§127能量均分定理 一.自由度i 确定一个物体在空间位置的独立坐标数。 1.自由运动质点的自由度(平动自由度) 空间自由运动:i=3 平面自由运动:i=2 直线自由运动:i=1 思考 (1)若质点在平面上作圆周运动,R2=x2+y2 那么,i=? (2)若质点在空间作曲线运动,i=? 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 1 §12-7 能量均分定理 一. 自由度i ——确定一个物体在空间位置的独立坐标数。 1. 自由运动质点的自由度 （平动自由度） 空间自由运动： i＝3 平面自由运动： i＝2 直线自由运动： i＝1 思考： (1) 若质点在平面上作圆周运动， R2＝x 2＋y 2 ， 那么，i＝？ (2) 若质点在空间作曲线运动， i＝？
2.钢棒的自由度 质心位置 棒的方位取向 转 3钢体的自由度 质心位置 3233 轴的方位取向 2> i=6 绕轴转动角度: 转 4.理想气体分子的自由度 单原子分子: 3 如He、Ne、Ar、Kr.) 双原子分子:i=5(如H2、O2……) 多原子分子:i=6(如H2O、NH13) (CO2除外) 第十一章热力学基础 2
第十一章 热力学基础 2 2. 钢棒的自由度 质心位置： i 平 = 3 棒的方位取向： i 转 = 2 i = 5 3. 钢体的自由度 质心位置： i 平 = 3 轴的方位取向： i 转 = 3 绕轴转动角度： i = 6 4. 理想气体分子的自由度 单原子分子： i＝3 （如He、Ne、Ar、Kr……） 双原子分子： i＝5 多原子分子： i＝6 （如H2、O2……） （如H2O、NH3……） （CO2除外）
二.能量按自由度均分定理 理想气体分子的平均平动动能为 3 kT 气体分子平动时,每 个自由度上具有相同 uux ui pv. 的热运动能量。 U kT 结论:在温度为T的平衡状态下,分子的每个自由度的平均动 能均为1k 能量按自由度均分定理。 >能量均分定理是分子热运动动能的统计规律。 >设气体分子自由度为i,则该分子的平均总 能量为kr 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 3 二. 能量按自由度均分定理 理想气体分子的平均平动动能为 1 3 2 2 2 = = v kT 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 v = vx + vy + vz x y z kT 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 v = v = v = 结论：在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动 能均为 kT 2 1 ——能量按自由度均分定理。 气体分子平动时，每 个自由度上具有相同 的热运动能量。 ➢能量均分定理是分子热运动动能的统计规律。 ➢设气体分子自由度为i，则该分子的平均总 能量为 2 i kT
三.理想气体的内能 内能—系统中与热现象有关的那部分能量 理想气体的内能=平动动能+转动动能 个分子、一个自由度上具有的平均动能; 7——个分子的平均平动动能; kT 自由度为i的一个分子的平均动能; NkT=Rr自由度为的1mol理想气体的内能 RT=V.-RT 自由度为i的wl理想气体的内能; E-m RT=-VRT M,2 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 4 三. 理想气体的内能 内能 理想气体的内能 ＝平动动能＋转动动能 ——系统中与热现象有关的那部分能量 1 2 kT ——一个分子、一个自由度上具有的平均动能； 3 2 kT ——一个分子的平均平动动能； 2 i kT ——自由度为i 的一个分子的平均动能； 0 2 i N kT ——自由度为i 的1mol理想气体的内能； 2 i = RT 2 2 mol m i i RT RT M = ——自由度为i 的νmol 理想气体的内能； 2 2 mol m i i E RT RT M = =
E m RT=-VRT M 2 讨论 1.一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子 的自由度和温度T,而与气体的P、V无关。 AEm -RAT=-VRAT 2.对同一种气体4T相同,则AE相同,与具体过程无关。 3.对不同气体,如均为1mo的He、O2、H2O,温度升高相 同的AT,则內能的增量4E分别为: He HO AE=RAT AE==RAT AE=-RAT 第十一章热力学基础 5
第十一章 热力学基础 5 讨论 1. 一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子 的自由度i 和温度T，而与气体的P、V无关。 2 2 mol m i i E RT RT M = = 2 2 mol m i i E R T R T M = = 2. 对同一种气体△T相同， 则△E相同，与具体过程无关。 3. 对不同气体，如均为1mol的He、O2、H2O，温度升高相 同的△T， 则内能的增量△E分别为： He： O2： H2O： 3 2 E R T = 5 2 E R T = 6 2 E R T =
512-10气体分子的碰撞和平均自由程 由分子力与分子距离的关系,有 斥力 f=0一◆r=10(平衡位置) r>1分子力表现为引力 引力 r<6分子力表现为斥力 (分子力与分子间距离的关系) 分子碰撞引力作下→仍具动能 r处合力为零 斥力作用下 过程 分子加速靠近 减速靠近 设动能为零时,r=d分子的有效直径 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 6 §12-10 气体分子的碰撞和平均自由程 0 r 斥力 引力 r (分子力与分子间距离的关系) 0 f = 0 r r = 0 r r 0 r r 分子力表现为斥力 分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有 ( 平衡位置 ) 分子碰撞 过程： 引力作用下， 分子加速靠近 r0处合力为零， 仍具动能 斥力作用下， 减速靠近 设动能为零时，r＝d ——分子的有效直径
平均自由程平均碰撞频率 自由程:一个分子连续二次碰撞之间通过的路程。 碰撞频率Z:一个分子在ls内和其它分子碰撞的次数。 (偶然的、不可预测的) 平均自由程:对大量分子、多次碰撞的统计平均值 平均碰撞频率z: 二者关系: 二.z和元的统计规律 1)同种分子分子有效直径d~1010m 2)个分子动其余不动相对运动速度为t 3)弹性碰撞 4)分子数密度为n 第十一章热力学基础 7
第十一章 热力学基础 7 一. 平均自由程 平均碰撞频率 自由程l ： 一个分子连续二次碰撞之间通过的路程。 平均自由程 l ： 对大量分子、多次碰撞的统计平均值 碰撞频率Z ： 一个分子在1s内和其它分子碰撞的次数。 （偶然的、不可预测的） 平均碰撞频率 z ： z 二者关系： l = 二. z 和 l 的统计规律 1)同种分子 分子有效直径 d m 10 ~ 10− 2)一个分子动 其余不动相对运动速度为 3)弹性碰撞 4) 分子数密度为n u
单位时间内与分子A发 生碰撞的分子数为 nita u 平均碰撞频率为 Z=nd u 一个分子平均自由时间r=1/mnmd2u 上述是假定一个分子运动的结果。考虑到所有分 子实际上都在运动时。例如,一个分子速度U,另 一分子速度d则相对速度 u=o-D 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 8 2 Z n d u = π 单位时间内与分子 A 发 生碰撞的分子数为 2 n d u π 平均碰撞频率为 2 一个分子平均自由时间 =1/ n d u π 上述是假定一个分子运动的结果。考虑到所有分 子实际上都在运动时。例如，一个分子速度 ，另 一分子速度 ，则相对速度 u = −
L=t2+t2-2U 取平均 U平均值为零 忽略速率方均与均方的差别,则2D2+b2 当所有分子是全同时 2D。则 平均碰撞频率2=√2md2 平均自由程 z√2 na n 用宏观量p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程: kT √2nmd2 8KT 2d 兀ap 第十一章热力学基础
第十一章 热力学基础 9 2 2 2 u = + − 2 取平均 2 2 2 u = + 平均值为零 忽略速率方均与均方的差别，则 2 2 2 u + 2 Z n d = 2 π v 2 1 Z 2πd n l = = v 当所有分子是全同时， u = 2 。则 平均自由程 平均碰撞频率 2 8 2 π π KT Z n d = 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程： 2 2π kT d p l =
讨论 1.平衡态下,对确定的气体,z、元是确定的值。 2.当平均速率υ增大时,平均自由程九是否也随之增大? U 2t dn 例估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率 解在标准状态下,有≈1.70×103m/s n≈2.7×1023m 对氢气分子取d≈2x1010m,则2≈795×109s-1 常温常压下,一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次、 第十一章热力学基础 第12章结束
第十一章 热力学基础 10 讨论 1. 平衡态下，对确定的气体， Z、l 是确定的值 。 2. 当平均速率 v 增大时，平均自由程 l 是否也随之增大？ Z d n 2 2π 1 = = v l 估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率 1.70 10 m/s 3 v 25 3 2.7 10 m − n 9 1 Z 7.95 10 s − 常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次. 解 例 在标准状态下，有 对氢气分子取 ，则 10 d 2 10 m − 第12章结束