第五章刚体运动学 研究对象:刚体 有大小、形状而无形变的物体 实际研究对象的简化理想模型 研究内容:刚体位置随时间变化的规律 刚体运动类型:平动转动(定轴、定点)一般运动 55-1刚体平动 55-2刚体定轴转动 第五章刚体运动学
第五章 刚体运动学 1 ➢ 研究对象：刚体 ⚫ 有大小、形状而无形变的物体 ⚫ 实际研究对象的简化 理想模型 ➢ 研究内容：刚体位置随时间变化的规律 刚体运动类型： 第五章 刚体运动学 平动√ 转动（定轴、定点） 一般运动 √ §5-1 刚体平动 §5-2 刚体定轴转动
55-1刚体平动 平动刚体运动时,若在刚体内所作的任一条直线 都始终保持和自身平行 刚体平动 平动的特点 (1)刚体中各质点的运动情况相同 B A-rB+AB AA=AB UA=vB an-aB B (2)刚体的平动可归结为质点运动 B 运动学角度:刚体上任一点运动都满足质点运动学规律 动力学角度:质心运动代表刚体整体运动,利用质心运 动定理研究刚体的平动动力学规律,同质 点运动学规律。 第五章刚体运动学
第五章 刚体运动学 2 §5-1 刚体平动 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线 都始终保持和自身平行 — 刚体平动 A B A B A B A B r r AB = + (1) 刚体中各质点的运动情况相同 一、 平动 二、 平动的特点 A B r r = v A vB = aA aB = (2) 刚体的平动可归结为质点运动 运动学角度：刚体上任一点运动都满足质点运动学规律 动力学角度：质心运动代表刚体整体运动，利用质心运 动定理研究刚体的平动动力学规律，同质 点运动学规律
55-2刚体定轴转动 定轴转动 刚体上各质点都绕同一固定转轴 作圆周运动 不同点转动半径不同 转动平面垂直于转动轴 所有质点在转动平面内的角速度相同P 描述刚体定轴转动的角量 0=f(t de B do d0 a dt dt 第五章刚体运动学
第五章 刚体运动学 3 §5-2 刚体定轴转动 一、 定轴转动 刚体上各质点都绕同一固定转轴 作圆周运动 不同点转动半径不同 转动平面垂直于转动轴 所有质点在转动平面内的角速度相同 二、 描述刚体定轴转动的角量 z M I II P = f (t) d dt = 2 2 d d dt dt S = = υ a
三× 例:一质点M绕轴逆时针转动, M 每分60转,某时刻M点的位矢 F=2+3j(S/)则M点速度? 解:=2nk=2k 60 U=O×F=2xk×(21+3j) i×j=k ×k 4x(k×i)+6丌(k×j) k×i=j 4Tj-6Ti 第五章刚体运动学
第五章 刚体运动学 4 例：一质点M绕z轴逆时针转动， 每分60转，某时刻M点的位矢 解： r i j SI = + 2 3 ( ) 则M点速度？ M r y x z = r 2 60 n k = = 2k = r = + 2 (2 3 ) k i j = + 4 ( ) 6 ( ) k i k j i j k = j k i = k i j = = − 4 6 j i
第六章刚体动力学 56-1力矩刚体定轴转动定律 56-2定轴转动刚体的动能动能定理 563角动量和角动量守恒定律 刚体定轴转动的 平动:动量定理 动能定理中 角动量定理 F=mac 可以解决刚体的一般运动(平动加转动) 第六章刚体动力学 5
第六章 刚体动力学 5 第六章 刚体动力学 刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理 平动：动量定理 F ma = c 可以解决刚体的一般运动（平动加转动） §6-1 力矩 刚体定轴转动定律 §6-2 定轴转动刚体的动能 动能定理 §6-3 角动量和角动量守恒定律
56-1刚体定轴转动定律 力矩 力一改变质点的运动状态质点获得加速度 2→改变刚体的转动状态→→刚体获得角加速度 力F对Q点的力矩 Mn=F×F O点到力的作用点的矢径 M=F×F 大小轴与转袖严面交点到力的作 用点的矢径 方向:右手螺旋法则单位:牛米(N·m 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 6 §6-1 刚体定轴转动定律 力 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 力F 对o点的力矩： • • 改变质点的运动状态 质点获得加速度 一、 力矩 M r F o = 力F 对z轴的力矩： o F r z F P o r M r F z = O点到力的作用点的矢径 方向： 右手螺旋法则 单位: 牛·米 (N · m) Z轴与转动平面交点到力的作 用点的矢径 大小： r F F h = sin h
讨论 (1)若不在转动平面内,可将分解 F-平行于z轴不产生对z轴的力矩 F—在转动平面内产生对z轴的力矩 M=r×F M0(F) (2)在刚体的定轴转动中, 力矩只有两个指向 (3)力对任意点的力矩,在通 过该点的任一轴上的投影 等于该力对该轴的力矩 第六章刚体动力学 7
第六章 刚体动力学 7 r F⊥ F// h F A z (2) 在刚体的定轴转动中， 讨论 (1) 若 不在转动平面内，可将 F 分解： F F// ——平行于z轴 不产生对z轴的力矩 F⊥ ——在转动平面内 产生对z轴的力矩 M r F z ⊥ = (3) 力对任意点的力矩，在通 力矩只有两个指向 过该点的任一轴上的投影， 等于该力对该轴的力矩 ( ) M F O O
(4)如果有多个力作用于刚体,则刚体所受合力 论矩等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。 M2=有×F+×F2+…≠产xF合外力 F 外×0 F M=0 F=0M≠0F F 重力矩等于全部质量集中M=xmg 在重心时的力矩 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 8 (4) 如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合力 M r F r F z = + + 1 1 2 2 矩等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。 r F合外力 F F z F F z F外 = 0 M 0 z F外 0 M = 0 z 重力矩等于全部质量集中 在重心时的力矩 M r mg z = G 讨论
讨论(5)滑轮加速转动时,二张力不同 取逆时针为正,则合力短 M=F×F+×F O M=-rE+rF rE+rE 当滑轮加速时,M≠0 F F≠F (6)一对内力对同—转轴的力矩之和为零。 M=×f1+×2 M=-hf+hf2 M=0 h 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 9 讨论 (5) 滑轮加速转动时，二张力不同。 F2 F1 o 1 r 2 r 取逆时针为正，则合力矩 M r F r F = + 1 1 2 2 M rF r F = − + 1 1 2 2 1 2 = − + rF rF 当滑轮加速时， M 0 ∴ F F 1 2 (6) 一对内力对同一转轴的力矩之和为零。 1 f 2 f 1 r 2 r h M r f r f = + 1 1 2 2 M h f h f = − +1 2 ∵ f f 1 2 = ∴ M = 0
求摩擦力的力矩 例1一小物体m在水平面上滑动,摩擦系数为〃,求摩擦力的力矩 解受力f=mg M()=F×f O M(O)= rug sin 8⑧ 例2-圆环(R,m在水平面上绕圆心。点作圆周运动 解在圆环上取一小段圆弧d dm -ds= m-de 2丌R2兀 df=dmu =umg de de M0)=R×ddM(=gE08 2丌 M()=dM()=∠mgR 0 第六章刚体动力学 10
第六章 刚体动力学 10 求摩擦力的力矩 例1一小物体m在水平面上滑动，摩擦系数为μ，求摩擦力的力矩 o f r 解 受力 f mg = ( ) M f r f o = ( ) sin M f r mg o = 例2 一圆环(R,m)在水平面上绕圆心o点作圆周运动 o df ds d 解 在圆环上取一小段圆弧ds 2 m dm ds R = 2 m d = d f dmg = 2 mg d = ( ) 2 mgR dM f d = 2 0 M f dM f mgR ( ) ( ) = = dM f R df ( ) = ∴