第七章机械振动 振动(物理学中的一般定义 一个物理量在某一确定值附近随时间作周期性的变化 则该物理量的运动形式称为振动。(FU,E,HQ等等) 机械振动电磁振动微观振动 物体在其平衡位置附 近作来回往复的运动 简谐振动 振动分类 自由振动阻尼自由振动(无阻尼自由谐振动 振动 无阻尼自由振动 受迫振动 共振 无阻尼自由非谐振动 简谐振动(S.HIV)是一种最简单、最基本的振动。一般复杂 的振动都是SHⅤ在一定条件下的合成,SHv是振动的基本模型。 第七章机械振动
第七章 机械振动 1 第七章 机械振动 振动 （物理学中的一般定义） 一个物理量在某一确定值附近随时间作周期性的变化， 则该物理量的运动形式称为振动。 机械振动 电磁振动 微观振动 振动分类 振动 受迫振动 自由振动 共振 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 物体在其平衡位置附 近作来回往复的运动 简谐振动 简谐振动（S.H.V）是一种最简单、最基本的振动。一般复杂 的振动都是S.H.V在一定条件下的合成，S.H.V是振动的基本模型。 （ r E H Q i , , , , , 等等）
第七章机械振动 57-1简谐振动 §7-2谐振动的合成 57-3阻尼振动和受迫振动简介 *7-4非谐振动的傅氏分解频谱 §7-5两个自由度系统自由振动简介 第七章机械振动 2
第七章 机械振动 2 §7-1 简谐振动 §7-2 谐振动的合成 §7-3 阻尼振动和受迫振动简介 * §7-5 两个自由度系统自由振动简介 * §7-4 非谐振动的傅氏分解 频谱 第七章 机械振动
§7-1简谐振动 物体离开平衡位置的位移按余弦函数或正弦函数的规 律随时间变化,这样的振动称为简谐振动,简称谐振动。 simple harmonic vibration (SHv) 简谐振动的定义 1用动力学方程定义 k m kx X kx=m dd X 用选学定义今9+层线等? x=Acos@t+p) 或x=Asi+g) 振动方程 第七章机械振动
第七章 机械振动 3 一、简谐振动的定义 1 用动力学方程定义 物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规 律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。 §7-1 简谐振动 simple harmonic vibration (S.H.V.) k m x 0 x kx 2 2 t x kx m d d − = 0 2 2 + x = m k t x d d m k = 2 0 2 2 2 + x = t x d d 2 用运动学方程定义 x = Acos(t +) 或 x A t = + sin( ) 二者关系？ ——振动方程
说明,(1)上述方程对于非机械振动也成立 例电磁震荡电路 d d 会L 0 dt dt lC (2)从运动学方程x=Acos(ot+9) U=-Aasin(ot+) a=-A@ cos(ot+p) Aocosl0t+0+ A@ cos(ot+o+T) (3)简谐振动的特点 等幅性周期性x()=x(+T 物体所受的力与位移成正比而反向 第七章机械振动
第七章 机械振动 4 说明 （1） 上述方程对于非机械振动也成立。 例 电磁震荡电路 C L t i L C q d d = − q 0 1 2 2 + q = t LC q d d t q i d d = （2） 从运动学方程 x = Acos(t +) = − + A t sin( ) ( ) 2 a A t = − + cos （3） 简谐振动的特点 等幅性 周期性 x(t) = x(t +T) 物体所受的力与位移成正比而反向 cos( ) 2 A t = + + ( ) 2 = + + A t cos
二、振动参量 x= Acos(at+o 1.x—位移描述位置的物理量,广义上指振动的物理量 2.A—振幅最大位移,恒为正,表征系统的能量 cos(ot+p)I 振动的强弱 3.Tvo-周期和频率 圆频率或角频率 O 2兀=2V 固有周期和频率 +7ov的大小由振动系统本身性质决定 4.(Ot+q)—t时刻的相位(位相) (1)数学上,相位是一个角度, 物理上,相位是描写振动状态的一个参量 第七章机械振动 5
第七章 机械振动 5 1. x ——位移 二、 振动参量 x = Acos(t +) 描述位置的物理量，广义上指振动的物理量 2. A ——振幅 最大位移，恒为正，表征系统的能量 cos( t + ) ≤1 x ≤A ——振动的强弱 3. T ν ω ——周期和频率 1 T = 2 2 T = = ——固有周期和频率 （1） 数学上，相位是一个角度， 物理上，相位是描写振动状态的一个参量。 圆频率或角频率 T ω ν 的大小由振动系统本身性质决定 4. （ t + ）—— t 时刻的相位（位相）
2)用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。 相位确定了,振动状态就确定了。一个周期内,时 间从0—T物体运动所经历的状态各不相同,不同的 状态正好对应着相位从02x的变化。 (3)9:初相 取决于时间零点的选择 t+=0 x=Acos(at +)=A U=-Aosin(at+=0 A O A X at+p-2 3元 ot+92 =0 x=0 D==A0 Ao 第七章机械振动
第七章 机械振动 6 （2） 用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。 ——取决于时间零点的选择 x A t A = + = cos( ) = − + = A t sin( ) 0 −A O A x 2 t + = x = 0 = −A 3 2 t + =x = 0 = A t + = 0 相位确定了，振动状态就确定了。一个周期内，时 间从0—T物体运动所经历的状态各不相同，不同的 状态正好对应着相位从0— 2 的变化。 （3） ：初相
三、谐振动的描述振动三要素:振幅、周期和相位 1.解析法 x=Acoslot+o) o由振动系统本身决定 弹簧振子:0=、k 单摆:=/8 >A,Q由初始条件决定 x(t)=Acos(at+o) ACOS P U=-@ Asin(@t+) Uo=-O Asin A X0- p=tg ax 第七章机械振动 7
第七章 机械振动 7 ω由振动系统本身决定 弹簧振子： k m = 单摆： g l = 三、 谐振动的描述 1. 解析法 x = Acos(t +) 振动三要素：振幅、周期和相位 x(t) = Acos(ωt +) x0 = Acos v = −ω Asin(ω t +) v0 = −ω Asin 2 2 0 0 2 A x = + v 1 0 0 tg ( ) x − = − v A， 由初始条件决定
例一弹簧振子(m,k),已知O=Vk/m,A=2cm 当t=0时,x0=1cm,b>0,试写出振动方程。 解谐振动,方程形式为:x=Acos(Ot+q) 由初始条件:x=Acos=1① Un=- Ao sin>0② 由①可得 再由②可得: —3 或 —3 振动方程:x=2cos k丌 3 第七章机械振动
第七章 机械振动 8 例 一弹簧振子（m，k），已知 = k m, A cm = 2 , 当t＝0时， 0 x cm =1 , 0 0, 试写出振动方程。 解 谐振动，方程形式为： x A t = + cos( ) 由初始条件： 0 x A = = cos 1 0 = − A sin 0 ① ② 3 3 = 或－ 3 = － 振动方程： 2cos( ) 3 k x t m = − 由①可得： 再由②可得：
例一轻弹簧(k),下端挂一重物m,用手拉物向下至处 然后无初速度释放。试写出振动方程。 解:原点取在原长建立坐标Ox如图 分析小球受力,可得: mg-krsndix 二阶线性非 8&8 dx k 齐次方程 2+x=8(不是谐振动) kax 原点取在平衡位置建立a轴 k(x+xo) mg-k(x+xo=m g dx k dr+x=0) x=Acos(ot +o) 第七章机械振动
第七章 机械振动 9 例 一轻弹簧（k），下端挂一重物m，用手拉物向下至x处， 然后无初速度释放。试写出振动方程。 解：原点取在原长 建立坐标 O`x 如图 O' x x 分析小球受力， mg kx 可得： 2 2 d x mg kx m dt − = 2 2 d x k x g dt m + = （不是谐振动） 原点取在平衡位置 建立 ox轴 o x x 0 k x x ( ) + 2 0 2 ( ) d x mg k x x m dt − + = 2 2 0 d x k x dt m + = x A t = + cos( ) 二阶线性非 齐次方程
推论:着振动系统除受弹性力外,还受一恒力作 用,则系统的振动规律不变,只是改变了平衡位 置,而坐标原点取在新的平衡位置上。 k m k 爱k 以上各振动均为谐振动,周期相同,但平衡位置不同 T=2元 k 第七章机械振动 10
第七章 机械振动 10 推论：若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作 用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位 置，而坐标原点取在新的平衡位置上。 k m k m k m k m 2 m T k = 以上各振动均为谐振动，周期相同，但平衡位置不同 k m =