Q三、z交换的基本性质与定理 1、线性 ZTIx(n)]=X(=)R <k<R Z[y(n)=Y()R<|<R nu ZAx(n)+by(n)1=aX(z)+6Y(z) a,b为任意常数 max(R,R)=R<kR,=min(R,,)
三、z变换的基本性质与定理 1、线性 若 ZT[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z) a,b为任意常数 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R [ ( )] ( ) y y ZT y n Y z R z R max( , ) min( , ) x y x y R R R z R R R 则
Q2、序列的移位 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则z7x(n-m)=mX()m为任意整数 R<=|<R
2、序列的移位 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R [ ( )] ( ) m ZT x n m z X z m为任意整数 x x R z R 则
例:x(m)=l(m)-l(n-3,求X(=) Aif X(z)=ZT[u(n)-u(n-3) =Z[v(n)-Z[(n-3) > +z+1 0
例:x(n) u(n) u(n 3),求X (z) 解:X (z) ZT[u(n) u(n 3)] ZT[u(n)] ZT[u(n 3)] 3 1 1 1 z z z z z z 3 2 1 ( 1) z z z 2 2 1 0 z z z z
3、乘以指数序列 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则zTax(n)=X a为任意常数 R 证:zT[a"x(m)=∑a"x(m)z r(n n=-00 C R R R< R
3、乘以指数序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R [ ( )] n z ZT a x n X a a为任意常数 x x a R z a R [ ( )] ( ) n n n n ZT a x n a x n z ( ) n n z z x n X a a x x x x z R R a R z a R a 则 证:
Q4、序列的线性加权(z域求导数) 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则zmx)=:ax(=)R<<R 同理:Z[n2x(mn)]= ITIn.nx((n) 2{Z[nx(n)} dz d dX(z) dz
4、序列的线性加权(z域求导数) 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R [ ( )] ( ) d ZT nx n z X z dz x x R z R 2 ZT[n x(n)] ZT[n nx(n)] { [ ( )]} ( ) d z ZT nx n dz d dX z z z dz dz 则 同理:
证:X(z)= x(n)2 dx(z) d v x(n) n dz dz 1=-00 dz x(n-nz nx(n) z 1=-0 1=-00 ur(n dX(=) ZTInx(n)I R<|<R
( ) ( ) n n X z x n z 证: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n dX z d d x n z x n z dz dz dz 1 1 ( )( ) ( ) n n n n x n n z z nx n z 1 z ZT[nx(n)] ( ) [ ( )] x x dX z ZT nx n z R z R dz
5、共轭序列 若Z[x(m)=X(x)R<<R 则Zx(n)=X(z)R<|<R 证:zx()=∑x(n”=∑[x() X(2) R <=k<R
5、共轭序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R * * * ZT[x (n)] X (z ) x x R z R * * * * [ ( )] ( ) [ ( )( ) ] n n n n ZT x n x n z x n z * * X (z ) x x R z R 则 证:
6、翻褶序列 若Z[x(n)=X(=)R<|<R x(-n R R 证:Z[x(m)=∑x(-n)"=∑x(n)= (n(z-)"=X R <R→ R R
6、翻褶序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n X z R z R 1 ZT[x( n)] X z 1 1 x x z R R 则 [ ( )] ( ) ( ) n n n n ZT x n x n z x n z 证: 1 1 ( )( ) n n x n z X z 1 1 1 x x x x R R z z R R
7、初值定理 对于因果序列x(n)有 lim X(z=xo) 证:因为x(n)为因果序列 X(2)=∑ x(0)+x(1)z1+x(2)z2+ imX(=)=x(0 →)0
7、初值定理 证:因为x(n)为因果序列 ( ) lim ( ) (0) z x n X z x 对于因果序列 ,有 0 ( ) ( ) ( ) n n n n X z x n z x n z 1 2 x(0) x(1)z x(2)z lim ( ) (0) z X z x
8、终值定理 设x(m)为因果序列,且X(z)ZTx(n)的极 点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1 处可有一阶极点),则 limx(n)=lim[(z-1)X(zI n→)0 z→1 x(∞)=limx(m)=lim[(-1)X(=)=ReX(=)]=1 n→00 2→
8、终值定理 设x(n)为因果序列,且X(z)=ZT[x(n)]的极 点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1 处可有一阶极点),则: 1 lim ( ) lim[( 1) ( )] n z x n z X z 1 1 ( ) lim ( ) lim[( 1) ( )] Re [ ( )] z n z x x n z X z s X z