3振动曲线 以振动平衡位置为坐标原点,振动万位移时间曲线 不是运动轨迹 向为纵轴,t为横轴的x-t关系曲线。 x=A cos 2/t T 振动方程 旋转矢量 振动曲线 第七章机械振动
第七章 机械振动 1 以振动平衡位置为坐标原点，振动方 向为纵轴，t为横轴的 x - t 关系曲线。 2 x A t cos T = 3. 振动曲线 o x t T A x = 0 旋转矢量 振动方程 振动曲线 位移时间曲线 不是运动轨迹
例已知振动曲线,求振动方程。 解A=3cm XX x(cm) T=2 2丌 T 由振动曲线1, t=0时,xo=0,U0>0 1 x=5CO8(2、2 由振动曲线2,t=0时,x=-3,U0=0 02=7x2=3c0s(xt+丌) 第七章机械振动 2
第七章 机械振动 2 o x cm( ) t s( ) 1 3 −3 2 3 解 例 已知振动曲线，求振动方程。 x 1 2 = − A cm = 3 T s = 2 2 s T = = 1 3cos( ) 2 x t = − 2 = 2 x t = + 3cos( ) 由振动曲线1， 1 2 t＝0时，x0＝0，υ0 > 0 由振动曲线2， t＝0时，x0＝－3，υ0＝ 0
相位差利用相位差可比较两个振动的步调是否一致 x,=A cos(at+o) 同方向、同频率振动 x 2=A, cos(ot+p2) △q=(ot+2)-(Ot+)=(2-(初相差) 1.超前和落后 1 若△φ=p21>0,则 x2比x1早△q达到正最 大,称x2比x1超前△φ (或x1比x2落后△p) 第七章机械振动
第七章 机械振动 3 相位差 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致 1 1 1 x A t = + cos( ) 2 2 2 x A t = + cos( ) 同方向、同频率振动 2 1 = + − + ( ) ( ) t t = − 2 1 （初相差） 1. 超前和落后 t x O A1 -A1 A2 - A2 x1 若 x2 = 2 - 1> 0 , 则 x2 比 x1 早 达到正最 大 , 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )
同相和反相 (=2k丌 同相 两振动步调相同 反相 △q=(2k+1)丌 两振动步调相反 第七章机械振动
第七章 机械振动 4 = 2k 两振动步调相同 = + (2 1) k x t oA1 -A1 A2 - A2 x 1 x2 T 同相 x 2 T x oA1 -A1 A2 - A2 x 1 t 反相 2. 同相和反相 两振动步调相反
比较谐振动的x、、a的相位 x=A cos(at+o) U=-Aosin(at +o)=Ao cost++ a=Ao? cos(ot+)=A0 cos(ot+o+t 可见:速度比位移 xo a x相位超2;加速度 a比速度υ相位超前 π/2;加速度a与位移 x反相。 T 第七章机械振动 5
第七章 机械振动 5 A 比较谐振动的x、υ、a 的相位 x A t = + cos( ) = − + A t sin( ) 2 a A t = + cos( ) π cos 2 A t = + + ( ) 2 = + + A t cos π T o x t a A 2 2 令 = − 可见：速度υ比位移 x 相位超π/2；加速度 a 比速度υ相位超前 π/2；加速度 a 与位移 x 反相
例一弹黉振子,m=100g,把物体从平衡位置向下拉10cm后 释放,已知T=2S。求 (1)物体第一次经过平衡位置时的速度, (2)物体第一次在平衡位置上方5cm处的加速度, (3)物体从平衡位置下方5cm处向上运动到平衡位置上方 5cm处所需最短时间。 解建立坐标如图,A=10cm 2丌 =丌rc/s =0 x=10cos(t)(cm) (1)U=-10sin(x) -2 U=-10=-314cm/s 2 第七章机械振动
第七章 机械振动 6 例 一弹簧振子，m＝100g，把物体从平衡位置向下拉10cm后 释放，已知T＝2s。求： （1）物体第一次经过平衡位置时的速度， （2）物体第一次在平衡位置上方5cm处的加速度， （3）物体从平衡位置下方5cm处向上运动到平衡位置上方 5 cm处所需最短时间。 解 建立坐标如图， o x 10 A cm =10 2 rad s T = = = 0 x t cm =10cos( ) ( ) （1） = −10 sin( )t 2 t = = − = − 10 31.4cm s o x
x=10cos(Tt)(cm (2)a=-10xc0s(xt) 2丌 10x 丌t 3 a=-1072cos(2)=572cm/2 (3)由旋转矢量图 △Q2丌 △tT T 2丌 第七章机械振动 7
第七章 机械振动 7 o x 10 （2） x t cm =10cos( ) ( ) 2 a t = −10 cos( ) 2 3 t o x = −10 10 2 2 10 cos( ) 3 a = − 2 2 = 5 cm s （3）由旋转矢量图 −10 o 10 x 3 = 2 t T = 2 T t = 1 3 = s
四、几种常见的谐振动 1.单摆 设逆时针转动为正方向 由转动定理M=JB mglsin b=m d20 当0<5时,sin6≈θ d20 vmg d2+O=0(简谐振动) 0=0 cos(at +9 T 2兀=2兀 角位移 角振幅 第七章机械振动
第七章 机械振动 8 四、 几种常见的谐振动 1. 单摆 o 由转动定理 M J = mg 2 2 2 sin d mgl ml dt − = 当θ< 5 0时，sinθ≈θ 2 2 0 d g dt l + = （简谐振动） g l = 2 2 l T g = = cos( ) A = +t 角位移 角振幅 设逆时针转动为正方向
例用手拉摆球,单摆从平衡位置偏一小角0,无初速度释 放,偏角大小不同,(1)周期相同吗?(2)振幅0相同 吗?(3)00是不是初相?φ=? 解单摆的振动方程 0=0 cos(at +o) T=2丌 由系统决定 0和q由初始条件决定 6=01c0s() O,=0(振幅) 0=-6sin() 初相:0=0 第七章机械振动
第七章 机械振动 9 例 用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角θ0，无初速度释 放，偏角大小不同，（1）周期相同吗？（2）振幅θA相同 吗？（3） θ0是不是初相？φ＝？ o 0 解 单摆的振动方程： cos( ) A = +t 2 g T l = ——由系统决定 θA和φ由初始条件决定 0 cos( ) = A 0 sin( ) = − A A = 0 （振幅） 初相： = 0
2.复摆(物理摆)—可绕固定光滑轴摆动的刚体 设刚体对轴的转动惯量为/,逆时针为正 由转动定理M=JB mghsin 0=JB 6<5时,sin≈ +9h =0(简谐振动) m mg h T=2n/ mgh 令J=mh2 可见,单摆是复摆的特例 可得O= 第七章机械振动 10
第七章 机械振动 10 2. 复摆 设刚体对轴的转动惯量为J，逆时针为正 M J = 5 ,sin 时 2 2 g 0 d m h dt J + = J mgh = m h J T g = 2 （物理摆） 由转动定理 − = m h J g sin （简谐振动） 令 2 J mh = 可得 g l = 可见，单摆是复摆的特例 —可绕固定光滑轴摆动的刚体