例一平面简谐波沿x轴正方向传播,已知其波函数为 y=0.04c0s(50t-0.10x) 求()波的波幅、波长、周期及波速; (2)质点振动的最大速度。 解(1)a.比较法(与标准形式比较) 标准形式y(x,)=Acos[2 )+9 500.10 波函数为y=0.04c0s2(t 比较可得 A=0.04m72 0.04s 50 =20ml 500m/s 0.10 第十三章机械波
第十三章 机械波 1 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 y = 0.04cos (50t − 0.10x) m ) 2 0.10 2 50 y = 0.04cos 2π ( t − x A = 0.04 m 0.04 s 50 2 T = = 20 m 0.10 2 = = = = 500 m/s T u a. 比较法(与标准形式比较） ( , ) cos[2π ( ) ] 0 = − + x T t 标准形式 y x t A 波函数为 比较可得 例 解 (1) 波的波幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。 求 (1)
b分析法(由各量物理意义,分析相位关系) 振幅 A=ymax =0.04 m 波长(5Ot-0.10x1)-(50t-0.10x2)=2兀 20m 周期(5012-0.10x)-7(501-0.10x)=2兀 T=t2-1=0.04s 波速丌(5012-0.10x2)=(501-0.10x) u 500m/s U =-0.04×50sinπ(50t-0.10x) at max 0.04×507=6.28m/s≠ 第十三章机械波 2
第十三章 机械波 2 2 1 π(50 0.10 ) t x t x − − − = π(50 0.10 ) 2π T = t 2 − t 1 = 0.04 s 1 2 π(50 0.10 ) t x t x − − − = π(50 0.10 ) 2π = x2 − x1 = 20 m 2 2 1 1 π(50 0.10 ) t x t x − = − π(50 0.10 ) 500 m/s 2 1 2 1 = − − = t t x x u 0.04 50πsin π(50 0.10 ) y t x t = = − − v vmax = 0.0450 = 6.28 m/s b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系） 振幅 A = ymax = 0.04 m 波长 周期 波速 (2) u
三、浪动微分方程 无色散介质一维浪动方程 介质中、 的波速 说明 (1)上式是一切平面浪所满足的微分方程(正、反传播); (2)不仅适用于机械浪,也广泛地适用于电磁浪、热传导、 化学中的扩散等过程; (3)若物理量是在三维空间中以浪的形式传播,波动方程 第十三章机械波
第十三章 机械波 3 三、波动微分方程 •无色散介质 一维波动方程 2 2 2 2 2 y y 1 x u t = 介质中 的波速 (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、 化学中的扩散等过程； (1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）； (3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y 1 x y z u t + + = 说明
§13-3波的能量 具有速度动能 机械波介质振动二发生形变→势能 机械波的能量是指在波动过程中 传播振动的介质所具有的能量。 振动状态(相位)的传播过程 波动过程 波形曲线向前平移的过程 振动能量的传播过程 第十三章机械波
第十三章 机械波 4 波 动 过 程 振动状态（相位）的传播过程 振动能量的传播过程 §13-3 波的能量 机械波的能量是指在波动过程中 传播振动的介质所具有的能量。 波形曲线向前平移的过程 机械波 介质振动 具有速度 发生形变 动能 势能
波的能量 以绳浪为例:y=AcoS[o(t--)+ △m 设波沿x方向传播,取线元Mm=pA △卩 线元的振动速度为 U Asino(t-)+o 线元的动能为W △m PAVAo sin lo(t--)+ 线元的势能(原长为势能零点)为 Wn≈7△x(0)2=pAo2sin1(-3)+o 线元的总能量: W=Wk+Wp= pAVA sinla(t-)+o 第十三章机械波 5
第十三章 机械波 5 一. 波的能量 = m V 1 1 2 2 2 2 sin [ ( ) ] 2 2 k x W m VA t u 线元的动能为 = = − + v 线元的势能（原长为势能零点）为 设波沿x 方向传播，取线元 以绳波为例: cos[ ( ) ] x y A t u = − + 线元的振动速度为 sin[ ( ) ] y x A t t u = = − − + 2 ( ) 2 1 x y W T x p 1 2 2 2 sin [ ( ) ] 2 x VA t u = − + 线元的总能量： 2 2 2 sin [ ( ) ] k P x W W W VA t u = + = − + m V
(1)在波的传播过程中,各质元的动能和势能均同步变 化,即Wk=W,与作简谐振动的弹黉振孑的振动能量变化规 律是不同的。A点质元的动能、势能同时达到最小; 如图际示:B点质元的动能、势能同时达到最大 最小也最小 ∠x B U最大,也最大 (2)质元机械能随时空周期性变化,表明质元在波传播过程中 不断吸收和放出能量。因此: 波动过程是能量的传播过程。 第十三章机械波
第十三章 机械波 6 (2) 质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中 不断吸收和放出能量。因此： 波动过程是能量的传播过程。 讨论 (1) 在波的传播过程中，各质元的动能和势能均同步变 化，即Wk=Wp，与作简谐振动的弹簧振子的振动能量变化规 律是不同的。 如图所示： x y u O A B A 点质元的动能、势能同时达到最小； B 点质元的动能、势能同时达到最大； , y x v最小 也最小 , y x v最大 也最大
(3)比较浪动过程、振动过程能量变化规律的异同 波动过程 振动过程 波动过程,某质元具有的振动过程,质元总能量不变 能量w是时间t的周期函数 W=mAasin la(t-)+Pol 42 传播能量 不传播能量 W和相变化 W最大时、W为0 W,最大时、W为0 第十三章机械波 7
第十三章 机械波 7 (3)比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同 1 2 2 W kA = 2 2 2 0 sin [ ( ) ] x W mA t u = − + 波动过程 振动过程 波动过程，某质元具有的 能量w是时间t的周期函数 振动过程，质元总能量不变 传播能量 不传播能量 Wk 和 W 同相变化 p Wk 最大时、 Wp 为0 Wp 最大时、 Wk 为0 讨论
二.关于波的能量的几个物理量 W=Wk+Wp=pAVA@ sin Lo(t-=)+o (1)能量密度——单位体积中波的能量 W PA@[o(t-)+9 △ (2)平均能量密度—一个周期内能量密度的平均值 Twat=PA (3)波的强度(平均能流密度) 单位时间内通过垂直于浪线 截面单位面积上的平均能量。 个周期内通过S的能量:W=S uT 波的强度: △W Wu=POUlos a2 第十三章机械波
第十三章 机械波 8 (1) 能量密度 2 2 0 1 1 2 T w w t A T = = d 2 2 2 sin [ ( ) ] W x w A t V u = = − + 二. 关于波的能量的几个物理量 (2) 平均能量密度 —— 单位体积中波的能量 —— 一个周期内能量密度的平均值 (3) 波的强度（平均能流密度） —— 单位时间内通过垂直于波线 截面单位面积上的平均能量。 W I wu TS = = 一个周期内通过S的能量： u s λ＝uT x = W wuTS 波的强度： 1 2 2 2 = A u 2 A 2 2 2 sin [ ( ) ] k P x W W W VA t u = + = − +
三.平面波和球面波的振幅(不吸收能量) 1.平面浪 单位时间内通过这两个平面的能量 PIOus=pIoUs A=A2 介质无吸收时,平面浪振幅不变。 2.球面波 pIous=-PA2us 得:A2·47n12=12472A=A2 令:A=A则球面简谐波的波函数为 y(r,t)=cos[o(t-)+ol >0 1l/r2 介质无吸收时,球面波的振幅随r增大而减小 第十三章机械波
第十三章 机械波 9 2. 球面波 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 A uS A uS = 1 S 2 S 1 r 2 r 2 2 2 2 A r A r 1 1 2 2 = 4π 4π A r A r 1 1 2 2 = 0 0 ( , ) cos[ ( ) ], 0 A r y r t t r r u = − + 令： 得： 介质无吸收时，球面波的振幅随 r 增大而减小. Ar A = 0 则球面简谐波的波函数为 2 I r 1/ 1 S 2 S u 三. 平面波和球面波的振幅 （不吸收能量） 1. 平面波 A1 = A2 2 2 1 1 2 A uS 2 2 2 1 2 = A uS 介质无吸收时，平面波振幅不变。 1 2 S S S = = 单位时间内通过这两个平面的能量
§13-4惠更斯原理 惠更斯原理 (1)行进中的浪面上任意一点都可看作是 新的子波源; (2)所有子波源各自向外发出许多子浪; (3)各个子波所形成的包络面,就是原波面 在一定时间内所传播到的新浪面。 说明 S (1)知某一时刻波前 R 可用几何方法决定 t 下一时刻浪前; 2)惠更斯原理对任何浪 动过程都成立; t+dt 第十三章机械波 10
第十三章 机械波 10 (1) 知某一时刻波前， 可用几何方法决定 下一时刻波前； 说明 R1 R2 S1 S2 O S1 S2 t t t + r u t = (1) 行进中的波面上任意一点都 可看作是 新的子波源； (3) 各个子波所形成的包络面，就是原波面 在一定时间内所传播到的新波面。 (2) 所有子波源各自向外发出许多子波； §13-4 惠更斯原理 一、惠更斯原理 (2) 惠更斯原理对任何波 动过程都成立；