同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（3/6）

Q三、z交换的基本性质与定理 1、线性 ZTIx(n)]=X(=)R <k<R Z[y(n)=Y()R<|<R nu ZAx(n)+by(n)1=aX(z)+6Y(z) a,b为任意常数 max(R,R)=R<kR,=min(R,,)

三、z变换的基本性质与定理 1、线性 若 ZT[ax(n)  by(n)]  aX (z)  bY (z) a，b为任意常数 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  [ ( )] ( ) y y ZT y n Y z R   z  R  max( , ) min( , ) x y x y R  R   R  z  R  R  R  则

Q2、序列的移位 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则z7x(n-m)=mX()m为任意整数 R<=|<R

2、序列的移位 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  [ ( )] ( ) m ZT x n m z X z    m为任意整数 x x R   z  R  则

例:x(m)=l(m)-l(n-3,求X(=) Aif X(z)=ZT[u(n)-u(n-3) =Z[v(n)-Z[(n-3) > +z+1 0

例：x(n)  u(n)  u(n  3)，求X (z) 解：X (z)  ZT[u(n)  u(n  3)]  ZT[u(n)] ZT[u(n  3)] 3 1 1 1 z z z z z z       3 2 1 ( 1) z z z   2 2 1 0 z z z z    

3、乘以指数序列 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则zTax(n)=X a为任意常数 R 证:zT[a"x(m)=∑a"x(m)z r(n n=-00 C R R R< R

3、乘以指数序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  [ ( )] n z ZT a x n X a        a为任意常数 x x a R   z  a R  [ ( )] ( ) n n n n ZT a x n a x n z      ( ) n n z z x n X a a                   x x x x z R R a R z a R a          则 证：

Q4、序列的线性加权(z域求导数) 若Z[x(m=X(x)R<|<R 则zmx)=:ax(=)R<<R 同理:Z[n2x(mn)]= ITIn.nx((n) 2{Z[nx(n)} dz d dX(z) dz

4、序列的线性加权（z域求导数） 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  [ ( )] ( ) d ZT nx n z X z dz    x x R   z  R  2 ZT[n x(n)]  ZT[n nx(n)] { [ ( )]} ( ) d z ZT nx n dz d dX z z z dz dz            则 同理：

证:X(z)= x(n)2 dx(z) d v x(n) n dz dz 1=-00 dz x(n-nz nx(n) z 1=-0 1=-00 ur(n dX(=) ZTInx(n)I R<|<R

( ) ( ) n n X z x n z    证：   ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n dX z d d x n z x n z dz dz dz           1 1 ( )( ) ( ) n n n n x n n z z nx n z               1 z ZT[nx(n)]    ( ) [ ( )] x x dX z ZT nx n z R z R dz       

5、共轭序列 若Z[x(m)=X(x)R<<R 则Zx(n)=X(z)R<|<R 证:zx()=∑x(n”=∑[x() X(2) R <=k<R

5、共轭序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  * * * ZT[x (n)]  X (z ) x x R   z  R  * * * * [ ( )] ( ) [ ( )( ) ] n n n n ZT x n x n z x n z           * *  X (z ) x x R   z  R  则 证：

6、翻褶序列 若Z[x(n)=X(=)R<|<R x(-n R R 证:Z[x(m)=∑x(-n)"=∑x(n)= (n(z-)"=X R <R→ R R

6、翻褶序列 若 [ ( )] ( ) x x ZT x n  X z R   z  R  1 ZT[x( n)] X z         1 1 x x z R  R  则   [ ( )] ( ) ( ) n n n n ZT x n x n z x n z      证：       1 1 ( )( ) n n x n z X z              1 1 1 x x x x R R z z R R         

7、初值定理 对于因果序列x(n)有 lim X(z=xo) 证:因为x(n)为因果序列 X(2)=∑ x(0)+x(1)z1+x(2)z2+ imX(=)=x(0 →)0

7、初值定理 证：因为x(n)为因果序列 ( ) lim ( ) (0) z x n X z x   对于因果序列 ，有 0 ( ) ( ) ( ) n n n n X z x n z x n z            1 2 x(0) x(1)z x(2)z        lim ( ) (0) z X z x   

8、终值定理 设x(m)为因果序列,且X(z)ZTx(n)的极 点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1 处可有一阶极点),则 limx(n)=lim[(z-1)X(zI n→)0 z→1 x(∞)=limx(m)=lim[(-1)X(=)=ReX(=)]=1 n→00 2→

8、终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=ZT[x(n)]的极 点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1 处可有一阶极点），则： 1 lim ( ) lim[( 1) ( )] n z x n z X z     1 1 ( ) lim ( ) lim[( 1) ( )] Re [ ( )] z n z x x n z X z s X z        