大学物理：《量子物理 QUANTUM PHYSICS》课程教学资源（PPT课件）第二章 薛定谔方程（Schrödinger Equation）

第二章薛定谔方程 (Schrodinger Equation §21薛定谔得出的波动方程 §22无限深方势阱中的粒子 §23势垒穿透 §24谐振子

第二章 薛定谔方程 (Schrödinger Equation) §2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子

§21薛定谔得出的波动方程 Wave Equation of Schrodinger 波函数 微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数y(F,) 描述。波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说,t时刻在空间(x,yz)点附近 的体积元d内发现粒子的概率正比于|v(xy,x,2dv, 其中y(xy,z,1)为波函数,Vy(xy,z)P为相对概率密度。 由于波函数v的概率解释,y可以相差一个任意 常数因子A,即y和Ay代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别

一、波函数 §2.1 薛定谔得出的波动方程 (Wave Equation of Schrödinger ) 由于波函数 ψ 的概率解释， ψ可以相差一个任意 常数因子A，即 ψ 和 Aψ 代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别。 微观粒子具有波粒二象性, 它的状态用波函数 描述。波动性和粒子性的关系为：波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说, t 时刻在空间 (x,y,z) 点附近 的体积元 dV 内发现粒子的概率正比于 |ψ(x,y,z,t)|2dV， 其中 ψ(x,y,z,t) 为波函数，|ψ(x,y,z,t) |2为相对概率密度。 (r,t)  

由于波函数y(r,)的概率解释,粒子在整个空间出 现的概率为1,所以y应该满足波函数的归一化条件: ∫jyw=1(2-全空间 已知φ(,D)是未归一化的波函数,则令y=Ap, 它们描述同一个状态,有 yl dv=jlao dv=la Jod=1 所以A= q ∫ar 这样得到的波函数y已经满足归一化条件,我们 就说ψ已归一化,并用v代替ρ描述这个状态

1 2 2 2 2 = = =     dV A dV A  dV 所以      = = dV dV A 2 2 1 , 1 这样得到的波函数 ψ 已经满足归一化条件，我们 就说 ψ 已归一化，并用ψ 代替 φ 描述这个状态。 1 2 =  dV ( −全空间)  已知 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， 它们描述同一个状态，有 (r,t)   由于波函数 的概率解释, 粒子在整个空间出 现的概率为1，所以ψ应该满足波函数的归一化条件： (r,t)  

波函数的物理意义:在空间很小的区域x-x+△C, -y+4y,z-z+△内,波函数可视为不变,粒子 在=xd内出现的概率,正比于平和d y2-在t时刻粒子出现在(x,x)点处单位体 积内出现的概率密度。 y2v-在t时刻粒子出现在(x,y,z)点附近d 体积元内出现的概率 「a乙-在t时刻粒子出现在v体积内的概率。 波函数的标准条件 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的,所以要求波函数y单值、连续、有限的 这称为波函数的标准条件,它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义,不代 表物理实在

波函数的物理意义： ψ 2dV － 在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点附近 dV 体积元内出现的概率。 dV V 2   － 在 t 时刻粒子出现在V 体积内的概率。 ψ 2 － 在 t 时刻粒子出现在 (x,y,z) 点处单位体 积内出现的概率密度。 二、波函数的标准条件： 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的，所以要求波函数 ψ 单值、连续、有限的。 这称为波函数的标准条件，它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义，不代 表物理实在。 在空间很小的区域 ， , 内，波函数可视为不变，粒子 在dV=dxdydz内出现的概率, 正比于 和dV。 x − x + x y − y + y z − z + z 2 

例:将波函数f(x)=exp(-a2x2)归一化 设归一化因子为A,则归一化的波函数为 y(x)=Aexp(ax/2) ●● 计算积分得:/2_a A=(12 1/2 1/2 元 元 则归一化的波函数为: y(x)=( a√exp(-a2x2/2 1/2 元

设归一化因子为A，则归一化的波函数为 计算积分得： 则归一化的波函数为:  +  − ( ) = 1 2  x dx 例：将波函数 f (x) = exp(− 2 x 2 2) 归一化。 ( ) exp( / 2) 2 2  x = A − x 1/ 2 2   A = 1/ 2 1/ 2 ( )   A = ( ) ( ) exp( / 2) 1/ 2 2 2 1/ 2 x  x    = −

三、薛定谔方程(非相对论): 在经典力学中,物体的运动满足牛顿定律,它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 在量子力学中,微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律,也就是波函 数y随时间和空间的变化规律。v满足的方程,薛 定谔方程是量子力学的基本方程,在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位

在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 三、薛定谔方程（非相对论）： 在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律, 也就是波函 数 ψ 随时间和空间的变化规律。ψ 满足的方程，薛 定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位

问题的提出: 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲 De broglie的 那篇学位论文呢? 月以后:薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 薛 德拜 定 波,应该有一个波动方谔 程”。薛定谔(1926) 提出了非相对论性的薛定谔方程: 瑞士联邦工业大学 物理讨论会(1926) n2(a型xB八U(x,x1=。y azy 2m ax a at 狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程,它们是 量子力学的基本方程,二人分享了1933年诺贝尔物理学奖

问题的提出： 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De Broglie的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 波，应该有一个波动方 程” 瑞士联邦工业大学 物理讨论会（1926） 德 薛 拜 定 谔 。 薛定谔（1926） 提出了非相对论性的薛定谔方程： t Ψ U x y z t Ψ i z Ψ y Ψ x Ψ m   + =           +   +   −   ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 狄拉克（1928）提出了相对论性的狄拉克方程，它们是 量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖

1.一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动,波函数为Y(x,D)=Ve=(e-nx) ayp 对x求二阶偏导 2平(1) oyp 对球求一阶偏导arh Ey(2) 由(2)式可得0yh ay p ay i代入(1)式ax2=ihr 由E=P h 8y ay 可得薛定谔方程 2m 2m ax at

1. 一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动, 波函数为 ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − =    对x求二阶偏导 对t求一阶偏导   2 2 2 2  p x = −   （1）   E i t  = −   （2） 由(2)式可得 t iE    = −   代入(1)式 iE t p x   =      2 2 2 t i m x   =   −     2 2 2 2 可得薛定谔方程 m p E 2 2 由 =

2.势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量的m+U(x,)(3) ay 方10y ax 由(2)式可得E (4) ap i (1) i v at E 由(1)式可得p2=_n202y at h (5) (2) yp ax 2 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 E≡i = x三 at ax 将(4),(5代入③3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 对一维情况有:-。y+(xWy=i 2m ax2 at 这个方程称为含时薛定谔方程,式中波函数是时空点的函 数y=y(x,0,U(x,)是粒子在场中的势能函数

2. 势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量 ( , ) 2 2 U x t m p E = + （3） 由(2)式可得 i t E   = −    1 （4） 由(1)式可得 2 2 2 2 x P   = −    （5） 将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 x x x p i t E i x     −    ˆ ˆ ˆ   = −     2 2 2 2  p x （1） = −    E i t  （2） 对一维情况有： t Ψ U x t Ψ i x Ψ m   + =   −   ( , ) 2 2 2 2 这个方程称为含时薛定谔方程，式中波函数是时空点的函 数 Ψ = Ψ (x, t)，U(x, t) 是粒子在场中的势能函数

3势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 2max2a,2+02)+0=O 方202y02y02y at 引入拉普拉斯算符V2020202 ax ay 。2 2 上式写成 ap Vy+Uy=边 2 m 引入哈密顿算符方2 V+U 2m 可得一般形式的薛定谔方程y=边 oy at

3. 势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 t U i m x y z   + =   +   +   −        ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 引入拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    = 上式写成 t U i m   −  + =      2 2 2 引入哈密顿算符 U m H = −  + 2 2 2 ˆ  可得一般形式的薛定谔方程 t H i   =    ˆ