西安电子科技大学：《大学物理》第八章 静电场（8.3）电通量高斯定理

电场强度的计算步骤 1原则:利用点电荷的电场公式和叠加原理 i da de →>E 4πcnr dl(线分布) 48r dq=ouS(面分布)→ E pd(体分布) 4E0 pdv 48r

1 电场强度的计算步骤 1.原则: 利用点电荷的电场公式和叠加原理 0 2 0 1 d d 4 q E r  r =  0 2 0 d 4 q E r  r =   dq = dl （线分布） dS （面分布） dV （体分布） 0 2 0 0 2 0 0 2 0 4 4 4            =           dl r r ds E r r dv r r

2.矢量积分化成标量积分用分量式表示 e=dE EE dE E=Ei+E、j+Ek dE 3.分析带电体的对称性简化计算 4.利用已知电场化繁为简 均匀带电细圆环 均匀带电圆盘无限大均匀带电平面 4TE。(R2+x2)32E=G [1 260(R2+x E 2

2 2. 矢量积分化成标量积分,用分量式表示 2 2 3/ 2 0 1 4 ( ) qx E  R x =  + x x y y z z E dE E dE E dE  =    =   =     E E i E j E k x y z = + + 3. 分析带电体的对称性,简化计算 4. 利用已知电场,化繁为简 均匀带电细圆环 均匀带电圆盘 无限大均匀带电平面 2 2 1/ 2 0 E [1 ] 2 ( ) x R x   = − + 2 0 E   =

尸,O,之间的换算: 带电面(σ)由许多带电细线(A)组成 das d.-da odx dx 一带电体(Q)由许多带电面(o)组成 NdS. dg=dS·ax.p→ dx 一带电体(ρ)由许多带电线()组成 al ds

3    , , 之间的换算：  dx dl 一带电面（σ）由许多带电细线（λ）组成 dq dq dl dx dx dl =    = =    一带电体（ρ）由许多带电面（σ）组成 dq dq dS dx dx dS =    = =     dSdl 一带电体（ρ）由许多带电线（λ）组成 dq dq dS dl dS dl =    = =      dx dS

例长为均匀带电直线,电荷线密度为2 dE 求:如图所示p点的电场强度 dx 解:在坐标x处取一小段线元x 了···· dq= ndx X ←下 该点电荷在p点的场强方向如图所示 大小为dE d x 4re r2 4e(l+a 各电荷元在p点的场强方向一致 场强大小直接相加 x e=dE 04x50(+a-x) 4兀0 a+l

4 l o p dq dx =  2 0 4 dq dE  r = ( ) 2 0 4 dx l a x   = + − 电荷线密度为  求：如图所示 p 点的电场强度 解：在坐标 x 处取一小段线元dx a x dx r dE 该点电荷在 p 点的场强方向如图所示 大小为  各电荷元在 p 点的场强方向一致  场强大小直接相加 例 长为 l 均匀带电直线， ( ) 2 0 0 4 l dx E dE l a x   = = + −   0 1 1 4 a a l     = −     + x

着P点与带电线不在同一直线上(P到L的垂直距离为a) y↑dE dq= ndx dE dE 4πE。r de =de cose de =de sin e dE 统一变量 acote dx= acsc ede cos 0de 4丌Ea r2=a+x2=a' cSc 8 dE sin ede 4: E,=dE, = Ja B2元 cos Ade sin 6,-sin 81) 614丌Ea 4ea 5

5 a P x y O 若P点与带电线不在同一直线上（P到L的垂直距离为a） d d q x =  2 0 1 d d 4 x E r   =  r  d d sin E E y d d cos =  E E x =  统一变量 2 1 x a = − cotθ 2 d csc d x a = θ θ 2 2 2 2 2 r a x a =+= csc  E  d dE x dE y 0 d sin d 4 E y a     =  0 d cos d 4 E x a     =  d E E x x =  2 1 0 (sin sin ) 4 θ θ a   = −  2 1 0 cos d 4 θ θ θ θ a   =   dx

E (sin 02-sin)E 优Ea 4TGc(cos e-cos e2 讨论 dE (1)无限长均匀带电直线(L>>a) 0,=0 E.=0E y2πE0a 61人 2 (2)半无限长均匀带电直线 d x 0=24aP点的E=Ei+E,J E 4丌Ea

6 (1) 无限长均匀带电直线 1 2 0 (cos cos ) 4 E y θ θ a   = −  (2) 半无限长均匀带电直线 1 θ = 0 2 θ =  0 2 y λ E ε a =  0 E x = 2 1 0 (sin sin ) 4 E x θ θ a   = −  讨论 （L >> a） 1 2 θ  = 2 θ =  0 4 y λ E ε a =  0 4 x λ E ε a − =  a P x y O r  2 1 E  d dE x dE y dx P点的 E E i E j = + x y

例面密度为a,宽为d,长无限的平板,与平板在同一平面内的 P点的电场强度。 解可看作无数无限长带电线的集合 O 在x处取宽为的小窄条 dE 2 n=odx P 7EA 正E方向一致,沿x轴方向 odx dx e=dE= 0 2/eo(d+a-x) 2/co o d+a-x o in a d+a 2E0 7

7 面密度为 ，宽为d，长无限的平板，与平板在同一平面内的 P点的电场强度。 例 x O P 0 2 λ dE ε r =  x dx  = dx dE方向一致，沿x轴方向 a E dE =  0 0 0 0 2 ( ) 2 d d dx dx d a x d a x     = = + − + −   0 ln 2 d a a   + = 解 可看作无数无限长带电线的集合 在x处取宽为dx的小窄条

例求面密度为σ,宽为d,长无限的平板中心轴线上方a处P点 的电场强度。 P 解可看作无数无限长带电线的集合 在x处取宽为的小窄条 0·ax dE 2 JEol 2(a2+x2)2 dE, =dE. de =dE dEK下E 分析对称性可知,E.=0 ga rd/2 dx e=dE tan 28 J-d/2 a+x e o x dx

8 求面密度为 ，宽为d，长无限的平板中心轴线上方a 处P点 的电场强度。 解 例 x P y 可看作无数无限长带电线的集合 O x y O P dx E  d 在x处取宽为dx的小窄条 0 2 λ dE ε r =  2 2 1/ 2 0 2 ( ) dx ε a x   =  + ( ) x x dE dE r =  − y a dE dE r =  分析对称性可知， 0 E x = E dE y y =  / 2 2 2 / 2 0 2 d d a dx ε a x  − =  +  1 0 tan ( ) 2 d ε a  − =  a r x dE x dE y

讨论 d E=E tan 7CE 2a (1)无限大均匀带电平面(d→)E=by=09 2)两个无限大均匀带电平面(不考虑边缘效应) +o +o+0

9 讨论 (1) 无限大均匀带电平面 （d →∞） 1 0 tan ( ) 2 y d E E ε a  − = =  0 E E y ε  = =  + (2) 两个无限大均匀带电平面 （不考虑边缘效应） + − + + − −

583电通量高斯定理 电场线(电力线、残线) 1.规定1)曲线上每一点切线方向为该点电场方向 2)通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小 e=dn/ds 2电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处),终止于负电荷 不会在没有电荷处中断; 2)电力线不会形成闭合曲线,两条电力线不会相交; 3)电力线一般不是电荷运动的轨迹 4)电力线密集处电场强,电力线希疏处电场弱

10 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向; 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E N S = d / d ⊥ 1.规定 2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷， 不会在没有电荷处中断； 2)电力线不会形成闭合曲线，两条电力线不会相交； 3) 电力线一般不是电荷运动的轨迹。 4)电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。 一、电场线（电力线、 E 线） §8.3 电通量 高斯定理