●提纲 18-8薛定谔方程 ●自由粒子的薛定谔方程 ●力场中粒子的薛定谔方程 定态薛定谔方程 18-9一维无限深方势阱 ●薛定谔方程 ●标准化条件及解的物理意义。 几点讨论 18-10势垒贯穿(隧道效应) ●隧道效应和扫描隧道显微镜STM 作业:18-28、29、32
• 提纲 18-10 势垒贯穿（隧道效应） 18-9 一维无限深方势阱 • 隧道效应和扫描隧道显微镜STM • 薛定谔方程 • 标准化条件及解的物理意义。 • 几点讨论 • 力场中粒子的薛定谔方程 • 定态薛定谔方程 18-8 薛定谔方程 • 自由粒子的 薛定谔方程 作业：18-28、29、32
18-8薛定谔方程 在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数 来描写;状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上,提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波娄来描述;力学量如何用力学量算符来 描述
18-8 薛定谔方程 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来 描述
建立薛定谔方程的主要依据和思路: 六要研究的微观客体具有波粒两象性,应该满足 德布罗意关系式 2满足非相对论的能量关系式,对于一个能量为E, 质量为m,动量为P粒子: E +V(F) 2n 若是方程的解,则CW也是它的解 若波函数y与y是某粒子的可能态,则 W+C2也是该粒子的可能态。 因此,波函数应遵从线性方程。 自由粒子的外势场应为琴。卩(F)=0
建立薛定谔方程的主要依据和思路： * 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足 德布罗意关系式 * 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， 质量为m，动量为P的粒子： * 若 是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。 因此，波函数应遵从线性方程。 * 自由粒子的外势场应为零
自由粒子的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为的自由粒子的浪函数 y(x, t=voe (Et-p.x) av(, t) Ey(x, t) py at 方 ax h 方2a at 2m ax 2 N(E、2 2m
• 自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数 ( , ) ( , ) E x t i t x t = − p i x = 2 2 2 2 p x = − ) 2 ( 2 2 2 2 2 m p E t m x i = − +
× 2m ax 2=(E 2m 为自由粒子的质量,因为势能为零,所以 所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程: ih_n202y 2m ox
) 2 ( 2 2 2 2 2 m p E t m x i = − + 为自由粒子的质量，因为势能为零，所以 所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程： 2 2 2 t 2m x i = −
同样推广到三维如下 个动能为E和动量为p,即波矢为k=P 的自由粒子,在坐标表象的波函数: Vk(r, t=yo exp(i Et-Pp·F 显然,浪函数对时间求导,可得出: at dVR( Ev(, OI at
( , ) exp( ) 0 Et p r r t i k − = − 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数： p p k = 同样推广到三维如下： ( , ) ( , ) E r t i t r t k k = − 显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出: aVr (F,t);Ovk(7,1)_p ax k(F,1) avr( =P,k(r,t; av(r, t) p 方 2 方2 Vk(r avr(r, t)i az =方P2A(,D,02v(F 方2G, 2 2 0202 2小k yu
波函数对空间求导可得出： ( , ); ( , ) p r t i x r t x k k = ( , ); ( , ) p r t i y r t y k k = ( , ); ( , ) p r t i z r t z k k = ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p x r t k k x = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p y r t k k y = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p z r t k k z = − k k p x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) = − + +
定义算符y2=02+ Ox 0y a 则得:Vv(,)=-12vAG1) 考虑自由粒子的能量:,2 E Vvk(r, t=EV(r, t) 2 2m 又因为 自由粒子的 薛定谔方程 得出::0vk(F,1)h22 VU,Gr at 2m 许多单色平面液线性叠加的态仍是上述方程的解
2 2 2 2 2 2 2 x y z + + 定义算符： = ( , ) ( , ) 2 2 2 r t p r t k k 则得： = − m p E 2 2 = 考虑自由粒子的能量： ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k = − ( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k − = 又因为： 得出： 许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。 自由粒子的 薛定谔方程
量子体系的运动状态由波函数来描述 力学量用力学量算来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值, 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值,则该波函数所描述的状态是该力学量 的本红态 前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了的( VVs(r,t 它应满足的方程,从 at 2 中我们可得到些启示, 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系
量子体系的运动状态由波函数来描述， 力学量用力学量算符来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的本征态。 下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系： 前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示
从上式推导可知若有如下对应关系 i一令→E E at at 动量-i in Vk=pyk ax 算符 iV分p -indyk=pvx 动能 算符 定义V +—k Vvr(r, t=Ev(r, t) 2m 2 可得出: 方 Vik(r,t) at 2m
从上式推导可知若有如下对应关系： E t i k E k t i = px x i − k px k x i = − i p − k p k i − = ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k = − 可得出： 动量 算符 k z j y i x ˆ ˆ ˆ + + = 定义( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k − = 动能 算符 2 2 2 ˆ = − m T