二、刚体定轴转动的微分方程 O 取一质量元F1+f=△ma1 切线方向F+f=△ma fi F Fsin+f sin 0= Am, r B △ 两边同乘 Fsng+frsn6=△mrB 对整个刚体∑ Fr sin+∑/sinb=C∑Mm) 外力矩M4=CMm ∑Mm7=L命存妈轴时转动惯量 M2=JB=J2O-刚体定轴转动定律 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 1 二、 刚体定轴转动的微分方程 O i r Fi i f • 取一质量元 F f m a i i i i + = 切线方向 F f m a i i i i + = 2 sin sin Fr f r m r i i i i i i + = 对整个刚体 2 sin sin ( ) i i i i i i Fr f r m r + = 合内力矩 = 0 合外力矩 M mi sin sin F f m r i i i i + = 两边同乘 i r 2 ( ) M m r i外 = i i 2 令 = m r J i i （刚体对z轴的转动惯量） z z z z M J J d dt = = ——刚体定轴转动定律
M:=JB 刚体在总外力矩M的作用下,获得的角加速度与总外力 矩的大小成正比,与减成反比。 讨论 (1)刚体定轴转动动力学中的基本方程,是力矩 的瞬时作用规律 (2)M、J须对同一转轴定义 (3)M正比于β,力矩越大,刚体的β越大 (4)力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同 (5)与牛顿定律比较:M→>F2J>m,B→>a 转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小 第六章刚体动力学 2
第六章 刚体动力学 2 M J z z z = 刚体在总外力矩Mz的作用下，获得的角加速度β与总外力 矩的大小成正比，与J成反比。 讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩 的瞬时作用规律 (2) M、J、β必须对同一转轴定义 (5) 与牛顿定律比较： M → F, J → m, → a (3) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小
三、转动惯量 定义式 ∑ △m 质量不连续分布 m=质连续分布 三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置 (1)J与刚体的总质量有关 例如:均质两根等长的细木棒和 M L 细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L M x nax dx=-ML 铁0木 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 3 三、 转动惯量 = 2 i i 定义式 J m r 质量不连续分布 质量连续分布 三个要素: (1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如：均质两根等长的细木棒和 细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L z O x dx M 2 0 d L J x x = J铁 J木 • 2 2 J r dm r dV = = 2 0 d L M x x L = 1 2 3 = ML
(2)J与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 R 2TR J=IR dm R ndl -Ra d/=2rR3 m 2TR mR2 2TR 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dS三rr dm=ods- 2mr OT rdr 兀R r 2m 个 O o e dm r ar R R 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 4 (2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O 2π 2 2 0 d d R J R m R l = = 2π 2 0 d R = R l m R O m r dr ds = 2π rdr dm = ds 2 3 2 0 0 2 2 d 2 d m R m J r m r m r R R = = = r R mr r r R m d 2 2π d π 2 2 = = R 3 2 2π 2π m R R R = = m
(3)J与转轴的位置有关 M L O J=x ndx=ML ML 四.平行轴定理及垂直轴定理 1平行轴定理J,=J+ML2 :刚体绕任意轴的转动惯量 J:刚体绕通过质心轴的转动惯量 L:两轴间垂直距离 第六章刚体动力学 5
第六章 刚体动力学 5 O L x dx M z 2 0 2 3 1 J x dx ML L = = L O x dx M 2 2 2 2 12 1 J x dx ML L / L / = = − 四. 平行轴定理及垂直轴定理 z L C M z' 2 Jz' = Jz + ML z (3) J 与转轴的位置有关 1. 平行轴定理 z' J z J L :刚体绕任意轴的转动惯量 :刚体绕通过质心轴的转动惯量 :两轴间垂直距离
例均匀细棒的转动惯量 L J2=z+M ML 1/12ML 2.(薄板垂直轴定理 J=+几刈轴在薄板内 xyz轴垂直薄板。 例如求圆盘的任一条直径的转动惯量 已知_1 R 园盘 J=J+J mR R y 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 6 2 Jz =1/ 12ML 2 2 3 1 2 ML L JZ JZ M = = + 例 均匀细棒的转动惯量 2. (薄板)垂直轴定理 z x y J = J + J z M L z 例如:求圆盘的任一条直径的转动惯量 2 2 1 Jz = mR z x y J = J + J x y J = J 已知 2 4 1 Jx = J y = mR y x z 圆盘 R C m x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。 z x y
五、转动定律的应用 解题思路: 由牛 隔离 顿定 分析 列匚>求 确定 分析 力C> 方程 研究匚运动 解方 对象状态□>隔离>曲转程 分析 动定 力矩 律列 方程 第六章刚体动力学 7
第六章 刚体动力学 7 五、转动定律的应用 解题思路： 确定 研究 对象 分析 运动 状态 隔离 分析 受力 由牛 顿定 律列 方程 求 解 方 隔离 程 分析 力矩 由转 动定 律列 方程
例一根长为l,质量为m的均匀细直棒,可绕轴O在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置 求它由此下摆角时的a 6 解重力对整个棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩 M=-mgl cos0 B mgl cos 0 3 3g coso do 2 dt L ado 3gcos 8 der gsin e 21 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 8 例 求 它由此下摆 角时的 O m l 解 重力对整个棒的合力矩等于重力 C 全部 集中于质心所产生的力矩 cos 2 1 M = mgl l g ml mgl J M 2 3 3 cos cos 2 1 2 = = = t ω d d = mg = ω θ l g 0 0 d 2 3 cos d l g 3 sin = • • 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
例 若F=2N, g=2N 相同的轮子,二轮 的相同吗? F mg 解(1)分析受力 mg -T=ma M1≠mg R M=TR M=(mg-maR=2R-maR (2)分析受力M2=FR=2R M>M B2>B 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 9 例 解 若 F＝2N， mg＝2N， 相同的轮子，二轮 的β相同吗？ (1) 分析受力 mg T T mg T ma − = M TR 1 = M mgR 1 1 M mg ma R R maR = − = − ( ) 2 (2) 分析受力 F 2 M FR R = = 2 M M 2 1 2 1
例如图,轮轴绕轴转动。轮(R,J),轴(r,J),通 过绳分别挂着m1,m2,求转动时轮轴的角加速度 解规定正方向(顺时针为正) 转动部分(轮+轴) 十 12R-Tr=(1+J2)B④ 平动部分(m1、m2) m28 m,a ② -mg=ma1③ 角量与线量的关系a4=r④ m18 m28 RB⑤ 五式联立,可解T1,T2,a1,a2,B 第六章刚体动力学 10
第六章 刚体动力学 10 例 如图，轮轴绕o轴转动。轮（R，J2），轴（r，J1），通 过绳分别挂着m1，m2，求转动时轮轴的角加速度β 解 m m2 1 o R r 规定正方向 （顺时针为正） 转动部分（轮＋轴） ＋ m g2 T1 m g1 T1 T2 2 1 1 2 T R T r J J − = + ( ) 平动部分（m1、m2） ① ⑤ m g T m a 2 2 2 2 − = T m g m a 1 1 1 1 − = ② ③ 角量与线量的关系 1 a r = 2 a R = ④ 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β T2
