薛定谔方程及其 简单应用
1 薛定谔方程及其 简单应用
经典力学中,已知力F及x、10,可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数来 描写;状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上,提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时,以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程, 它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方 程
2 经典力学中，已知力 F 及 x0、v0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 一、薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程， 它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方 程。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律
这个方程还应满足以下两个条件:(1)方程是 线性的,即如果v1和v2都是这方程的解,那么v1和v2 的线性迭加(av1+bv2)也应是方程的解。这是由态 迭加原理决定的;(2)这个方程的系数不应包含状 态的参量,如动量、能量等。否则方程只能被粒子的 部分状态所满足,不能被各种可能的状态所满足 1自由粒子的薛定谔方程 动量为P、质量为m、能量为E的自由粒子,沿 x轴运动的波函数为: (Et-px) y(x, t)=voe 对时间求微商,得到: ap(x,t) i A:-niF(x,)① ee h at
3 ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − = 动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为： 1.自由粒子的薛定谔方程 这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程是 线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么1和2 的线性迭加（a1 +b2）也应是方程的解。这是由态 迭加原理决定的；（2）这个方程的系数不应包含状 态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的 部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。 对时间求微商，得到： ( , ) ( , ) ( ) 0 E x t i E e i t x t E t p x i = − = − − − ①
aY(x, t)_-L Ee h (Et-px) Ep(x, t) at 对x求二阶偏导 (Et-px) y(x, t=yoe h op(x, t)i (Et-px) 方 ax 方 a-p(,t 2 0已点 (Et-px) 平(x,1)② 当粒子速度远小于光速c时(v<<c)自由粒子的动量 和能量满足以下关系:np2 E 2m 比较以上三式,可得:;3HY(x,1)h202平(x,) at 2 ax
4 对 x 求二阶偏导 ① ② ( , ) ( , ) ( ) 0 E x t i E e i t x t E t p x i = − = − − − ( , ) ( , ) ( ) 0 p x t i p e i x x t E t p x i = = − − ( ) ( , ) ( , ) 2 ( ) 0 2 2 2 x t p e ip x x t E t p x i = = − − − 当粒子速度远小于光速c时（v<<c）自由粒子的动量 和能量满足以下关系： m p E 2 2 = ③ ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − = 比较以上三式，可得： 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) x x t t m x t i = − ④
i ap(, t) h ap(, t) at 2m ax2 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 2薛定谔方程的一般形式 若粒子不是自由的,而是在某力场中运动,其 势能函数为Ep=U(x,t),则粒子的总能量应为 E D +U/(x,t) 2m 此时的薛定谔方程为: ap(x, *) h a-p(x, t) +U(x,t)H(x,t)⑤ at 2m a
5 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 此时的薛定谔方程为： 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) x x t t m x t i = − 若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为： ( , ) 2 2 U x t m p E = + ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 2 2 U x t x t x x t t m x t i + = − ④ ⑤ 2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动,则其薛定谔方程为: H(,)_ho-(F,),o平(F,1),O4(F, at 2m ax +U/(F,)H(F,t) 为书写方便,我们引入拉普拉斯算符: a202a2 20,zx 则上式可写为: i ap(r, t) h v-p(r, t)+U(r, t)p(r, t)( at 2m
6 为书写方便，我们引入拉普拉斯算符： 若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为： ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t U r t r t t m r t i = − + ] ( , ) ( , ) ( , ) [ 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 z r t y r t x r t t m r t i + + = − U(r,t) (r,t) + 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + = 则上式可写为： ⑥ ⑦
ap(r, t) h V2HP(r,t)+U(7,)(F,D) 2m 由此可知,粒子能量E和动量P与E=P+U(x 下列作用在波函数上的算符相当: 2m E→i,p2-h2V2或p→>iV 写成式子:E=请,=请V V 引入哈密顿算符:b=、hC V+U 2m 则⑦式可写为:Hy=i aY这就是薛定谔方 ar程的一般形式。 7
7 写成式子： 由此可知，粒子能量E和动量P与 下列作用在波函数上的算符相当： z k y j x i + + = 引入哈密顿算符： , t E i → = = p i t E i , ˆ ˆ p → − 或p →i 2 2 2 U m H = − + 2 2 2 ˆ 则⑦式可写为： 这就是薛定谔方 t 程的一般形式。 H i = ˆ ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t U r t r t t m r t i = − + ( , ) 2 2 U x t m p E = +
3.建立薛定谔方程的一般方法 (1)找出粒子总能E与动量P的关系式; (2)把关系式中的E和P算符化:E→i,p→iV at (3)把经算符后的关系式分别作用在平上,即可得 到所需的薛定谔方程。 4定态薛定谔方程 定态:势函数不显含时间,其几率分布也不随时间变 化的状态。 如果粒子的势能并不随时间而变化,即 U=U(x,y,z),它不包含时间(在经典力学中这相应于 粒子机械能守恒的情况)。在这种情况下,可以用分 离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘 积,即:平(r,1)=0(r)() 8
8 （1）找出粒子总能E与动量P的关系式； （3）把经算符后的关系式分别作用在上，即可得 到所需的薛定谔方程。 如果粒子的势能并不随时间而变化，即 U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应于 粒子机械能守恒的情况）。在这种情况下，可以用分 离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘 积，即： (r,t) (r) f (t) = 3.建立薛定谔方程的一般方法 4.定态薛定谔方程 （2）把关系式中的E和P算符化： → → p i t E i , 定态：势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变 化的状态
代入i(F,1)h2 V2(r,1)+U/(,)H(r,t) at 2m i[四(r)f()=-V[(r)f()+U(r)0(r)f( at 2m 两边除以q(F)f(t),可得: 1 af(t) 。Vq(r)+U(r)(r) f(t)at (r) 2m 很明显,上式右边只是矢径F的函数,而左边只 是时间t的函数,为了使上式成立,必须两边恒等于 某一个常数,设以E表示,则有: 1 of(t) 1 h [VO(r)+U(ro(r=e f(tot (r) 2m
9 代入 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t U r t r t t m r t i = − + [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 2 [ ( ) ( )] 2 2 r f t U r r f t m r f t t i = − + ( ) ( ) ( )] 2 [ ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 r U r r t r m f t f t i = − + 很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只 是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于 某一个常数，设以E表示，则有： r 两边除以 (r) f (t) ，可得： r U r r E t r m f t f t i = − + = ( ) ( ) ( )] 2 [ ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 2
1可(1)1rh [V2(r)+U(r)0(r)=E f(t at (r) 2m af(t) =Ef()(1) at 2 V2q(r)+U(r)(r)=Eq(r)(2) 2m Et 方程(1)的解为:f(t)=Ceh(定态薛定调方程 (c为任一常数z et 将f(t)=ceh代(F,)=H(F)f() 并把常数包含在(F)中,这样 定态波函数 就得到薛定谔方程的特解为: Y(r, t)=o(r)e Er 10
10 方程（1）的解为： ( ) ( ) Ef t t f t i = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r U r r E r m − + = （1） （2） Et i f t ce − ( ) = （c为任一常数） 将 代入 ， Et i f t ce − ( ) = (r,t) (r) f (t) = 并把常数包含在 中，这样 就得到薛定谔方程的特解为： (r) Et i r t r e − ( , ) =( ) 定态波函数 r U r r E t r m f t f t i = − + = ( ) ( ) ( )] 2 [ ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 定态薛定谔方程