5.4拉普拉斯的逆变换及其性质 一案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 Click Here
5.4 拉普拉斯的逆变换及其性质 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例[自动控制] 拉氏逆变换是由象函数求原函数.如在自 动控制中，利用拉氏变换可以将常系数微 分方程变换为象函数的代数方程求解，但 最后，又需要再将象函数的代数方程解还 原为微分方程的解： 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
一、案例 [自动控制] 拉氏逆变换是由象函数求原函数．如在自 动控制中，利用拉氏变换可以将常系数微 分方程变换为象函数的代数方程求解，但 最后，又需要再将象函数的代数方程解还 原为微分方程的解．
+二、概念和公式的引出 拉氏逆变换 若F(p)为f(①)的拉氏变换，则称f() 为F(p)的拉普拉斯逆变换，记作 f(t)=L[F(p)] 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
二、 概念和公式的引出 拉氏逆变换 若F (p)为f (t)的拉氏变换，则称f (t) ( ) [ ( )] 1 f t L F p − = 为F (p)的拉普拉斯逆变换，记作
拉氏变换具有如下性质： 性质1（线性性质） L'[a F(t)+aF(t)]=af(p)+af(t) 性质2（平移性质） L[F(p-a)]=ef(t) 性质3（延滞性质） Le-PF(p)]=f(t-a)u(t-a) 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
拉氏变换具有如下性质： 性质1(线性性质) 性质2(平移性质) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 L a F t + a F t = a f p + a f t − [ ( )] ( ) 1 L F p a e f t at − = − 性质3(延滞性质) [ ( )] ( ) ( ) 1 L e F p f t a u t a ap = − − − −
三、进一步的练习 练习1 求下列象函数的逆变换 ()F(P)-(3 四=26 p2 3)Fp)=3 (( 2p+3 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
三、进一步的练习 练习1 求下列象函数的逆变换 (1) 1 ( ) ( 3)3 F p p = − (2) 2 5 ( ) 2 p F p p − = (3) 4 3 ( ) 2 4 p F p p − = + (4) 2 3 ( ) 2 2 5 p F p p p + = − +
解(1)由性质2及拉氏变换表得 f0=Fr-3l-eTt月l 2/0=-1t221 =2L1[]-5L- =2-5t 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得 ] ( 3) 1 ( ) [ 3 1 − = − P f t L ] 2! [ 2 3 1 2 p L e t − = ] 1 [ 3 2 1 P e L t − = t t e 2 2 2 1 = 1 2 5 (2) ( ) [ ] 2 p f t L p − − = 2 [ ] 5 [ ] 1 1 1 1 2 L L p p − − = − = −2 5t
3fo=Z'3 =4Ll【42红l =4cos2-sin 2t 0-rs u [ 5 2e'cos 2t+sin 2t 2 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
1 4 3 (3) ( ) [ ] 2 4 p f t L p − − = + 1 1 2 2 5 2 2 4 2 4 t t p e L e L p p − − = + + + 5 2 cos 2 sin 2 2 t = + e t t 1 1 2 2 2 3 2( 1) 5 ( ) 2 5 ( 1) 4 P P f t L L P P P − − + − + = = − + − + (4) 1 1 2 2 1 5 2 2 ( 1) 4 2 ( 1) 4 P L L P P − − − = + − + − + 3 4cos2 sin 2 2 = −t t 1 1 3 2 4 [ ] [ ] 2 2 2 4 4 p L L p p − − = − + +
整练习2解一阶微分方程] 求微分方程x'(t)+2x(1)=0满足初始条件 x(0)=3的解 解对方程两端进行拉氏变换，并设[x(t)]=X(p), 则L[x'(t)+2x(t)]=L[0],即 pX(p)-x(0)+2X(p)=0 将x(0)=3代入上式，有 (p+2)X(p)=3 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
练习2 [解一阶微分方程] 解 求微分方程 x (t) + 2x(t) = 0 满足初始条件 x(0) = 3 的解． 对方程两端进行拉氏变换，并设 L[x(t)] = X ( p) ， pX( p) − x(0) + 2X( p) = 0 则 L[x (t) + 2x(t)] = L[0] ，即 将 x(0) = 3 代入上式，有 ( p + 2)X ( p) = 3
所以象函数的解为 3 X(p)= p+2 用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程 满足初始条件x(0)=3的解为 0=Ip=5l223e 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
所以象函数的解为 2 3 ( ) + = p X p 用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程， 满足初始条件 x(0) = 3 的解为 t e p x t L x p L 1 1 2 ] 3 2 3 ( ) [ ( )] [ − − − = + = =
注：拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解.起到化难为 易的作用 高等应用数学CA!电子教案 上页 下页 返回
注：拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解．起到化难为 易的作用．