波函数 物理人
1 第二节 波函数及其 物理意义
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难,德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学 量子力学:研究物质波和物质相互作用的学科 波函数 电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间 的变化来描述,机械波可以用质点的位移随时间变化 来描述。 物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述,这个函数称为波函数,通常用平来表示。 在一维空间量,波函数写成H(x,t),在三维空 间里写成(F,)
2 经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。 量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。 一、波函数 电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间 的变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化 来描述。 物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。 (x,t) (r,t) 在一维空间量，波函数写成 ，在三维空 间里写成
1自由粒子的波函数 自由粒子是不受外力作用的粒子,它在运动过程中 作匀速直线运动(设沿X轴),其能量和动量保持不变。 对应的德布罗意波具有频率和波长:E h 自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。 结论:自由粒子的物质波是单色平面波。 个频率为v、波长为入沿x方向传播的单色平面波 的表达式为:H(x=Acos2(1- 利用波粒二象性的关系式,用描述粒子性的物理 量来代替描述波动性的物理量,有: 2丌 y(x, t=yo cOS,(Et- px) h
3 1.自由粒子的波函数 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中 作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。 自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。 一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波 的表达式为： ( , ) cos 2 ( ) x x t = A t − 利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理 量来代替描述波动性的物理量，有： P h , = h E 对应的德布罗意波具有频率和波长： = ( ) 2 ( , ) cos 0 Et px h x t = −
2丌 V(x, t)=Vo CoS(Et-px) h 根据尤金公式,有: 2丌 (Et-Px) (Et-px) y(x, t)=voe poe V0为波函数的振幅 这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的 形式,又包含有体现粒子性的物理量E和P,因此它 描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。 对三维空间,沿矢径广方向传播的自由粒子的 波函数为: (Et-p.r) V(r, t=Ye h
4 ( ) 2 ( , ) cos 0 Et px h x t = − ( ) 2 0 ( , ) Et Px h i x t e − − = 0 为波函数的振幅。 根据尤金公式，有： 这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的 形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它 描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。 对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的 波函数为： r
(Et-p.r) V(r, t=Yoe h 根据波动理论,波函数的强度正比于平2。 利用复指数函数的运算法则,有: 平P=平x y*为平的复共轭函数。 注意:微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。 在一般情况下,粒子的波函数不是单色平面波的 形式,而是空间和时间和复杂函数。 下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系
5 ＊ 为的复共轭函数。 根据波动理论，波函数的强度正比于0 2 。 注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。 利用复指数函数的运算法则，有： ＊ = = 2 2 0 | | 在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。 下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系
2波函数的物理意义 为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较 1)从波动性看,对光的衍射,空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比,衍射极大值对应光振动振幅平 方的极大值,衍射极小值对应振幅平方的极小值。 用这种观点分析实物粒子衍射实验,可以看到在 衍射极大值处,波函数的振幅平方平*具有极大值, 在衍射极小值处,波函数的振幅平方yy*具有极小值。 2)从粒子的观点看,对光的衍射现象,光的衍射极 大值处找到光子的几率最大,极小值处找到光子的 几率最小
6 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较： 1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。 2.波函数的物理意义 为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在 衍射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值， 在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。 2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小
同样,这种观点对实物粒子衍射来说,在衍射极 大值处,找到粒子的几率最大,衍射极小值处,找到 粒子的几率最小。 综合以上的波动和粒子观点,得到:在某时刻 t,在空间某,波数了,t)的平方正比 于粒子在该时刻、该地点出现的几率。 玻恩在这个基础上,提出了关于波函数的统计解释: 波函数模的平方v(,1)代表时刻t、在处 粒子出现的几率密度。 根据波恩的解释,波函数本身并没有直接的物理 意义,有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说, 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的,物质波 是一种几率波,它反映微观粒子运动的统计规律
7 同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极 大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到 粒子的几率最小。 综合以上的波动和粒子观点，得到：在某时刻 t，在空间某处 ，波函数 的平方正比 于粒子在该时刻、该地点出现的几率。 r (r,t) 玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释： 波函数模的平方 代表时刻 、在 处 粒子出现的几率密度。 2 | (r,t)| r t 根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律
注意:在空间某处产附近找到粒子的几率除和波 函数平方值大小有关外,还和这个区域的大小有关 可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的,这样,有: 实物粒子的波函数在给定时刻,在空间某点的模 (振幅)的平方|412与该点邻近体积元dV的乘积, 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率W W=vd= yy dv y是W的共轭复数。 由此可见,y12为粒子在某点附近单位体积内粒子 出现的几率,称为几率密度。即=HP 波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅(几 率密度幅)的形式描述粒子的量子运动状态
8 W dV dV 2 * =| | = * 是 的共轭复数。 实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模 （振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。 注意：在空间某处 附近找到粒子的几率除和波 函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。 r 可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有： 由此可见， 为粒子在某点附近单位体积内粒子 出现的几率，称为几率密度。即： 2 | | 2 =| | 波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。 播放动画 微观粒子的运动所遵循的是统计性规律,波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同,它既不代表介质 运动的传播过程,也不是那种纯粹经典的场量,而是 种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状, 也不描述粒子运动的轨迹,它只给出粒子运动的几率 分布
9 微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。 根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。 播放动画
3.波函数应满足的条件 1标准条件 粒子在某一个时刻t,在空间某点上粒子出现的 几率应该是唯一的、有限的,所以波函数必须是单 值的、有限的;又因为粒子在空间的几率分布不会 发生突变,所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件, 称为波函数的标准条件。也就是说,波函数必须连 续可微,且一阶导数也连续可微 2归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现,所以任 意时刻,在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 应有
10 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的 几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单 值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会 发生突变，所以波函数还必须是连续的。 | | 1 2 dV V 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 应有： 3.波函数应满足的条件 1.标准条件 2.归一化条件 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件， 称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微