《大学物理学》课程教学资源（课后习题解答）第十三单元

习题十三 衍射的本质是什么?衍射和干涉有什么联系和区别? 波的衍射现象是波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时所发生的展衍现象.其实质是 由被障碍物或孔隙的边缘限制的波阵面上各点发出的无数子波相互叠加而产生.而干涉则是 由同频率、同方向及位相差恒定的两列波的叠加形成 13-2在夫琅禾费单缝衍射实验中,如果把单缝沿透镜光轴方向平移时,衍射图样是否会 跟着移动?若把单缝沿垂直于光轴方向平移时,衍射图样是否会跟着移动? 答:把单缝沿透镜光轴方向平移时,衍射图样不会跟着移动.单缝沿垂直于光轴方向平移时, 衍射图样不会跟着移动 13-3什么叫半波带?单缝衍射中怎样划分半波带?对应于单缝衍射第3级明条纹和第4级暗 条纹,单缝处波面各可分成几个半波带? 答:半波带由单缝A、B首尾两点向方向发出的衍射线的光程差用来划分.对应于第3 级明纹和第4级暗纹,单缝处波面可分成7个和8个半波带 由asm=(2k+1)2 asiq=4元=8 13-4在单缝衍射中,为什么衍射角Q愈大(级数愈大)的那些明条纹的亮度愈小? 答:因为衍射角q愈大则asiq值愈大,分成的半波带数愈多,每个半波带透过的光通量就 愈小,而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的,所以亮度减小 13-5若把单缝衍射实验装置全部浸入水中时,衍射图样将发生怎样的变化?如果此时用公式 asiq=±(2k+1)=(k=1,2,…)来测定光的波长,问测出的波长是光在空气中的还是在水 2 中的波长? 解:当全部装置浸入水中时,由于水中波长变短,对应 asm g'=k2,b ,而空气中为 aSnq=k,∴snq=nsnp',即=np',水中同级衍射角变小,条纹变密 如用asnq=±(2k+1)(k=1,2;…)来测光的波长,则应是光在水中的波长.(因asin 只代表光在水中的波程差). 13-6在单缝夫琅禾费衍射中,改变下列条件,衍射条纹有何变化?(1)缝宽变窄:(2)入 射光波长变长:(3)入射平行光由正入射变为斜入射 :(1)缝宽变窄,由asnq=k知,衍射角q变大,条纹变稀 2)变大,保持a,k不变,则衍射角亦变大,条纹变稀 (3)由正入射变为斜入射时,因正入射时asiq=k;斜入射时,asnp-sinb)=k2 保持a,4不变,则应有k>k或k<k.即原来的k级条纹现为k’级 13-7单缝衍射暗条纹条件与双缝干涉明条纹的条件在形式上类似,两者是否矛盾?怎样

习题十三 13-1 衍射的本质是什么?衍射和干涉有什么联系和区别? 答：波的衍射现象是波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时所发生的展衍现象．其实质是 由被障碍物或孔隙的边缘限制的波阵面上各点发出的无数子波相互叠加而产生．而干涉则是 由同频率、同方向及位相差恒定的两列波的叠加形成． 13-2 在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果把单缝沿透镜光轴方向平移时，衍射图样是否会 跟着移动?若把单缝沿垂直于光轴方向平移时，衍射图样是否会跟着移动? 答：把单缝沿透镜光轴方向平移时，衍射图样不会跟着移动．单缝沿垂直于光轴方向平移时， 衍射图样不会跟着移动． 13-3 什么叫半波带?单缝衍射中怎样划分半波带?对应于单缝衍射第3级明条纹和第4级暗 条纹，单缝处波面各可分成几个半波带? 答：半波带由单缝 A 、B 首尾两点向  方向发出的衍射线的光程差用 2  来划分．对应于第 3 级明纹和第 4 级暗纹，单缝处波面可分成 7 个和 8 个半波带． ∵由 2 7 2 (2 3 1) 2 sin (2 1)    a  = k + =  + =  2 sin 4 8  a  =  =  13-4 在单缝衍射中，为什么衍射角  愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度愈小? 答：因为衍射角  愈大则 a sin  值愈大，分成的半波带数愈多，每个半波带透过的光通量就 愈小，而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的，所以亮度减小． 13-5 若把单缝衍射实验装置全部浸入水中时，衍射图样将发生怎样的变化?如果此时用公式 ( 1,2, ) 2 asin = (2k +1) k =    来测定光的波长，问测出的波长是光在空气中的还是在水 中的波长? 解：当全部装置浸入水中时，由于水中波长变短，对应 asin  = k = n k ，而空气中为 asin  = k ，∴ sin  = nsin  ，即  = n ，水中同级衍射角变小，条纹变密． 如用 asin  = (2k +1) 2  (k = 1,2, ) 来测光的波长，则应是光在水中的波长．(因 a sin  只代表光在水中的波程差)． 13-6 在单缝夫琅禾费衍射中，改变下列条件，衍射条纹有何变化?(1)缝宽变窄；(2)入 射光波长变长；(3)入射平行光由正入射变为斜入射． 解：(1)缝宽变窄，由 asin  = k 知，衍射角  变大，条纹变稀； (2)  变大，保持 a， k 不变，则衍射角  亦变大，条纹变稀； (3)由正入射变为斜入射时，因正入射时 asin  = k ；斜入射时， a(sin  − sin  ) = k ， 保持 a，  不变，则应有 k  k 或 k  k ．即原来的 k 级条纹现为 k 级． 13-7 单缝衍射暗条纹条件与双缝干涉明条纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾?怎样

说明? 答:不矛盾.单缝衍射暗纹条件为asiq=k=2k,是用半波带法分析(子波叠加问 题).相邻两半波带上对应点向q方向发出的光波在屏上会聚点一一相消,而半波带为偶数 故形成暗纹:而双缝干涉明纹条件为dsin=凡λ,描述的是两路相干波叠加问题,其波程 差为波长的整数倍,相干加强为明纹 13-8光栅衍射与单缝衍射有何区别?为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽? 答:光栅衍射是多光束干涉和单缝衍射的总效果.其明条纹主要取决于多光束干涉.光强与 缝数N2成正比,所以明纹很亮;又因为在相邻明纹间有(N-1)个暗纹,而一般很大,故实 际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景 13-9试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时,哪些级次的衍射明条纹缺级?(1) 解:由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时,出现缺级.即 「(a+b)sng=±k(k=02,…) asnq=±k(k’=1,2…) 可知,当k a+ k’时明纹缺级 (1)a+b=2a时,k=2,4,6…偶数级缺级; (2)a+b=3a时,k=3,6,9…级次缺级 (3)a+b=4a,k=48,12…级次缺级 13-10若以白光垂直入射光栅,不同波长的光将会有不同的衍射角.问(1)零级明条纹能 否分开不同波长的光?(2)在可见光中哪种颜色的光衍射角最大?不同波长的光分开程度与什 么因素有关? 解:(1)零级明纹不会分开不同波长的光.因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强 (2)可见光中红光的衍射角最大,因为由(a+b)siq=k,对同一k值,衍射角 13-11一单色平行光垂直照射一单缝,若其第三级明条纹位置正好与6000A的单色平行光 的第二级明条纹位置重合,求前一种单色光的波长 解:单缝衍射的明纹公式为 asn =(2k +1) 当λ=6000A时,k=2 A=A1时,k=3 重合时角相同,所以有 6000 asnq=(2×2+1)=(2×3+1) 2

说明? 答：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为 asin  = k = 2k 2  ，是用半波带法分析(子波叠加问 题)．相邻两半波带上对应点向  方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数， 故形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为 d sin = k ，描述的是两路相干波叠加问题，其波程 差为波长的整数倍，相干加强为明纹． 13-8 光栅衍射与单缝衍射有何区别?为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽? 答：光栅衍射是多光束干涉和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多光束干涉．光强与 缝数 2 N 成正比，所以明纹很亮；又因为在相邻明纹间有 (N −1) 个暗纹，而一般很大，故实 际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景． 13-9 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明条纹缺级?(1) a+b=2a;(2)a+b=3a;(3)a+b=4a. 解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时，出现缺级．即    =    = + =  = sin ( 1,2 ) ( )sin ( 0,1,2, )   a k k a b k k     可知，当 k a a b k  + = 时明纹缺级． (1) a + b = 2a 时， k = 2,4,6,  偶数级缺级； (2) a +b = 3a 时， k = 3,6,9,  级次缺级； (3) a + b = 4a ， k = 4,8,12,  级次缺级． 13-10 若以白光垂直入射光栅，不同波长的光将会有不同的衍射角．问(1)零级明条纹能 否分开不同波长的光?(2)在可见光中哪种颜色的光衍射角最大?不同波长的光分开程度与什 么因素有关? 解：(1)零级明纹不会分开不同波长的光．因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强． (2)可见光中红光的衍射角最大，因为由 (a + b)sin  = k ，对同一 k 值，衍射角  ． 13-11 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000 ο A 的单色平行光 的第二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长． 解：单缝衍射的明纹公式为 asin  = (2k +1) 2  当  = 6000 o A 时， k = 2  =  x 时， k = 3 重合时  角相同，所以有 (2 3 1) 2 6000 asin  = (22 +1) =  + 2  x

6000=4286A 13-12单缝宽0.10mm,透镜焦距为50cm,用A=5000A的绿光垂直照射单缝.求:(1)位 于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中 (n=1.33),中央明条纹的半角宽度又为多少? 解:中央明纹的宽度为Ax=2-f 半角宽度为O (1)空气中,n=1,所以 5000×10 =5.0×10~m 0.10×10 0=snS000×10-0 0.10×10=5.0×10-3rad (2)浸入水中,n=1.33,所以有 5000×10-0 △x=2×0.5+133×0.10×10→≈3.76×10-3m 5000×10 0=sin 133×0.1×10≈3.76×10-3rad 13-13用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝,缝后凸透镜的焦距f-400cm 观察屏幕上形成的衍射条纹,若屏上离中央明条纹中心140mm处的P点为一明条纹;求:(1) 入射光的波长:(2)P点处条纹的级数;(3)从P点看,对该光波而言,狭缝处的波面可分成几个 半波带 (1)由于P点是明纹,故有asn=(2k+1),k=1,2,3 14 由 =3.5×103=tang≈sng 400 故 asnq2×0.6 ×3.5×10-3 k+12k+1 mm 2k+1 当k=3,得A3=6000A k=4,得A4=4700A (2)若3=6000A,则P点是第3级明纹

得 6000 4286 7 5  x =  = o A 13-12 单缝宽0.10mm，透镜焦距为50cm，用  = 5000 o A 的绿光垂直照射单缝．求：(1)位 于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中 (n=1.33)，中央明条纹的半角宽度又为多少? 解：中央明纹的宽度为 f na x   = 2 半角宽度为 na   1 sin − = (1)空气中， n =1 ，所以 3 3 10 5.0 10 0.10 10 5000 10 2 0.5 − − − =    x =   m 3 3 10 1 5.0 10 0.10 10 5000 10 sin − − − − =     = rad (2)浸入水中， n =1.33 ，所以有 3 3 10 3.76 10 1.33 0.10 10 5000 10 2 0.50 − − −      x =   m 3 3 10 1 3.76 10 1.33 0.1 10 5000 10 sin − − − −       = rad 13-13 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f=40.0cm， 观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm处的P点为一明条纹；求：(1) 入射光的波长；(2)P点处条纹的级数；(3)从P点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个 半波带? 解：(1)由于 P 点是明纹，故有 2 sin (2 1)  a  = k + ， k = 1,2,3 由 3.5 10 tan sin  400 1.4 3 = =  =  − f x 故 3 3.5 10 2 1 2 0.6 2 1 2 sin −   +  = + = k k a   3 4.2 10 2 1 1 −   + = k mm 当 k = 3 ，得 3 = 6000 o A k = 4 ，得 4 = 4700 o A (2)若 3 = 6000 o A ，则 P 点是第 3 级明纹；

若A1=4700A,则P点是第4级明纹 (3)由asnq=(2k+1)可知, 当k=3时,单缝处的波面可分成2k+1=7个半波带 当k=4时,单缝处的波面可分成2k+1=9个半波带 3-14用λ=5900A的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上,问最多能看到第几 级明条纹? 解:a+b=-mm=2.0×10-3mm=20×10-A 由(a+b)smp=k知,最多见到的条纹级数k对应的=x, 所以有km= a+b20×10 s9003.39,即实际见到的最高级次为km=3 13-15波长为5000A的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上,光栅后的透镜 焦距为60cm.求:(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距:(2)当光线与光栅法线成 30°斜入射时,中央明条纹的位移为多少? 解:a+b=—=50×10-mm5.0×10m 200 (1)由光栅衍射明纹公式 (a+b)sm=k,因k=1,又sn=tanp=x 所以有(a+b x1==5009060 a+b 60×10-2m=6cm (2)对应中央明纹,有k=0 正入射时,(a+b)np=0,所以snp≈=0 斜入射时,(a+bsnp±sn)=0,即snφ±snO=0 因6=30,∴sng≈tanq= 故x=f=×60×102=30×10-2m=30cm 2

若 4 = 4700 o A ，则 P 点是第 4 级明纹． (3)由 2 sin (2 1)  a  = k + 可知， 当 k = 3 时，单缝处的波面可分成 2k +1= 7 个半波带； 当 k = 4 时，单缝处的波面可分成 2k +1= 9 个半波带． 13-14 用  = 5900 o A 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几 级明条纹? 解： 500 1 a + b = mm 3 2.0 10− =  mm 4 2.0 10− =  o A 由 (a + b)sin  = k 知，最多见到的条纹级数 max k 对应的 2   = , 所以有 3.39 5900 2.0 104 max   = + =  a b k ，即实际见到的最高级次为 kmax = 3 . 13-15 波长为5000 o A 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜 焦距为60cm． 求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成 30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少? 解： 3 5.0 10 200 1 − a + b = =  mm 6 5.0 10−  m (1)由光栅衍射明纹公式 (a + b)sin  = k ，因 k =1,又 f x sin  = tan = 所以有 + =  f x a b 1 ( ) 即 6 10 2 1 5.0 10 5000 10 60 10 − − −     = + = a b f x  2 6.0 10− =  m = 6 cm (2)对应中央明纹，有 k = 0 正入射时， (a + b)sin  = 0 ，所以 sin    = 0 斜入射时， (a + b)(sin   sin  ) = 0 ，即 sin   sin  = 0 因   = 30 ，∴ 2 1 sin  tan = =  f x   故 2 2 60 10 30 10 2 1 2 1 − − x = f =   =  m = 30 cm

这就是中央明条纹的位移值 13-16波长A=6000A的单色光垂直入射到一光栅上,第二、第三级明条纹分别出现在 snφ=0.20与snφ=0.30处,第四级缺级.求:(1)光栅常数:;(2)光栅上狭缝的宽度; (3)在90°>g>-90°范围内,实际呈现的全部级数 解:(1)由(a+b)sn=k2式 对应于nq1=0.20与sn2=0.30处满足 020(a+b)=2×6000×10-0 030(a+b)=3×6000×10-10 b=6.0×10 (②)因第四级缺级,故此须同时满足 +b)sin p asm (=k/ b 解得 k’=1.5×10°k′ 取k′=1,得光栅狭缝的最小宽度为1.5×10-6m (3)由(a+b)snp=k (a+b) 对应k=k a+b6.0×10-6 6000×10 因±4,±8缺级,所以在-90°<0<90°范围内实际呈现的全部级数为 k=0±1,±2±3,±5,+6,±7,±9共15条明条纹(k=±10在k=±90处看不到) 13-17一双缝,两缝间距为0.lmm,每缝宽为0.02mm,用波长为4800A的平行单色光垂直 入射双缝,双缝后放一焦距为50cm的透镜.试求:(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽 度;(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解:(1)中央明纹宽度为

这就是中央明条纹的位移值． 13-16 波长  = 6000 o A 的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在 sin  = 0.20 与 sin  = 0.30 处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度； (3)在90°＞  ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数． 解：(1)由 (a + b)sin  = k 式 对应于 sin1 = 0.20 与 sin 2 = 0.30 处满足： 10 0.20( ) 2 6000 10− a + b =   10 0.30( ) 3 6000 10− a + b =   得 6 6.0 10− a + b =  m (2)因第四级缺级，故此须同时满足 (a + b)sin  = k asin  = k 解得 k k a b a  =   + = −6 1.5 10 4 取 k =1 ，得光栅狭缝的最小宽度为 6 1.5 10−  m (3)由 (a + b)sin  = k  (a b)sin  k + = 当 2   = ，对应 max k = k ∴ 10 6000 10 6.0 10 10 6 max =   = + = − −  a b k 因  4 ，  8 缺级，所以在   − 90    90 范围内实际呈现的全部级数为 k = 0,1,2,3,5,6,7,9 共 15 条明条纹( k = 10 在  k = 90 处看不到)． 13-17 一双缝，两缝间距为0.1mm，每缝宽为0.02mm，用波长为4800 o A 的平行单色光垂直 入射双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽 度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解：(1)中央明纹宽度为

4800×10-×50×10 2 mm =2.4 cm 0.02 (2)由缺级条件 k (a+b)sinq=k元 知 +b0.1 即k=5,10,15;…缺级 中央明纹的边缘对应k’=1,所以单缝衍射的中央明纹包迹内有k=0,±1±2,±3,±4共9条双 缝衍射明条纹 13-18在夫琅禾费圆孔衍射中,设圆孔半径为0.10mm,透镜焦距为50cm,所用单色光波长为 5000A,求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径 解:由爱里斑的半角宽度 6=1.22=1.22 5000×10 30.5×10-4 0.2 ∴爱里斑半径=∫nb≈f0=500×30.5×10-4=1.5mm 13-19已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10°rad,它们都发出波长为 5500A的光,试问望远镜的口径至少要多大,才能分辨出这两颗星 解:由最小分辨角公式 6=1.22 D=1.22-=1.22 5.5×10 =13.86cm 4.84×10-6 13-20已知入射的X射线束含有从095~1.30A范围内的各种波长,晶体的晶格常数为 2.75A,当X射线以45°角入射到晶体时,问对哪些波长的X射线能产生强反射 解:由布喇格公式2dsnq=kλ 得2dsnq 4时满足干涉相长 当k=1时,A=2×2.75×sn45=389A

0.02 4800 10 50 10 2 2 7 0    = =  − f a l  mm = 2.4 cm (2)由缺级条件 asin  = k (a + b)sin  = k 知 k k a a b k k =  =  + =  5 0.02 0.1 k = 1,2,  即 k = 5,10,15,  缺级． 中央明纹的边缘对应 k =1 ，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有 k = 0,1,2,3,4 共 9 条双 缝衍射明条纹． 13-18 在夫琅禾费圆孔衍射中，设圆孔半径为0.10mm，透镜焦距为50cm，所用单色光波长为 5000 o A ，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径． 解：由爱里斑的半角宽度 4 7 30.5 10 0.2 5000 10 1.22 1.22 − − =   = =  D   ∴ 爱里斑半径 tan 500 30.5 10 1.5 2 4 =  =   = − f  f d mm 13-19 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6 rad，它们都发出波长为 5500 o A 的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星? 解：由最小分辨角公式 D   = 1.22 ∴ 13.86 4.84 10 5.5 10 1.22 1.22 6 5 =   = =  − −   D cm 13-20 已知入射的X射线束含有从0.95～1.30 o A 范围内的各种波长，晶体的晶格常数为 2.75 o A ，当X射线以45°角入射到晶体时，问对哪些波长的X射线能产生强反射? 解：由布喇格公式 2d sin  = k 得 k d   2 sin = 时满足干涉相长 当 k =1 时， = 2 2.75sin 45 = 3.89   o A

k=2时,÷<×275×m45 =1.91A k=3时,2-389 1.30A 3 k=4时,A= 0.97A 故只有A3=1.30A和4=0.97A的X射线能产生强反射

k = 2 时， 1.91 2 2 2.75 sin 45 =   =   o A k = 3 时， 1.30 3 3.89  = = o A k = 4 时， 0.97 4 3.89  = = o A 故只有 3 =1.30 o A 和 4 = 0.97 o A 的 X 射线能产生强反射．