决策与逻辑 —探讨博弈论中的逻辑推理 博弈论是硏究人们在各种战略情况下如何行事的理论,又被称为对策论或策略论,在近 来已成为经济学研究的一大热点。但是对于博弈论中的逻辑推理却很少有人加以注意。 先以一个为大家所熟知的例子来引出博弈,即田忌赛马的故事。齐王请田忌赛马,田忌 的马队不如齐王的马队,田忌用孙膑的计谋,用最差的马对齐王最好的马;用最好的马对齐 王中等的马,用中等 的马对齐王最差的马,结果以二比一胜了齐王。对于这个例子,我们采用逻辑推理过程 来得出最优的决策(假设事先知道齐王的出马顺序是先出好马,再出中马,最后出下马)。 我们先给出所有的可能性决策,由排列组合可知共有6种,罗列如下 a.用好马对齐王的好马,中马对齐王的中马,下马对齐王的下马 b.用好马对齐王的好马,下马对齐王的中马,中马对齐王的下马; c.用中马对齐王的好马,下马对齐王的中马,好马对齐王的下马 d.用中马对齐王的好马,好马对齐王的中马,下马对齐王的下马; e.用下马对齐王的好马,好马对齐王的中马,中马对齐王的下马; f用下马对齐王的好马,中马对齐王的中马,好马对齐王的下马 如果a,那么输(r):不输,所以不a:(a→r)∧=口→-a(→否定后件式) 如果b,也输;不输,所以不b;(b→r)∧r→-b(→否定后件式) 如果c,也输:不输,所以不c;(c→r)∧口→=c(→否定后件式) 如果d,也输:不输,所以不d;(d→r)∧r→-d(→否定后件式) 如果ε,则赢 如果f,则输:不输,所以不f。 ,A一口-(→否定后件式) 在这里我们用了六次充分条件假言推理得出了最优决策e,由于这例较为简单,所以在 我们日常生活中一眼就能看出结论,而不必经过上述如此复杂的罗列,但是事实上,我们的 推理程序还是按上述过程进行的 下面我们来分析一个著名的博弈问题“囚犯难题”: 两嫌疑犯A、B有非法携带枪支的轻罪,因此每人都要在监狱中度过一年。警察怀疑两 人又曾合伙抢劫过银行,但缺乏足够的证据证明他们犯有严重罪行。警察在分开的屋子里审 问了两人。如果两人都不坦白了,则两人都只能关一年:如果其中一人坦白,另一人未坦白, 则坦白者可以自由,而未坦白者将关押20年;但如果两人都坦白了,则两人都得监禁8年 那么结果会是怎样呢? 我们来考虑A的决策。A的推理如下:“如果B保持沉默,那么最好的战略是坦白, 因为自己将得到自由而不是在狱中呆一年;如果B坦白,那么自己最好的战略仍然是坦白, 因为这样自己在狱中呆的是8年而不是20年。”所以无论B怎么做,A都会选择坦白。简 化一下即为如果P,那么R:;如果Q,那么R:或者P或者Q,所以R(其中P代表B保持 沉默,Q代表B坦白,R代表A坦白),换成逻辑语言即:(p→r)∧(q→r)∧(p∨q)→rs 这是两难推理的其中一种:形式简单构成式。同样B也会有和A一样的考虑,所以结果是 两人都选择坦白,但是从表1我们可以清楚地看到这并不是最优的结果,这就是所谓的“囚 犯两难处境”。这是一个完全信息静态博弈的逻辑推理过程。 为了达到最优结果,A、B可以考虑合作,即在警察逮捕他们以前,双方作出不坦白的
决策与逻辑 ——探讨博弈论中的逻辑推理 博弈论是研究人们在各种战略情况下如何行事的理论，又被称为对策论或策略论，在近 来已成为经济学研究的一大热点。但是对于博弈论中的逻辑推理却很少有人加以注意。 先以一个为大家所熟知的例子来引出博弈，即田忌赛马的故事。齐王请田忌赛马，田忌 的马队不如齐王的马队，田忌用孙膑的计谋，用最差的马对齐王最好的马；用最好的马对齐 王中等的马，用中等 的马对齐王最差的马，结果以二比一胜了齐王。对于这个例子，我们采用逻辑推理过程 来得出最优的决策（假设事先知道齐王的出马顺序是先出好马，再出中马，最后出下马）。 我们先给出所有的可能性决策，由排列组合可知共有 6 种，罗列如下： a. 用好马对齐王的好马，中马对齐王的中马，下马对齐王的下马； b. 用好马对齐王的好马，下马对齐王的中马，中马对齐王的下马； c. 用中马对齐王的好马，下马对齐王的中马，好马对齐王的下马； d. 用中马对齐王的好马，好马对齐王的中马，下马对齐王的下马； e. 用下马对齐王的好马，好马对齐王的中马，中马对齐王的下马； f. 用下马对齐王的好马，中马对齐王的中马，好马对齐王的下马。 如果 a，那么输(r)；不输，所以不 a；(a→r)∧﹁ r→﹁a（→否定后件式） 如果 b，也输；不输，所以不 b； (b→r)∧﹁ r→﹁b（→否定后件式） 如果 c，也输；不输，所以不 c； (c→r)∧﹁ r→﹁c（→否定后件式） 如果 d，也输；不输，所以不 d； (d→r)∧﹁ r→﹁d（→否定后件式） 如果 e，则赢； 如果 f，则输；不输，所以不 f。 (a→r)∧﹁ r→﹁a（→否定后件式） 在这里我们用了六次充分条件假言推理得出了最优决策 e，由于这例较为简单，所以在 我们日常生活中一眼就能看出结论，而不必经过上述如此复杂的罗列，但是事实上，我们的 推理程序还是按上述过程进行的。 下面我们来分析一个著名的博弈问题“囚犯难题”： 两嫌疑犯 A、B 有非法携带枪支的轻罪，因此每人都要在监狱中度过一年。警察怀疑两 人又曾合伙抢劫过银行，但缺乏足够的证据证明他们犯有严重罪行。警察在分开．．的屋子里审 问了两人。如果两人都不坦白了，则两人都只能关一年；如果其中一人坦白，另一人未坦白， 则坦白者可以自由，而未坦白者将关押 20 年；但如果两人都坦白了，则两人都得监禁 8 年。 那么结果会是怎样呢？ 我们来考虑 A 的决策。A 的推理如下：“如果 B 保持沉默，那么最好的战略是坦白， 因为自己将得到自由而不是在狱中呆一年；如果 B 坦白，那么自己最好的战略仍然是坦白， 因为这样自己在狱中呆的是 8 年而不是 20 年。”所以无论 B 怎么做，A 都会选择坦白。简 化一下即为如果 P，那么 R；如果 Q，那么 R；或者 P 或者 Q，所以 R（其中 P 代表 B 保持 沉默，Q 代表 B 坦白，R 代表 A 坦白），换成逻辑语言即：(p→r)∧((q→r)∧(p∨q) →r。 这是两难推理的其中一种：形式简单构成式。同样 B 也会有和 A 一样的考虑，所以结果是 两人都选择坦白，但是从表 1 我们可以清楚地看到这并不是最优的结果，这就是所谓的“囚 犯两难处境”。这是一个完全信息静态博弈的逻辑推理过程。 为了达到最优结果，A、B 可以考虑合作，即在警察逮捕他们以前，双方作出不坦白的 1
承诺,但是维持合作却非常困难,一旦A、B被分开审理,利己的逻辑就会发生作用,如A 会这样推理,既然B不会坦白,那么如果自己坦白了,将得到自由,所以坦白是最优选择 方案,同样B也会这样推理,所以这并没给两者带来什么变化 B的决策 坦白 保持沉默 坦白 每人8年 A自由 A的决策 B20年 保持 B自由 沉默 A20年 每人1年 表1 现在我们再来看一个必要条件假言联锁推理。给出的例子是一个完全信息动态博弈。设 甲、乙两人做游戏,每人每次可以取一张牌或是两张牌,共13张牌,谁拿到第13张牌谁就 赢,甲先拿,为了赢,甲第一次应该拿几张牌?为了解决这个问题,我们要进行逆向推理。 因为最后一次甲可以拿1张或2张牌,所以乙最后一次拿完后要剩1张或者2张牌,而乙最 后一次拿之前应该剩下3张牌,这样才能保证乙拿了1张或2张后还剩2张或1张,换句话 说,只有在最后一次乙拿之前还剩3张牌(p),才能保证甲拿到第10张牌(q);同样,只 有在最后第二次乙拿之前还剩7张牌(r),才能保证在最后一次乙拿之前还剩3张牌(p),依 此类推,可得甲第一次应拿一张牌(u)才能赢(s),即:(u-n)∧…∧(r-p)∧(p←q)←s(n为 第二次甲应拿牌数) 由以上对三个简单博弈的逻辑推理的分析中,我们可以对博弈论中的逻辑推理的运用有 个基本的了解,还有很多博弈论的例子可以通过逻辑推理的方法来得出决策结果,但并不 定是最优结果,当然也有很多博弈尚且不能得到解答,所以本文只是我试着运用逻辑来分 析些博弈问题,希望能对大家有所帮助 竺可桢学院文(一) 3013002028 王小萤
承诺，但是维持合作却非常困难，一旦 A、B 被分开审理，利已的逻辑就会发生作用，如 A 会这样推理，既然 B 不会坦白，那么如果自己坦白了，将得到自由，所以坦白是最优选择 方案，同样 B 也会这样推理，所以这并没给两者带来什么变化。 B 的决策 坦白 保持沉默 每人 8 年 A 自由； B20 年 B 自由； A20 年 每人 1 年 坦白 A 的决策 保持 沉默 表 1 现在我们再来看一个必要条件假言联锁推理。给出的例子是一个完全信息动态博弈。设 甲、乙两人做游戏，每人每次可以取一张牌或是两张牌，共 13 张牌，谁拿到第 13 张牌谁就 赢，甲先拿，为了赢，甲第一次应该拿几张牌？为了解决这个问题，我们要进行逆向推理。 因为最后一次甲可以拿 1 张或 2 张牌，所以乙最后一次拿完后要剩 1 张或者 2 张牌，而乙最 后一次拿之前应该剩下 3 张牌，这样才能保证乙拿了 1 张或 2 张后还剩 2 张或 1 张，换句话 说，只有在最后一次乙拿之前还剩 3 张牌（p），才能保证甲拿到第 10 张牌(q)；同样，只 有在最后第二次乙拿之前还剩 7 张牌(r)，才能保证在最后一次乙拿之前还剩 3 张牌(p)，依 此类推，可得甲第一次应拿一张牌(u)才能赢(s)，即：(u←n)∧…∧(r←p) ∧ (p←q)←s(n 为 第二次甲应拿牌数)。 由以上对三个简单博弈的逻辑推理的分析中，我们可以对博弈论中的逻辑推理的运用有 一个基本的了解，还有很多博弈论的例子可以通过逻辑推理的方法来得出决策结果，但并不 一定是最优结果，当然也有很多博弈尚且不能得到解答，所以本文只是我试着运用逻辑来分 析些博弈问题，希望能对大家有所帮助。 竺可桢学院文（一） 3013002028 王小萤 2