西安电子科技大学：《大学物理》第八章 静电场（8.6）等势面电场强度和电势的关系

例:带电球面RC中心有一点电荷q。求E(r),l(r) R E +g 4兀E r< R 48r 4E R g+o R 48r g+ R 4E。R 第8章静电场

第8章 静电场 1 E r u r ( ), ( ) 例：带电球面 R Q, 中心有一点电荷 q 。求 r R r R        0 1 2 0 0 2 2 0 4 4 q E r r Q q E r r   = + = r R r R r R           = Q O q R 1 0 0 2 0 3 0 4 4 4 4 q Q u r R q Q u r q Q u R     = + + = + =

例半径为R,带电量为q的均匀带电球体 求带电球体的电势分布 解由高斯定理: R r<R El P 4丌ER R E 24πE0 对球外一点PM外= Ed=「 dr q h4πsnr 4πEnr 对球内一点P1 u Edr=E,dr+rEdr 3R2-r2) ePI sTaR 第8章静电场

第8章 静电场 2 半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体 解 由高斯定理： 求 带电球体的电势分布 例 + + + + + + R r  R 3 r P 0 1 4 R qr E  = r  R 2 0 2 4 r q E  = 对球外一点P 对球内一点P1 u E r p   d 1 =    内    = + R R r E dr E dr 1 2 (3 ) 8 2 2 3 0 R r R q −  =  u E r p   d 2 =    外    = r r q r 2 4 0 d  r q 4 0  = P1

例无限长均匀带电直线 2>0 E 0 0 aTer 选 0 6A0·d_rxhx E·cr n 2 2r275h 第8章静电场

第8章 静电场 3 例 无限长均匀带电直线 0 r r u E dr =   u r r0 0  > 0 r0   0 2 0 λ E r ε r =  0 0 r 选 u = 0 0 0 2 r r r dr r    =  0 0 2 r r dr r   =  0 0 ln 2 r r   =

§86等势面电场强度和电势的关系 等势面(描绘电势的空间分布) 1.等势面—在电场中电势相等的点所连成的曲面。 规定:相邻等势面之间电势差相等。 (点电荷)(无限大平面) (电偶极子) 第8章静电场

第8章 静电场 4 一、等势面 + §8.6 等势面 电场强度和电势的关系 （描绘电势的空间分布） （点电荷） （无限大平面） （电偶极子） 1. 等势面——在电场中电势相等的点所连成的曲面。 规定：相邻等势面之间电势差相等。 +

2.等势面的性质 (1)沿等势面移动电荷q,静电力做功为零。 qE·d=qE:dl=q0(-24)=0 (2)等势面与电力线互相垂直。E⊥等势面 (3)规定相邻两等势面的电势差相等。 等势面密集电场较强; 等势面稀疏电场较弱; (4)电场强度的方向总是指向电势降低的方向。 第8章静电场 5

第8章 静电场 5 2. 等势面的性质 E ⊥ 等势面  (1) 沿等势面移动电荷q0，静电力做功为零。 0 d b ab a A q E l =   0 d b a =  q E l  0 ( ) a b = − q u u = 0 (2) 等势面与电力线互相垂直。 (3) 规定相邻两等势面的电势差相等。 等势面密集——电场较强； 等势面稀疏——电场较弱； (4) 电场强度的方向总是指向电势降低的方向

二.电势与电场强度的微分关系 取两个相邻的等势面,等势面法线方向为n,设E的方向与 五相同,把点电荷从P移到Q,电场力作功为 d4=qE·dl= gEcos edz E gEn da=qlu-(u+du)=-gdu Ecos edl= Edn=-du P E d_d u— 第8章静电场

第8章 静电场 6 二. 电势与电场强度的微分关系 u u+du 取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 = qEdn dA = qE dl = qEcosdl   dA = q[u − (u + du)] = −qdu d d u E n = − Ecosdl = Edn = −du E  n  d n 把点电荷从P移到Q，电场力作功为： n  ，设 E  的方向与 n  相同， Q l  d P' P

任意一场点P处电场强度的大小等于沿过 n该点等势面法线方向上电势的变化率,负号 dn」表示电场强度的方向指向电势降低的方向。 另一种理解 Ecos dl= edn=-du E,dl=-du d 电场强度在l方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值 dl≥dn du du dl dn 电势沿等势面法线方向的变化率最大 第8章静电场 7

第8章 静电场 7 Ecosθ dl = Edn = −du 另一种理解 E l u l d = −d d d l u E l = − dl  dn d d d d u u l n  电势沿等势面法线方向的变化率最大 电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值 任意一场点P处电场强度的大小等于沿过 该点等势面法线方向上电势的变化率，负号 表示电场强度的方向指向电势降低的方向。 d 0 d u E n n = −

在直角坐标系中,分别将x,y,轴作为l的方向, 0u电场强度沿方向的投影等于电势沿 x方向的变化率的负值 E E az oui +k) grad(u) 某点的电场强度等于该点电势梯度的负值,这 就是电势与电场强度的微分关系。 第8章静电场

第8章 静电场 8 在直角坐标系中， x u E x  = −  y u E y  = −  z u E z  = −  某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这 就是电势与电场强度的微分关系。 ( k ) grad(u) z u j y u i x u E = −   +   +   = −     分别将x，y，z轴作为 l 的方向， ——电场强度沿x方向的投影等于电势沿 x方向的变化率的负值

思考:以下说法对吗? L低 l=0→→E=0均匀→B匀 注意: E的大小,取决于如的大小,而不是n的大小 如:均匀带电球面内部空间 E=0 4丌EnR 带电球面内是等势体,即的变化率恒定为零,所以面内E=0 第8章静电场

第8章 静电场 9 思考：以下说法对吗？ E = 0 u 高 E 大 u 低 E 小 u = 0 E = 0 u 均匀 E 均匀 注意： E 的大小，取决于 du dn 的大小，而不是u的大小 如：均匀带电球面内部空间 0 4 Q u  R = 带电球面内是等势体，即u的变化率恒定为零，所以面内E＝0

例已知u=6x-6x2y-7=2求(2,3,0)点的电场强度。 解:E (6-12x)=66 ou=6x 24 x E 14z=0 E=E1+E,=661+24 z 例利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线 上一点的场强。 解:u=u(: xaa 4兀E0√R2+x E.=E.=0 L E ax47Eo√R2+x E gx 4兀E0(R2+x 4zE(R2+x2) 第8章静电场 10

第8章 静电场 10 例 利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电细圆环轴线 上一点的场强。 2 2 4 0 1 ( ) R x q u u x + = =  解 : ) 4 1 ( 2 2 0 R x q x x u Ex  +  = −    = −  2 3 2 2 0 ( ) 4 1 R x qx + =  = = 0 Ey Ez 3 2 2 2 0 1 4 ( ) qx E i  R x = + 例 已知 u x x y z = − − 6 6 7 2 2 求（2，3，0）点的电场强度。 解: = −(6 −12 ) = 66   = − xy x u Ex 6 24 2 = =   = − x y u Ey E E i E j i j x y      = −14 = 0 = + = 66 + 24   = − z z u Ez