q三、常系数线性差分方程 用差分方程来描述时域离散系统的输入输 出关系 个N阶常系数线性差分方程表示为: ∑aky(n-k)=∑bnx(n-m) 其中: b是常数
三、常系数线性差分方程 用差分方程来描述时域离散系统的输入输 出关系。 一个N阶常系数线性差分方程表示为： 0 0 ( ) ( ) N M k m k m a y n k b x n m = = − = − a a b 0 =1， ， 是常数 k m 其中：
求解常系数线性差分方程的方法: 1)经典解法 2)递推解法 3)变换域方法
求解常系数线性差分方程的方法： 1）经典解法 2）递推解法 3）变换域方法
例1:已知常系数线性差分方程 y()-ay(n-1=x(n) 若边界条件 y(-1)=0 求其单位抽样响应
例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。 y n ay n x n ( ) ( 1) ( ) − − = y( 1) 0 − =
解:令输入x(n)=6(n),则输出y(n)=h(n) 复已知y(-1)=0 围(n)=qp(n-1)+x(n),得 )=a(-1)+x(0) 由y(n-1)=-[y(m)-x(m),得 )=ay(0)+x(1)=a y(2)=a()+x(2)=a2 y(-2)=-[y(-1)-x(-1)=0 y(3)=a(2)+x(3)=a3 y(-3)=[y(-2)-x(-2)]=0 y(n)=a",n≥0 y(n)=0,n≤-1 h(n)=y(n=au(n
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 x n n y n h n y = = − = 解：令输入 ，则输出 ， 又已知 2 3 ( ) ( 1) ( ) (0) ( 1) (0) 1 (1) (0) (1) (2) (1) (2) (3) (2) (3) ( ) 0 n y n ay n x n y ay x y ay x a y ay x a y ay x a y n a n = − + = − + = = + = = + = = + = = 由 ，得 ， 1 ( 1) [ ( ) ( )] 1 ( 2) [ ( 1) ( 1)] 0 1 ( 3) [ ( 2) ( 2)] 0 ( ) 0 1 y n y n x n a y y x a y y x a y n n − = − − = − − − = − = − − − = = − 由 ，得 ， ( ) ( ) ( ) n = = h n y n a u n
例2:已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 y(0)=0 求其单位抽样响应
例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。 y(0) 0 =
解;令输入x(n)=6(n),则输出y(n)=h(n 已知v(0)=0 重n-1)=-[y(n)-x(n),得 1)=-[y(0)-x(0 2)=D1)x(-1)=a2由y(n)=ay(n-1)+x(n),得 y(1)=ay(0)+x(1)=0 (-3)=-[y(-2)-x(-2 y(2)=ay(1)+x(2)=0 y(n) y(n)=0,n≥1 h(n)=y(n)=-a"l(-n-1)
( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 x n n y n h n y = = = 解：令输入 ，则输出 ， 又已知 ( ) ( 1) ( ) (1) (0) (1) 0 (2) (1) (2) 0 ( ) 0 1 y n ay n x n y ay x y ay x y n n = − + = + = = + = = 由 ，得 ， 1 2 3 1 ( 1) [ ( ) ( )] 1 1 ( 1) [ (0) (0)] 1 ( 2) [ ( 1) ( 1)] 1 ( 3) [ ( 2) ( 2)] ( ) 1 n y n y n x n a y y x a a a y y x a a y y x a a y n a n − − − − = − − = − = − = − − = − − − = − − = − − − = − = − − 由 ，得 ， ( ) ( ) ( 1) n = = − − − h n y n a u n
例3:已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 y(-1)=1 讨论系统的线性性和移不变性
例3：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 讨论系统的线性性和移不变性。 y( 1) 1 − =
)令输入x(n)=6(m),由y(-1)=1,求输出y(m) )=ay(m-1)+x1(m),得 aV1(-1)+x1(0)=a+1 由y(n-1)=-[y(m)-x(n),得 (1)ay1(0)+x1(1)=a(a+1) 2.=a1(1)+x(2)=a2(a+1) y1(-2)=-[v1(-1)-x1(-1)=a y1(3)}Fc1(2)+x(3)=a3(a+1) y(-3)=-[y(-2)-x1(-2)=a y(n)=a"(a+1),n≥0 y(n)=a,n≤-1 y(n)=(1+a)a"l(m)+an+l(-n-1)
1 1 1 解：1）令输入 ，由 ，求输出 x n n y y n ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) = − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) (0) ( 1) (0) 1 (1) (0) (1) ( 1) (2) (1) (2) ( 1) (3) (2) (3) ( 1) ( ) ( 1) 0 n y n ay n x n y ay x a y ay x a a y ay x a a y ay x a a y n a a n = − + = − + = + = + = + = + = + = + = + = + 由 ，得 ， 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) [ ( ) ( )] 1 ( 2) [ ( 1) ( 1)] 1 ( 3) [ ( 2) ( 2)] ( ) 1 n y n y n x n a y y x a a y y x a a y n a n − − + − = − − = − − − = − = − − − = = − 由 ，得 ， 1 1 ( ) (1 ) ( ) ( 1) n n y n a a u n a u n + = + + − −
2)输入x2(m)=8(m-1),由y2(-1)=1,求输出y2(n) 相(n)=2(n-1)+x(m),得 ()=ayv2(-1)+x2(0)=a )=ay2O)+x1(1)=a2+1 )=a2(1)+x2(2)=a(a2+1) 28)=ay2(2)+x2(3)=a2(a2+1 同步骤1),由 (n)=a(a2+1),n≥1 y2(n-1)=-[y2(m)-x2(m) 得y2(n)=an,n≤-1 y2(m)=ao(m)+(1+a2)a"(n-1)+a"(-n-1)
2 2 2 2）令输入 ，由 ，求输出 x n n y y n ( ) ( 1) ( 1) 1 ( ) = − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( 1) ( ) (0) ( 1) (0) (1) (0) (1) 1 (2) (1) (2) ( 1) (3) (2) (3) ( 1) ( ) ( 1) 1 n y n ay n x n y ay x a y ay x a y ay x a a y ay x a a y n a a n − = − + = − + = = + = + = + = + = + = + = + 由 ，得 ， 2 2 2 1 2 1 1 ( 1) [ ( ) ( )] ( ) 1 n y n y n x n a y n a n + − = − = − 同步骤 ），由 得 ， 2 1 1 2 ( ) ( ) (1 ) ( 1) ( 1) n n y n a n a a u n a u n − + = + + − + − −
3)令输入x3(n)=x(m)+x2(n)=6(m)+6(n-1) (-1)=1,求输出y(m) n)=ay(n-1)+x(n),得 )=ay3(-1)+x3(0)=a+1 y=ay(O)+x(1)=a2+a+1 2(2)=ay3(1)+x3(2)=a(2+a+1) y3(3)=ay2(2)+x3(3)=a2(a2+a+1)同步骤1),由 y3(n-1)=-[y(n)-x3(m) y3(m)=an(a2+a+1),n≥1 得y3( n≤ y3(n)=(1+a)6(m)+(1+a+a2)au(n-1) +a”(-n-1)
3 1 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 ( ) x n x n x n n n y y n = + = + − − = 3）令输入 ， 由 ，求输出 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 2 3 ( ) ( 1) ( ) (0) ( 1) (0) 1 (1) (0) (1) 1 (2) (1) (2) ( 1) (3) (2) (3) ( 1) ( ) ( 1) 1 n y n ay n x n y ay x a y ay x a a y ay x a a a y ay x a a a y n a a a n − = − + = − + = + = + = + + = + = + + = + = + + = + + 由 ，得 ， 3 3 3 1 3 1 1 ( 1) [ ( ) ( )] ( ) 1 n y n y n x n a y n a n + − = − = − 同步骤 ），由 得 ， 2 1 3 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1) n y n a n a a a u n − = + + + + − 1 ( 1) n a u n + + − −
