2/99 第三章量子力学中的力学量 伟大的数学家已经针对人类思想作出了甚至比文学家还更加不朽的贡 献,因为它与语言无关 提奇马什 由于微观粒子的波粒二象性,微观粒子运动状态的描述方式和经 典粒子不同,微观粒子力学量(坐标、动量、角动量和能量等)的性 质也不同于经典粒子的力学量.微观粒子的波粒二象性使得其坐标和 动量不能同时具有确定的值,因此我们只能用与经典力学不同的方式 描述微观粒子的力学量:在量子力学中,用波函数描写微观粒子运动 状态,波函数满足运动方程一薛定谔方程,而力学量则使用算符表 示.在已知波函数ψ情况下,力学量算符的平均值就对应力学量的观 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/99 1nÙ þfåÆ¥åÆþ “êÆ[®²é<agÑ $'©Æ[\ØA z§Ï§óÃ'"” —— JÛê du*âfÅâ5§*âf$ÄG£ãªÚ² ;âfØÓ§*âfåÆþ£I!Äþ!ÄþÚUþ ¤5 ØÓu²;âfåÆþ©*âfÅâ5¦ÙIÚ ÄþØUÓäk(½§Ïd·U^²;åÆØÓª £ã*âfåÆþµ3. þ. f. å. Æ. ¥. §^. Å. ¼. ê. £. . . *. â. f. $. Ä. G. . §Å. ¼. ê. ÷. v. $. Ä. . §. —Å. ½. . . §. § . å. Æ. þ. K. ¦. ^. . Î. L. «. ©3. ®. . Å. ¼. ê. ψ. ¹. e. §å. Æ. þ. . Î. . ². þ. . Ò. é. A. å. Æ. þ. . *.
3/99 测值.即: F)≡F=/vFdr ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/99 ÿ. . ©=. µ hFbi ≡ F = Z ψ ∗Fbψdτ
83.1.表示力学量的算符 4/99回 83,1表示力学量的算符 311算符的定义 1.算符 算符:u,ν是希尔波特空间中两个矢量(两个函数),若存在映 射O:u→ν将一个矢量u映射到另一矢量ν,则称映射O为算符.或 算符作用于函数,使一个函数变为另外的函数.表示为: Ou 3.1-1) 例:业 单位算符:mu=u,u是任意函数 零算符:0n=0,u是任意函数 本征值方程:如果算符作用于一个函数u,结果等于u乘以一个 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
Journal of Infrared and Millimeter Waves Vol. 22, No. 2 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 4/99 §3.1 L«åÆþÎ 3.1.1 ν 1. Πεu§v ´FÅAm¥ü¥þ£ü¼ê¤§e3N Oˆ : u → v ò¥þ u N,¥þ v§K¡NOˆ Ω½ Î^u¼ê§¦¼êC, ¼ê©L«µ Ouˆ = v. (3.1-1) ~µ du dx = v ü εˆIu = u§u ´?¿¼ê¶ "ε0ˆu = 0§u ´?¿¼ê¶ §µXJÎ^u¼ê u§(J u u ¦±
83.1.表示力学量的算符 5/99 常数A,即 Ou au 3.1-2) 则称A为算符O的本征值,u为属于A的本征函数 算符的运算 算符的运算:算符相等、算符之和、与复数相乘、算符之积 如:O1u=O2u,则:O1=O2 如:Ou=O1u+O2,则:O=O1+O2 如:On=A(O1n),则:0=1O1 如:On=01(O2),则:0=0102 其中u1,u2是任意函数,A是复常数; 算符相加满 足交换律、结合律:A+B=B+,(A+B+C=A+(B+ ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 5/99 ~ê λ§= Oub = λu (3.1-2) K¡ λ Î Ob §u áu λ ¼ê© 2. Î$ Î$µÎ !ÎÚ!Eê¦!ÎÈ© XµOˆ 1u = Oˆ 2u§KµOˆ 1 = Oˆ 2 XµOuˆ = Oˆ 1u + Oˆ 2u§KµOˆ = Oˆ 1 + Oˆ 2 XµOuˆ = λ Oˆ 1u §KµOˆ = λOˆ 1 XµOuˆ = Oˆ 1 Oˆ 2u §KµOˆ = Oˆ 1Oˆ 2 Ù¥u1, u2 ´?¿¼ê§λ ´E~ê¶ Î\÷ vÆ!(ÜƵAˆ + Bˆ = Bˆ + Aˆ, Aˆ + Bˆ + Cˆ = Aˆ + Bˆ + Cˆ
83.1.表示力学量的算符 6/996 算符相乘不满足交换律:AB≠BA;算符相乘满足结合 律:(AB)C=A(BC 3.算符的对易 将在第7节中介绍 3.12算符的种类 1.线性算符 线性算符:O(c11+c22)=c1O1+c2O2,其中u1,u2是任意函 数,c1,c2是任意复常数; 例:动量算符p=v是线性算符,平方算符不是线性算 符u1+u2)2≠u2+l ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 6/99 ΦØ÷vƵAˆBˆ , Bˆ Aˆ¶Î¦÷v(Ü Æµ AˆBˆ Cˆ = Aˆ BˆCˆ 3. Îé´ ò317!¥0 © 3.1.2 Ϋa 1. 5Î 5εOˆ (c1u1 + c2u2) = c1Ouˆ 1 + c2Ouˆ 2§Ù¥u1, u2´?¿¼ ê§c1, c2´?¿E~ê¶ ~µÄþÎpˆ = ~ i ∇´5Χ²ÎØ´5 Î(u1 + u2) 2 , u 2 1 + u 2 2¶
83.1.表示力学量的算符 7/99圆6 2.逆算符 逆算符:设Au=p,存在算符B使B=u,则称:A,B互为逆算 符:B=A-1,A=B 3.13力学量用算符表示 在坐标表象下,前面我门已经引入如下算符: B=-inv, (3.1-3) (3.1-4) U(内=U(, V2+U(力 (3.1-5) E=ii at ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 7/99 2. _Î _εAuˆ = v§3ÎBˆ¦Bvˆ = u§K¡µAˆ§Bˆp_ εBˆ = Aˆ−1 , Aˆ = Bˆ −1 ¶ 3.1.3 åÆþ^ÎL« 3ILe§c¡·®²Ú\Xeε ˆ~p = −i~∇, (3.1-3) ˆ~r = ~r, (3.1-4) Uˆ (~r) = U(~r), cP2 = −~ 2∇ 2 , Hˆ = − ~ 2 2µ ∇ 2 + U(~r), (3.1-5) Eˆ = i~ ∂ ∂t .
83.1.表示力学量的算符 8/99 可见,动能、势能和哈密顿量的算符可用r,p表示.可进一步推广到 任意一个有经典对应的力学量或无经典对应的力学量(如:自旋) 由此可得,力学量的经典表示式与量子力学的算符表示间的代换 规则 1.有经典对应的力学量 有经典对应的力学量:F(,保持经典函数关系式不变,但将坐 标产和动量分别用相应算符代替,即 FG力=F(-iV) (3.1-6) 力学量平均值: yF(r,-iV)dT=(,砂)=《F ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 8/99 §ÄU!³UÚMîþÎ^br, bpL«©?Úí2 ?¿k²;éAåÆþ½Ã²;éAåÆþ£Xµg^¤" dd§åÆþ²;L«ªþfåÆÎL«m 5Kµ 1. k²;éAåÆþ k. ². ;. é. A. . å. Æ. þ. µF(~r, ~p) . ±. ². ;. ¼. ê. '. X. ª. Ø. C. §. ò. . I. ~r Ú. Ä. þ. ~p ©. O. ^. . A. . Î. . O. §=. Fb( ˆ~r, ˆ~p) = Fb(~r, −i~∇b). (3.1-6) åÆþ²þµ F = Z ψ ∗F (r, −i~∇) ψdτ = ψ, Fbψ = hψ| Fb |ψi
83.1.表示力学量的算符 9/99 mym, ∑Fenn)=∑cicm(mp=∑| 角动量的算符表示:在力学中,动量为成对点O的位置矢量为 产的质点对参考点O的角动量为 产×成 所以,量子力学中角动量算符为 L=产x=-i产V. (3.1-7) 在直角坐标系中 x=yPz-2Py =i (是 L、=Dx-x2≈h(z3-x32 z =rpy-yPx y ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 9/99 = X m cmφm, X n Fc b nφn ! = X m,n c ∗ mcnλn (φm, φn) = X n |cn| 2 λn ÄþÎL«µ3åÆ¥§Äþ ~p!é: O ¥þ ~r :éë: O Äþ ~L = ~r × ~p. ¤±§þfåÆ¥ÄþÎ Lb = ˆ~r × ˆ~p = −i~~r × ∇. (3.1-7) 3IX¥µ Lbx = ybpz − zbpy = ~ i y ∂ ∂z − z ∂ ∂y Lby = zbpx − xbpz = ~ i z ∂ ∂x − x ∂ ∂z Lbz = xbpy − ybpx = ~ i x ∂ ∂y − y ∂ ∂x
83.1.表示力学量的算符 10/99 2.无经典对应的力学量 将在第七章中讨论 3.14算符与力学量的关系厄密算符 在§25中,我们已知,体系处于哈密顿算符H的本征态ψ时, 能量有确定的值,该值就是H在ψ态中的本征值.下节将看到,体 系处于动量算符庐的本征态时,动量有确定的值,该值就是在ψ 态中的本征值.把这些结论推广到一般算符,提出如下基本假设 1.算符与力学量的关系一量子力学的基本假设 如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F的本征态ψ时, 力学量F有确定的值,这个值就是F在ψ态中的本征值 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 10/99 2. ò;éAåÆþ ò31ÔÙ¥?Ø© 3.1.4 ÎåÆþ'X Î 3 §2.5 ¥§·®§NX?uMîÎ Hb ψ § Uþk(½§TÒ´ Hb 3 ψ ¥ ©e!òw§N X?uÄþÎ ˆ~p §Äþk(½§TÒ´ ˆ~p 3 ψp ¥ ©rù (Øí2ΧJÑXeÄ b© 1. ÎåÆþ'X—þfåÆÄ b X. J. . Î. Fb L. «. å. Æ. þ. F§@. o. . N. X. ?. u. Fb . . . . ψ . § å. Æ. þ. F k. (. ½. . . §ù. . . Ò. ´. Fb 3. ψ . ¥. . . . . ©
83.1.表示力学量的算符 1199回6 2.本征值可观测量厄密算符 显然,任何力学量的(可观测)数值必为实数.既然表示力学量 的算符的本征值是该力学量的可能值,因此表示力学量的算符的本征 值必为实数.但是在数学上并非任何算符的本征值都是实数.那么, 具备什么条件的算符的本征值才是实数呢?这个条件就是 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符 厄密算符的定义: 如果对于任意两个函数ψ和φ,算符F满足 F=/()d (3.1-8) 则称F为厄密算符.式中x代表所有变量,积分范围是所有变量变化 的整个区域 证明:以是表示F的本征值,y表示本征函数,则P=№.取 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 11/99 2. *ÿþ Î w,§?ÛåÆþ£*ÿ¤ê7¢ê©Q,L«åÆþ Î ´TåÆþU§ÏdL«åÆþÎ 7¢ê©´3êÆþ¿?ÛÎ Ñ´¢ê©@o§ äo^Î â´¢êQºù^Ò´µ þ. f. å. Æ. ¥. L. «. å. Æ. þ. . . Î. Ñ. ´. . . . Î. © . . . Î. . ½. Â. µ X. J. é. u. ?. ¿. ü. . ¼. ê. ψ Ú. φ §. Î. Fb ÷. v. Z ψ ∗Fbφdx = Z Fbψ ∗ φdx, (3.1-8) K. ¡. Fb . . . . Î. ©ª. ¥. x . L. ¤. k. C. þ. §È. ©. . . ´. ¤. k. C. þ. C. z. . . . «. . © y²µ± λ L« Fb §ψ L« ¼ê§K Fbψ = λψ©