安培环路定理的内容 在稳恒电流的磁场中,磁感应强度沿任何闭合环路L的 线积分,等于A以穿过L的所有电流强度代数和 Bl=∑1内 L B 磁场对载流导线的作用 1电流元在磁场中的受力 dF 安培公式:dF=ldl×B 2.载流导线在磁场中受力 根据力的叠加原理,F=,F=J,Ml×B L—积分路径,指沿载流导线积分 稳恒磁场
稳恒磁场 1 安培环路定理的内容 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭合环路L的 线积分，等于μ0乘以穿过L的所有电流强度代数和。 L = o i内 i B dl I 安培公式： dF Idl B = B Idl dF 磁场对载流导线的作用 1.电流元在磁场中的受力 根据力的叠加原理， L L F dF Idl B = = 2. 载流导线在磁场中受力 L ——积分路径，指沿载流导线积分
例如图所示,试求导线所受的安培力。 dF 解:任取一电流元lal B 受安培力dF=ll.B.sin=Bal h-L 整个导线所受安培力:F=dF=B=BL(向上) 例求半圆形导线所受的安培力。 解:在φ处取一电流元ll B 受安培力dF=l.B.sinb=Bll d F=BIdl coso dF= BIdl sin g do 由对称性F1=0F=dH,= Bldl. sin(=2BR 直径所受安培力:F=BⅠ=2B/R(方向沿y轴) 稳恒磁场
稳恒磁场 2 x 例 如图所示，试求导线所受的安培力。 B L 解：任取一电流元 Idl Idl 受安培力 dF Idl B = sin = BIdl dF 整个导线所受安培力： F dF BIdl = = I = BIL （向上） 例 求半圆形导线所受的安培力。 I B y O 解：在φ处取一电流元 Idl Idl d 受安培力 dF Idl B = sin = BIdl dF cos x dF BIdl = sin y dF BIdl = 0 由对称性 F x = sin F dF BIdl y = = = 2BIR 直径所受安培力： F BIL BIR = = 2 （方向沿y轴） I
例证明任意形状的载流导线均匀磁 场中所受安培力等于载流直线 的安培力。 B 证明:F ab, ldlxb=i( dU)xB=abxB b F=ab×B=Fab 结论1:起点、终点相同的平面曲线电流和 直线电流,只要处于均匀磁场中, B 它们所受安培力相同。 结论2:任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中 所受安培力矢量和为零。 稳恒磁场
稳恒磁场 3 例： B a b 证明任意形状的载流导线 在均匀磁 场中所受安培力等于载流直线 所受 的安培力。 ab ab 证明： ab L F Idl B = ( ) L = I dl B = I ab B ab F I ab B = 结论1：起点、终点相同的平面曲线电流和 直线电流，只要处于均匀磁场中， 它们所受安培力相同。 结论2：任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中 所受安培力矢量和为零。 B ab = F
例求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势 解①f=L2bB1=2b401 (向左) 2a 1 ③3/3=l2bB3=l2b 4ta (向右) Ldl sint a2兀x ln2(向上) 2元 f4=J2(向下) 整个线圈所受的合力:F=f1+J3 O >/∴:线圈向左做平动 稳恒磁场
稳恒磁场 4 例 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运动趋势 解 1 I a b a 2 I 1 2 3 4 o x 1 2bB1 f = I a I I b = 2 0 1 2 3 2bB3 f = I a I I b = 4 0 1 2 （向左） （向右） 2 2 2d sin 2 a x a f I lB = I x x a I a d 2 2 2 0 1 = ln 2 2 0 1 2 = I I 4 2 f = f 整个线圈所受的合力： F f f = +1 3 f 1 f 3 线圈向左做平动 1 3 2 4 （向上） （向下）
例求非均匀磁场中载流导线所受安培力。 解:在处取电流元l4 所受安培力dF=L.4 2Tx 整个载流导线所受安培力 dFi b L F= dF=l Ldl 2丌x dl- cos 0=dx x F 12xp12 In a+ lcos e L2丌cos0x2 t cos e 稳恒磁场 5
稳恒磁场 5 例 求非均匀磁场中载流导线所受安培力。 1 I d a b L 2 I o x 解：在x处取电流元 2 I dl 所受安培力 0 1 2 2 I dF I dl x = dF 整个载流导线所受安培力： 0 1 2 L L 2 I F dF I dl x = = dl dx = cos 0 1 2 2 cos L I I dx F x = 0 1 2 cos ln 2 cos I I d L d + =
二、磁场对平面载流线圈的作用 DA FDA= FBC=L BI cos o (方向相反在同一直线上) En=fn= Bll B (方向相反不在一条直线上) ∑F=0(线圈无平动 B BC 对中心的力矩M= NiSin+ Fcp sin o D(C) Zl2BIsin o B 又S=S=12npmn=IS万 A(B) M=pm×B 稳恒磁场
稳恒磁场 6 二、磁场对平面载流线圈的作用 FCD FAB B 1 l 2 l FDA FBC D C B A I FDA = FBC = l 1 BI cos （方向相反在同一直线上） FCD = FAB = BIl2 = 0 i F （线圈无平动） 对中心的力矩 sin 2 sin 2 1 1 l F l M = FAB + CD = l1 l2BIsin n （方向相反不在一条直线上） S Sn l l n = = 1 2 M p B = m pm ISn 又 = B + n A(B) D(C)
讨论:M= Pm M=b2ing 1.若线圈有N匝,则M=Npn×B 2.若M=0,则线圈处于平衡状态,不转动 i)卯=0pl‖B(稳定平衡) B 受一微扰仍可回到原状态 i)g=zpnl‖-B(非稳定平衡) 受一微扰不可回到原状态 结论:磁场对平面载流线圈所作用的磁力矩,总是要使 线圈转到其磁矩与磁感应强度方向相同的稳定平衡处。 稳恒磁场 7
稳恒磁场 7 讨论： 1. 若线圈有N匝，则 M N p B = m 2. 若 M = 0 ，则线圈处于平衡状态，不转动。 i） = 0 m p B M p B = m 1 2 M l l BI = sin （稳定平衡） B 受一微扰仍可回到原状态 ii） = m p B− （非稳定平衡） 受一微扰不可回到原状态 结论：磁场对平面载流线圈所作用的磁力矩，总是要使 线圈转到其磁矩与磁感应强度方向相同的稳定平衡处
3当M=0时,Φ=④=B.S 当M=M=BS时,Φ=0 4.以上结论适用于均匀磁场中任何 B 形状的平面载流线圈。 5.电场与磁场对比: B 静电场:电偶极子的电矩:p。=q 受电场力矩:M=DxE 稳恒磁场:载流线圈的磁矩:pn=S 受磁力矩:M=pnXB 稳恒磁场
稳恒磁场 8 当 M M BIS = = max 时， 3. 当M＝0时， = = m max B S0 = m B D C B A I 4. 以上结论适用于均匀磁场中任何 形状的平面载流线圈。 5. 电场与磁场对比： 静电场： 电偶极子的电矩： 受电场力矩： 稳恒磁场：载流线圈的磁矩： 受磁力矩： M p B = m M p E = e e p ql = m p IS =
三、磁力的功 载流导线在安培力作用下平动 载流线圈在磁力矩作用下转动场力作功 1.载流导线在磁场中平动时磁场力作的功 ab边长为l,可自由滑动 B b边所受安培力:F=B b 磁场力作功:A=F.a1=Ba BⅠ·AS=1·AΦ b b 结论载流导线在磁场中平动,磁场力作的功等于I A=△Φ 乘以闭合回路所包围面积的磁通量的增量。 注意:1)电流恒定2)选回路方向使Φ>0 稳恒磁场
稳恒磁场 9 三、磁力的功 载流导线在安培力作用下平动 载流线圈在磁力矩作用下转动 磁场力作功 1. 载流导线在磁场中平动时磁场力作的功 B a' b' a b c d I ab边长为l，可自由滑动 ab边所受安培力： F BIl ab = Fab 磁场力作功： ' A F aa ab = = BIl aa ' = BI S m = I A I m = 结论：载流导线在磁场中平动，磁场力作的功等于I 乘以闭合回路所包围面积的磁通量的增量。 注意：1)电流恒定 2)选回路方向使Φ>0
2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩作的功 线圈在磁场中所受磁力矩: M=p, B M= ISBsin e(顺时针) B 设线圈转动小角度,磁力矩的功: dA=M.dol=-Mdo=-ISBsinpdo iSBd(cos o )=ld(SB cos o)=lddp 设线圈由qm转到qmn,磁力矩作的功:A=「d4 ldg 结论任一载流线圈在磁场中运动,磁场 力作的功 △d A=/AC 稳恒磁场 10
稳恒磁场 10 2. 载流线圈在磁场中转动时磁力矩作的功 B n 线圈在磁场中所受磁力矩： M p B = m m p IS = = M ISBsin （顺时针） 设线圈转动小角度dφ， 磁力矩的功： dA M d = = − M d = − ISB d sin = ISBd(cos ) = Id SB ( cos ) m = Id 设线圈由φm1转到φm2 ，磁力矩作的功： A dA = 2 1 m m m Id = m = I 结论：任一载流线圈在磁场中运动，磁场 力作的功： A I = m
