第二章薛定谔方程 (Schrodinger Equation §21薛定谔得出的波动方程 §22无限深方势阱中的粒子 §23势垒穿透 §24谐振子
第二章 薛定谔方程 (Schrödinger Equation) §2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
§21薛定谔得出的波动方程 Wave Equation of Schrodinger 波函数 微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数y(F,) 描述。波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说,t时刻在空间(x,yz)点附近 的体积元d内发现粒子的概率正比于|v(xy,x,2dv, 其中y(xy,z,1)为波函数,Vy(xy,z)P为相对概率密度。 由于波函数v的概率解释,y可以相差一个任意 常数因子A,即y和Ay代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别
一、波函数 §2.1 薛定谔得出的波动方程 (Wave Equation of Schrödinger ) 由于波函数 ψ 的概率解释， ψ可以相差一个任意 常数因子A，即 ψ 和 Aψ 代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别。 微观粒子具有波粒二象性, 它的状态用波函数 描述。波动性和粒子性的关系为：波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说, t 时刻在空间 (x,y,z) 点附近 的体积元 dV 内发现粒子的概率正比于 |ψ(x,y,z,t)|2dV， 其中 ψ(x,y,z,t) 为波函数，|ψ(x,y,z,t) |2为相对概率密度。 (r,t)
由于波函数y(r,)的概率解释,粒子在整个空间出 现的概率为1,所以y应该满足波函数的归一化条件: ∫jyw=1(2-全空间 已知φ(,D)是未归一化的波函数,则令y=Ap, 它们描述同一个状态,有 yl dv=jlao dv=la Jod=1 所以A= q ∫ar 这样得到的波函数y已经满足归一化条件,我们 就说ψ已归一化,并用v代替ρ描述这个状态
1 2 2 2 2 = = = dV A dV A dV 所以 = = dV dV A 2 2 1 , 1 这样得到的波函数 ψ 已经满足归一化条件，我们 就说 ψ 已归一化，并用ψ 代替 φ 描述这个状态。 1 2 = dV ( −全空间) 已知 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， 它们描述同一个状态，有 (r,t) 由于波函数 的概率解释, 粒子在整个空间出 现的概率为1，所以ψ应该满足波函数的归一化条件： (r,t)
波函数的物理意义:在空间很小的区域x-x+△C, -y+4y,z-z+△内,波函数可视为不变,粒子 在=xd内出现的概率,正比于平和d y2-在t时刻粒子出现在(x,x)点处单位体 积内出现的概率密度。 y2v-在t时刻粒子出现在(x,y,z)点附近d 体积元内出现的概率 「a乙-在t时刻粒子出现在v体积内的概率。 波函数的标准条件 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的,所以要求波函数y单值、连续、有限的 这称为波函数的标准条件,它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义,不代 表物理实在
波函数的物理意义： ψ 2dV － 在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点附近 dV 体积元内出现的概率。 dV V 2 － 在 t 时刻粒子出现在V 体积内的概率。 ψ 2 － 在 t 时刻粒子出现在 (x,y,z) 点处单位体 积内出现的概率密度。 二、波函数的标准条件： 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的，所以要求波函数 ψ 单值、连续、有限的。 这称为波函数的标准条件，它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义，不代 表物理实在。 在空间很小的区域 ， , 内，波函数可视为不变，粒子 在dV=dxdydz内出现的概率, 正比于 和dV。 x − x + x y − y + y z − z + z 2
例:将波函数f(x)=exp(-a2x2)归一化 设归一化因子为A,则归一化的波函数为 y(x)=Aexp(ax/2) ●● 计算积分得:/2_a A=(12 1/2 1/2 元 元 则归一化的波函数为: y(x)=( a√exp(-a2x2/2 1/2 元
设归一化因子为A，则归一化的波函数为 计算积分得： 则归一化的波函数为: + − ( ) = 1 2 x dx 例：将波函数 f (x) = exp(− 2 x 2 2) 归一化。 ( ) exp( / 2) 2 2 x = A − x 1/ 2 2 A = 1/ 2 1/ 2 ( ) A = ( ) ( ) exp( / 2) 1/ 2 2 2 1/ 2 x x = −
三、薛定谔方程(非相对论): 在经典力学中,物体的运动满足牛顿定律,它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 在量子力学中,微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律,也就是波函 数y随时间和空间的变化规律。v满足的方程,薛 定谔方程是量子力学的基本方程,在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位
在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 三、薛定谔方程（非相对论）： 在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律, 也就是波函 数 ψ 随时间和空间的变化规律。ψ 满足的方程，薛 定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位
问题的提出: 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲 De broglie的 那篇学位论文呢? 月以后:薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 薛 德拜 定 波,应该有一个波动方谔 程”。薛定谔(1926) 提出了非相对论性的薛定谔方程: 瑞士联邦工业大学 物理讨论会(1926) n2(a型xB八U(x,x1=。y azy 2m ax a at 狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程,它们是 量子力学的基本方程,二人分享了1933年诺贝尔物理学奖
问题的提出： 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De Broglie的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 波，应该有一个波动方 程” 瑞士联邦工业大学 物理讨论会（1926） 德 薛 拜 定 谔 。 薛定谔（1926） 提出了非相对论性的薛定谔方程： t Ψ U x y z t Ψ i z Ψ y Ψ x Ψ m + = + + − ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 狄拉克（1928）提出了相对论性的狄拉克方程，它们是 量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖
1.一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动,波函数为Y(x,D)=Ve=(e-nx) ayp 对x求二阶偏导 2平(1) oyp 对球求一阶偏导arh Ey(2) 由(2)式可得0yh ay p ay i代入(1)式ax2=ihr 由E=P h 8y ay 可得薛定谔方程 2m 2m ax at
1. 一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动, 波函数为 ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − = 对x求二阶偏导 对t求一阶偏导 2 2 2 2 p x = − （1） E i t = − （2） 由(2)式可得 t iE = − 代入(1)式 iE t p x = 2 2 2 t i m x = − 2 2 2 2 可得薛定谔方程 m p E 2 2 由 =
2.势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量的m+U(x,)(3) ay 方10y ax 由(2)式可得E (4) ap i (1) i v at E 由(1)式可得p2=_n202y at h (5) (2) yp ax 2 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 E≡i = x三 at ax 将(4),(5代入③3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 对一维情况有:-。y+(xWy=i 2m ax2 at 这个方程称为含时薛定谔方程,式中波函数是时空点的函 数y=y(x,0,U(x,)是粒子在场中的势能函数
2. 势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量 ( , ) 2 2 U x t m p E = + （3） 由(2)式可得 i t E = − 1 （4） 由(1)式可得 2 2 2 2 x P = − （5） 将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 x x x p i t E i x − ˆ ˆ ˆ = − 2 2 2 2 p x （1） = − E i t （2） 对一维情况有： t Ψ U x t Ψ i x Ψ m + = − ( , ) 2 2 2 2 这个方程称为含时薛定谔方程，式中波函数是时空点的函 数 Ψ = Ψ (x, t)，U(x, t) 是粒子在场中的势能函数
3势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 2max2a,2+02)+0=O 方202y02y02y at 引入拉普拉斯算符V2020202 ax ay 。2 2 上式写成 ap Vy+Uy=边 2 m 引入哈密顿算符方2 V+U 2m 可得一般形式的薛定谔方程y=边 oy at
3. 势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 t U i m x y z + = + + − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 引入拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + = 上式写成 t U i m − + = 2 2 2 引入哈密顿算符 U m H = − + 2 2 2 ˆ 可得一般形式的薛定谔方程 t H i = ˆ
