§6-3角动量和角动量守恒定律 质点力学:[Fd=m2-m 刚体力学:能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态? 例 静止时,mD=0:∑mu=0 转动时,∴∑m=0 结论 无论刚体静止,快转或慢转,其各质点动量之和恒为墨。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态, 必须引入新的物理量角动量(动量矩) 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 1 §6-3 角动量和角动量守恒定律 质点力学： 2 1 2 1 t t F dt m m = − 刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？ 例 ω 静止时， 0 mi i = 0 = mi i 转动时， 0 = mi i 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——角动量（动量矩）
一.质点的角动量(动量矩) 1.定点: F×P=F×mU 其大小 S Lo rosin(o=mrusin(o 特例:质点作圆周运动=mp=mU 2.定轴: 质点对轴的角动量,就是质点对柚轴与转动平面的交点O 点的角动量 L=F×P=F×m L =rm=rmo=Jo 第六章刚体动力学 2
第六章 刚体动力学 2 一. 质点的角动量（动量矩） v LO = r P = r m 其大小 LO = rpsin = mrvsin 特例：质点作圆周运动 L = rp = mrv LO O r P S 1. 定点： 2. 定轴： 质点对z轴的角动量，就是质点对z轴与转动平面的交点O 点的角动量 L r P r m z = = v 2 L rm r m J z z = = =
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态 例质点对圆心的角动量。行星在椭圆轨道上的角动量。 O rmu 抛出物体对O点的角动量。直线运动的物体对O点的角动量 n1, 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 3 例 质点对圆心的角动量。 质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态 r m o L 行星在椭圆轨道上的角动量。 o 1 r 2 r m1 m2 直线运动的物体对O点的角动量。 x o 1 r 2 r m1 m2 抛出物体对O点的角动量。 x y o r m
二.质点的角动量定理和角动量守恒定律 F×F=M 元×m=0 e dp dr Fat=dP —×mU dt M=dL(质点角动量定理的微分形式) M·d=L2-L1 Fdt=p-P 质点所受合力短的冲量矩等于质点的角动量的增量 当M时,L守恒 角动量守恒定律 当F助,P守恒 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 4 当 F = 时， 0 P守恒 当 M = 时， 0 (质点角动量定理的积分形式 2 ) 1 2 1 t t F dt P P = − ( ) dL d r m dt dt = v d m dr ( ) r m dt dt = + v Fdt dP = dP F dt = 二. 质点的角动量定理和角动量守恒定律 v v = 0 r F M m = dL M dt = Mdt dL = 2 1 2 1 t t M dt L L = − (质点角动量定理的微分形式) 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量 L守恒 ——角动量守恒定律
过论 1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用 于宏观体系,也适用于微观体系,且在高速低速范围均适用 (2)通常对有心力:F过O点M=0角动量守恒 例如由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 L=mursing=irsina C d r irSina ds 2m 2m 第六章刚体动力学 5
第六章 刚体动力学 5 (2) 通常对有心力： 例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 (1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用 于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用 1 sin 2 2 2 dr r dS m m dt dt = = sin sin dr L m r m r dt = = v 讨论 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 F 过O点,M=0,角动量守恒 m • r dr
三.刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1.刚体定轴转动的角动量 刚体各质点对Z轴的角动量方向相同 L=∑ ,U1 ∑Mm2o=J2o L2=JO(所有质元的角动量之和 0 2.刚体定轴转动的角动量定理 Mh=dL=d(Jo)(角动量定理微分形式) Md=do)o2(0(角动量定理积分形式) 定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 6 三. 刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 刚体各质点对 Z 轴的角动量方向相同 = i 2 i i m r = JZ • mi i r vi (所有质元的角动量之和) O Z LZ = JZ = i Z ivi i L m r 1. 刚体定轴转动的角动量 2. 刚体定轴转动的角动量定理 ( ) 2 2 1 1 2 1 d d ( ) ( ) t z t M t J J J = = − （角动量定理积分形式） 定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量 Mdt dL d J = = ( ) （角动量定理微分形式）
3.刚体定轴转动的角动量守恒定律 M=0 △L=0J=常量 若定轴转动刚体所受合外力矩为零,则刚体 对该轴的角动量守恒。 1)J,ω均不变 √回转仪 2)J,o均变,但L=J不变 √旋转刚体 √茹可夫斯基凳 √花样滑冰跳水 第六章刚体动力学 7
第六章 刚体动力学 7 3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律 Mz = 0 L = 0 Jω = 常量 若定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体 对该轴的角动量守恒。 1）J，ω均不变 ✓ 回转仪 2）J，ω均变，但L＝ Jω不变 ✓茹可夫斯基凳 ✓花样滑冰 跳水 m m ω 1 r 2 r ✓旋转刚体
例均质细杆(m),一端悬挂,可在竖直面内自由转动。开始 时处于静止,在杆的中心作一冲量I,方向垂直于杆。求冲 量作用结束时,杄获得的角速度。(假定冲量作用时间极 短,在冲量作用的整个过程中杆不发生位移) 解已知:「Fd=1(杆中心受的冲量) 重力不产生力矩,F对O点产生力矩M, 该段时间内,力矩的冲量矩为 M·at=F.at= 由刚体角动量定理:1.=Jm-0 3Ⅰ 2M 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 8 均质细杆(l, m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始 时处于静止，在杆的中心作一冲量I，方向垂直于杆。求冲 量作用结束时，杆获得的角速度。（假定冲量作用时间极 短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移） 例 解 O I 已知： F dt I = （杆中心受的冲量） 重力不产生力矩，F对O点产生力矩M， 该段时间内，力矩的冲量矩为： M dt 由刚体角动量定理： 0 2 l I J = − 2 Il J = 3 2 I M l = 2 l = F dt 2 l = I
例测子弹速度(完全非弹性碰撞) 1、子弹击中沙摆,沙摆在平面内运动。 已知m,M,L,0 碰撞在原静止处完成,水平方向P守恒 mo=(M+m)u 摆上升过程中,E守恒(M+m)2=(M+m)gl(1-cosO) 2、子弹击中木杆,木杆作定轴转动 已知m,M,l,0 碰撞在原静止处完成,M=0,I守恒 mu/=(M+m/)o 杆向上摆过程中,E守恒 M+ml )o=Mg (1-cos 0)+mg(1-cos 0) 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 9 例 测子弹速度 1、子弹击中沙摆，沙摆在平面内运动。 已知 m，M，l，θ θ （完全非弹性碰撞） 碰撞在原静止处完成，水平方向P守恒 0 m M m = + ( ) 摆上升过程中，E守恒 1 2 ( ) ( ) (1 cos ) 2 M m M m gl + = + − 2、子弹击中木杆，木杆作定轴转动。 已知 m，M，l，θ 碰撞在原静止处完成，M＝ θ 0，L守恒 2 2 0 1 ( ) 3 m l Ml ml = + 杆向上摆过程中，E守恒 1 1 2 2 2 ( ) 2 3 Ml ml + (1 cos ) (1 cos ) 2 l = − + − Mg mgl
例相对运动 1、一人m静止在船M上,M+m以u向右前进,当m相对于船 M以u向左运动时,M的速度V=? 研究对象:人m+船M U←个y→Uo 水平方向:动量P守恒 惯性参考系中(M+m)=m(-U+1)+M 人m静止在圆盘(R,M边缘,以共同的速度o转动,当人 相对于盘以u反向作圆运动时,M的o=? 研究对象:人m+盘M M=0,角动量L守恒惯性参考系中 MR2+mk)0-2 MR 0+mR( D—R +O 第六章刚体动力学 10
第六章 刚体动力学 10 例 相对运动 1、一人m静止在船M上，M＋m以υ0向右前进，当m相对于船 M以υ向左运动时，M的速度V＝？ 0 研究对象：人m＋船M 水平方向：动量P守恒 惯性参考系中 0 ( ) ( ) M m m V MV + = − + + 2、一人m静止在圆盘(R,M)边缘，以共同的速度ω0转动，当人 相对于盘以υ反向作圆运动时，M的ω＝？ 0 研究对象：人m＋盘M M＝0，角动量L守恒 惯性参考系中 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) 2 2 MR mR MR mR R + = + − +