三、高斯定理 1.内容:真空中的任何静电场中,穿过任一闭合助面的电 通量,在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘 以1/s ∮E·ds=∑q 思考 )高斯面上的E与哪些电荷有关? 2)哪些电荷对闭合曲面S的中有贡献? 第8章静电场
第8章 静电场 1 e 0 1 1 d n i S i Φ E S q = = = 内 真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电 通量,在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘 以 . 1 0 1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s 的 Φe 有贡献 ？ 三、高斯定理 1. 内容： 思考：
2.推证: 库仑定律 高斯定理的导出 电场强度叠加原理 (1)点电荷位于球面中心 69 点电荷电场E 4πE。r 手Eds=乐 ds 4丌 4丌E 4丌Er (2)点电荷在任意闭合曲面内 ES=∮ E·dS 第8章静电场
第8章 静电场 2 2. 推证： + S d (1) 点电荷位于球面中心 2 0 4π q E r = 1 e d S Φ = E S 0 q = r 高斯定理的导出 库仑定律 电场强度叠加原理 点电荷电场 1 2 0 d 4π S q S r = 2 2 0 4π 4π q r r = (2) 点电荷在任意闭合曲面内 S1 2 S 2 e d S Φ = E S 1 d S = E S 0 q = q
(3)点电荷在闭合曲面之外 E·dS=0 q (4)由多个点电荷产生的电场 Eds=∮∑Eds q2○ ∑事EdS+∑∮EdSg° ds ∑∮EdS=0 q° 中=∑手EdS=∑9内 ⅸ内) 第8章静电场
第8章 静电场 3 q (3) 点电荷在闭合曲面之外 3 e d 0 S = = E S 1 q i q 2 q s dS E (4) 由多个点电荷产生的电场 e d S Φ = E S i i d d i i S S = + E S E S （外） e 0 1 i d i i i S Φ E S q = = 内 （内） d 0 i i S E S = （外） 3 s d i S i = E S
高斯定理 ∮ E·dS ∑ 0i=1 q内Ec 真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量,在数 值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘以1/co 结论 1)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 2)高斯面为闭合曲面 3)穿出高斯面的电场强度通量为正,穿入为负 4)仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献 5)静电场是有源场 第8章静电场
第8章 静电场 4 e 0 1 1 d n i S i Φ E S q = 高斯定理 = = 内 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 2）高斯面为闭合曲面. 5）静电场是有源场. 3）穿出高斯面的电场强度通量为正，穿入为负. 结论 0 1 V dV = 真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量,在数 值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘以 . 1 0
讨论 1)将q2从移到B,P点电场强度是 A 否变化?穿过高斯面S的电通量是否 变化? (2)在点电荷+q和-q的静电场中,做 B 如下的三个闭合面S1,S2S3,求通过各 闭合面的电通量 +a ∮E ①2=0 第8章静电场 5
第8章 静电场 5 S1 S2 S3 +q −q 1 1 0 d S q Φ E S = = 2 Φ = 0 3 0 q Φ − = (2) 在点电荷+q和-q的静电场中，做 如下的三个闭合面S1 ,S2 ,S3 , 求通过各 闭合面的电通量 (1) 将q2从A移到B，P点电场强度是 否变化？穿过高斯面S的电通量是否 变化？ 2 q 2 q A B s 1 q P * 讨论
四、高斯定理的应用 求解电荷具有某些对称分布的电场 解题步骤: 1.对称性分析;(球对称、柱对称、面对称) 2.根据对称性选择合适的高斯面; 高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 3.计算高斯面包围的电荷电量的代数和; 4.应用高斯定理求解 第8章静电场
第8章 静电场 6 四、高斯定理的应用 1. 对称性分析； 2. 根据对称性选择合适的高斯面； 3. 计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 4. 应用高斯定理求解. ——求解电荷具有某些对称分布的电场 （球对称、柱对称、面对称） 解题步骤： 高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
例均匀带电球面,总电量为Q,半径为R 求:电场强度分布 解:根据电荷分布的对称性, R E 选取合适的高斯面(闭合面) 取过场点、以球心O为心的球面 计算高斯面的电通量 E ∮E·=∮ES=EA=E4x2=∑ E R∑q TR∑91=Q RE 4丌E 第8章静电场 7
第8章 静电场 7 例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R， Q 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面) 解: 取过场点、以球心 O为心的球面 E S E dS S = EdS S = E dS 2 = E r 4 求：电场强度分布 R o P r S dS 计算高斯面的电通量 0 1 = i i q 0 2 0 4 = Q r R E r r = 0 i i r R q = i i r R q Q r R E = 0 r E O E = 0 2 1 E r
例已知球体半径为R,带电量为q(电 荷体密度为) 求均匀带电球体的电场强度分布 R 解球外(r≥R) EdS=E.4πr=q/6o E R 4a 兀EF 38 E 球内(r<R) E·dS=E·4π q πrP R 电场分布曲线 E-p 38 第8章静电场
第8章 静电场 8 例 已知球体半径为R，带电量为q（电 荷体密度为） R + + + + 解 球外 ( ) r R r 0 2 0 4 1 r r q E = 0 2 3 3 0 r r R = 求 均匀带电球体的电场强度分布 球内( ) r R 3 0 0 1 1 4 ' 3 q r = = 2 d = E 4r S E S r' 3 0 E r = 电场分布曲线 R E O r 2 d = E 4 r S E S 0 = q
例死限长均匀带电直线,单位长度上的电荷(即电荷线密 度)为λ,求距直线为r处的电场强度 解对称性分析:轴对称 选取闭合的柱形高斯面 E ∮E:ds」Eds+∫Eds+∫Eds s(侧) s(上 s(下) h EdS +0+0=2TrhE s(侧) 0 E 2πEnr 第8章静电场
第8章 静电场 9 例 ( ( ( + + d d d s s s 侧） 上） 下） E S E S E S 选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷（即电荷线密 度）为λ，求距直线为r 处的电场强度. 解 对称性分析：轴对称 d S E S = ( d 0 0 s = + + E S 侧） + + + + + o x y z h E + r = 2πrhE0 0 2 π E r r = 0 = h
例已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为a 求电场强度分布 解电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面 Φ=dE·dS o EdS+rEdS+ E·dS 右底 =0+es+ ES=2ES E 根据高斯定理有 QES=-OS E 第8章静电场 10
第8章 静电场 10 解 电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面 d e S = E S 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 求 电场强度分布 例 n E E n = + + 侧 左底 右底 E S E S E S d d d = 0 + ES + ES = 2ES 根据高斯定理有 ES S 0 1 2 = 0 2 E = x O Ex n