§6-2定轴转动刚体的动能动能定理 转动动能 设系统包括有N个质量元 取△m,其动能为 E △ ki △mU △m:C 刚体的总动能 E=∑En=∑△mo2=1(Mm)b2=12 结论绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴 的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 1 §6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理 一. 转动动能 z O i r vi mi 设系统包括有 N 个质量元 mi ,其动能为 2 2 1 Eki = mivi 2 2 2 1 = mi ri = = 2 2 2 1 Ek Eki mi ri 刚体的总动能 ( ) 2 2 2 1 = mi ri 2 2 1 = J P • 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴 的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 取 1 2 2 m
二.力矩的功 由功的定义 de dA=Fdr=Fsin ds Frsin do F×Fd6=MaO P 力矩作功的微分形式 若刚体在外力F作用下,角坐标从01→02 A Mde 力矩作功的积分形式 若M=C A=M(2-1) 第六章刚体动力学 2
第六章 刚体动力学 2 二. 力矩的功 O r F r' r d d 由功的定义 dA d = F r = Fr d sin = r F d ——力矩作功的微分形式 若刚体在外力F作用下，角坐标从θ1→θ2 = 2 1 d A M 若 M = C ( ) A = M 2 −1 Md P = ——力矩作功的积分形式 = F ds sin
讨论()力矩对刚体的功就是力对刚体的功 (2)合力矩的功 A=∑Md0=∑MAD=∑A (3)一对内力矩对刚体作功之和为零 (平动中,一对内力作功之和一般不为零) (4)力矩的瞬时功率 P=dA Md=M t 力的瞬时功率P=F·D )功的正负M与△同向,A>0 M与A0反向,A<0 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 3 讨论 (2) 合力矩的功 = = = i i i i i A Mi M A 2 1 2 1 d d (1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功 (3) 一对内力矩对刚体作功之和为零 （平动中，一对内力作功之和一般不为零） (4) 力矩的瞬时功率 dA Md P M dt dt = = = 力的瞬时功率 P F = (5) 功的正负 M与 同向，A>0 M与反向，A<0
三.定轴转动的动能定理 力矩的持续作用规律 设刚体在外力矩M作用下,角坐标由01→>02, 角速度o1→O2,由刚体转动定理 M=JB=J0x→M0=.Jolo 对于整个运动过程 Mde odo A=JO J02=△E 在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩 所作功的总和,等于在该过程中刚体动能的增量。 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 4 三. 定轴转动的动能定理 M J = d J dt = 对于整个运动过程 2 1 2 1 Md J d = 2 2 2 1 1 1 2 2 A J J = − = Ek 在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩 所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。 ——绕定轴转动刚体的动能定理 ——力矩的持续作用规律 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由θ1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： Md J d =
四.刚体的重力势能 E2=∑Amg 质心的势能 ∑△m/ =mg m △m g/ 结论:刚体的重力势能即刚体的全部 质量集中在质心上相对于势能零点具 有的势能。 E=0 刚体的机械能E=J2+mgh 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒 定律仍成立 第六章刚体动力学 5
第六章 刚体动力学 5 四. 刚体的重力势能 mghC E = J + 2 2 1 p = i i E m gh C i i mgh m m h mg = = 刚体的机械能 质心的势能 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒 定律仍成立 hc = 0 EP C • i • m hi 结论：刚体的重力势能即刚体的全部 质量集中在质心上相对于势能零点具 有的势能
例一根长为l,质量为m的均匀细直棒,可绕轴O在竖直平 面内转动,棒在水平位置由静止释放 求细棒下摆至θ时的o 解二:动能定理 合外力矩M、1 mglcos0 mg A=L Mdo=mgcos dde 2 Img cin8-0=4J0-0 J=-ml 3 Basin e 3gsin 61/2 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 6 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，棒在水平位置由静止释放， 解二： cos 2 1 M = mgl = = 0 0 cos d 2 d mg l A M 动能定理 0 2 1 2 sin 0 = J − 2 = − lmg l g 2 3 sin = 2 3 1 J = ml1 2 ) 3 sin ( / l g = O m l C x mg • • 例 求 细棒下摆至θ时的ω 合外力矩 +
解三:功能原理 X 研究对象:细棒+轴+地球 系统机械能E守恒 取O点所在位置为重力势能零点 g 状态1:0+0 状态y.与2J0+(- mg t sin 6) 1Jo2-lmglsin6-0 o=,/g sin e mgl sine=\1 第六章刚体动力学 7
第六章 刚体动力学 7 O m l C x mg • • + 解三： 功能原理 研究对象： 细棒＋轴＋地球 ∴系统机械能E守恒 取O点所在位置为重力势能零点 状态1 ： 状态2： 0 0 + ( sin ) 2 l + −mg 1 2 2 J 1 1 2 sin 0 2 2 J mgl − = 2 3 3 sin sin sin mgl mgl g J l ml = = = 1 2 3 J ml =
例均质圆盘(M,R)系一质量为m的物体,在重力矩作用 下加速运动。开始时系统处于静止。 求物体下降距离为s时,滑轮的ω和β 解一:转动定律 R M转动:TR=JB=1MR2B T m平动:mg-T=ma=RB M 2mg B vmg (2m+MR (常量) -06=2B0=2B r 0- 2Bs 2 mgs R RV2m+M 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 8 均质圆盘（M，R）系一质量为m的物体，在重力矩作用 下加速运动。开始时系统处于静止。 求 物体下降距离为s时，滑轮的ω和β。 解一： 例 R M m 转动定律 + M 转动： Mg T mg T’ 1 2 2 TR J MR = = m 平动： mg T ma − = a R = 2 (2 ) mg m M R = + 2 2 0 2 2 s R − = = 2 2 2 s mgs R R m M = = + T1 （常量）
解二:动能定理+4=AEA 研究对象:M+m(转动+平动) A、+ R △Ek=mU+J0 T IMR mRO T4 M es vmg O RV2m+M(并非匀速 do_2 mg 1 ds 2mg B dt RV2m+M 2 dt(2m+MR 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 9 解二： R M m 动能定理 + Mg T mg T’ T1 研究对象：M＋m （转动＋平动） A A E 外 + 内 ＝ k A A mgs 外 + = 内 1 1 2 2 2 2 = + E m J k 1 1 2 2 2 2 2 4 = + mR MR 2 2 mgs R m M = + （并非匀速） d dt = 2 1 2 2 mg ds R m M dt s = + 2 (2 ) mg m M R = +
解三:功能原理4 +A=△E 研究对象:M+m+地球 系统机械能守恒 取m下落处为重力势能零点 R T 状态1 M tmgs 状态2:1 2m2_JO+EpM M mg J=MR 0= Ro 2 mgs B 2mg E P =0 RV2m+M 2m+MR 第六章刚体动力学 10
第六章 刚体动力学 10 解三： R M m 功能原理 + Mg T mg T’ T1 研究对象：M＋m＋地球 A A E 外 + 非内 ＝ ∴ 系统机械能守恒 取m下落s处为重力势能零点 m s EP ＝0 状态1： 状态2： E mgs PM + 1 1 2 2 2 2 m J E + + PM 1 2 2 J MR = = R 2 2 mgs R m M = + 2 (2 ) mg m M R = +
