a+2 (直角坐标) e°-a(a+j9)r T iQT z平面:z=re 2三 (极坐标) 0=QT

z平面： （极坐标） j z re   sT ( j )T T j T e e e e        j z re   T r e T       ˆ ( ) sT ( ) ( ) sT X z e a z X e X s    即： 是复平面s平面到z平面的映射： s    j (直角坐标） s平面： 抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换 sT 当z  e 时

S平面 Z平面 G=0虚轴 r=1单位圆 0右半平面r>1单位圆外部 ↑ jIm/z/ s平面 z平面 Re/z/ 图2-170分别映射成r1

T r e   σ >0 右半平面 r>1 单位圆外部 σ <0 左半平面 r<1 单位圆内部 σ =0 虚轴 r=1 单位圆 S平面 Z平面

0=T S平面 Z平面 g2=0实轴 =0正实轴 g=9。平行直线 O=920T辐射线 g:-丌/T→丌/T :-丌→元 9:-3n/7->-丌/T (:-丌→)丌 丌/T→3丌/T j32 37/T 丌T s平面到z平面的 1 Re// 映射是多值映射 图2-18

s平面到z平面的 映射是多值映射。   T Ω =Ω0 平行直线 ω=Ω0T 辐射线 Ω =0 实轴 ω=0 正实轴 S平面 Z平面 Ω:  /T  /T Ω: 3 /T   /T  /T  3 /T ω:   ω:  

当z=e“(时,X(x)=X(s) 而x(s)=∑X(S-jg2,) k=-00 2兀 X(=) ∑X(S-g2) -0

ˆ ( ) ( ) sT a 当z  e 时，X z  X s 1 ˆ ( ) ( ) a a s k X s X s jk T   而     1 1 2 ( ) sT ( ) z e a s a k k X z X s jk X s j k T T T                   

2、序列的z变换&理想抽样信号的 Fourier变换 Fourier变换是 Laplace变换在虚轴上的特例。 即:s=j 映射到z平面为单位圆 e jQ2T X(=) e27 X(e)=X0(j92) Xa(s)s=ir 抽样序列在单位圆上的z变换 其理想抽样信号的 Fourier变换

2、序列的z变换&理想抽样信号的 Fourier变换 抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换 ˆ ( ) j T ( ) ( ) j T X z e a z  X e X j      ˆ ( ) Xa s j s    Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ j T z e  映射到z平面为单位圆 

序列的 Fourie变换X(e0) 单位圆上序列的z变换 X(e)=X(= 数字域频率:O=ΩT X(e=X( ∑X2(A2-jkg2,) T 2兀k 2丌 为周期 -00

序列的Fourier变换 单位圆上序列的z变换 ( ) j X e  ( ) ( ) j j z e X e X z     数字域频率：  T 1 ( ) a s k X j jk T        2 s T    为周期 1 2 a k k X j T T              ˆ ( ) ( ) j T X a e X j    