第二章投影的基本知识 第一节投影法与正投影的基本性质 、投影法与投影的概念 在日常生活中,人们看到太阳光或灯光照射物体时,在地面或墙壁上出现物体的影子 这就是一种投影现象。人们对这类现象进行了长期的观察和研究,建立了投影法。我们把光 线称为投射线(或叫投影线),地面或墙壁称为投影面,影子称为物体在投影面上的投影 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A,以及不通过 点S和点A的平面P,如图2-1所示,从点S经过点A作直线SA,直线SA必然与平面P 相交于一点a,则称点a为空间任一点A在平面P上的投影,称定点S为投影中心,称平面 P为投影面,称直线SA为投影线。据此,要作出空间物体在投影面上的投影,其实质就是 通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点,并根据物体上的线、面关系, 对交点进行恰当的连线。 如图2-2所示,作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线 SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c,再过点a、b、c作直线,连成△abc,△abc即 为空间的△ABC在投影面P上的投影。 上述这种用投射线(投影线)通过物体,向选定的面投影,并在该面上得到图形的方法 称为投影法。 投影中心 投影线 投影面 B a 图2-1投影法的概念 图2-2中心投影法 投影法的种类 投影法分为中心投影法和平行投影法两种。 (一)中心投影法
第二章 投影的基本知识 第一节 投影法与正投影的基本性质 一、投影法与投影的概念 在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子， 这就是一种投影现象。人们对这类现象进行了长期的观察和研究，建立了投影法。我们把光 线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点 S 和任一点 A，以及不通过 点 S 和点 A 的平面 P，如图 2－1 所示，从点 S 经过点 A 作直线 SA，直线 SA 必然与平面 P 相交于一点 a，则称点 a 为空间任一点 A 在平面 P 上的投影，称定点 S 为投影中心，称平面 P 为投影面，称直线 SA 为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是 通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系， 对交点进行恰当的连线。 如图 2－2 所示，作△ABC 在投影面 P 上的投影。先自点 S 过点 A、B、C 分别作直线 SA、SB、SC 与投影面 P 的交点 a、b、c，再过点 a、b、c 作直线，连成△abc ，△abc 即 为空间的△ABC 在投影面 P 上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法 称为投影法。 图 2－1 投影法的概念 图 2－2 中心投影法 二、投影法的种类 投影法分为中心投影法和平行投影法两种。 （一）中心投影法 P a b B c A C S 投影面 投影中心 投影线 S P a A
投影中心距离投影面在有限远的地方,投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心 投影法,如图2-2所示 中心投影法的原理和人眼成像的原理一样,因此,用中心投影法绘制的图形有立体感, 但是这种图形不能真实地反映物体的形状和大小,故机械图样不采用这种投影法绘制,而工 程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 (二)平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方,投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影 法,如图2-3所示。 根据投影线与投影面是否垂直,平行投影法又可以分为两种 1.斜投影法—一投影线与投影面相倾斜的平行投影法,如图2-3(a)所示 2.正投影法一一投影线与投影面相垂直的平行投影法,如图2-3(b)所示 投 投射方向 ≠90° (a)斜投影法 (b)正投影法 图2 平行投影法 由于正投影法能够表达物体的真实形状和大小,绘制方法也较简单,所以在工程上普遍 采用,已成为机械制图的基本原理与方法 三、正投影的基本性质 (一)真实性 当直线段平行于投影面时,直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形,因此, 直线的投影反映直线的实长。当平面图形平行与投影面时,不难得出,平面图形与它的投影 为全等图形,即反映平面图形的实形。由此我们可得出:平行与投影面的直线或平面图形, 在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形,这种投影特性称为真实性
投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心 投影法，如图 2－2 所示。 中心投影法的原理和人眼成像的原理一样，因此，用中心投影法绘制的图形有立体感， 但是这种图形不能真实地反映物体的形状和大小，故机械图样不采用这种投影法绘制，而工 程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 （二）平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影 法，如图 2－3 所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1．斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图 2－3（a）所示。 2．正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图 2－3（b）所示。 （a） 斜投影法 （b） 正投影法 图 2－3 平行投影法 由于正投影法能够表达物体的真实形状和大小，绘制方法也较简单，所以在工程上普遍 采用，已成为机械制图的基本原理与方法。 三、正投影的基本性质 （一）真实性 当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形，因此， 直线的投影反映直线的实长。当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影 为全等图形，即反映平面图形的实形。由此我们可得出：平行与投影面的直线或平面图形， 在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。 A P b a ≠90° c P b c A C 投 射 方 向 B 投 射 向 B 方 a C
E 图2-4直线和平面的真实性 2.积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时,它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线,这种投影特性 称为积聚性。 a 2-4直线和平面的积聚性 3.类似性 当直线或平面倾斜于投影面时,则直线的投影小于直线的实长,平面的投影是小于平面实形的类似形 类似形并不是相似形,它和原图形只是边数相同、形状类似 图2-5直线和平面的类似性 正投影的这三个基本性质即线面的投影特性是画图的依据,应熟练掌握
图 2－4 直线和平面的真实性 2．积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线，这种投影特性 称为积聚性。 图 2－4 直线和平面的积聚性 3．类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，则直线的投影小于直线的实长，平面的投影是小于平面实形的类似形。 类似形并不是相似形，它和原图形只是边数相同、形状类似。 图 2－5 直线和平面的类似性 正投影的这三个基本性质即线面的投影特性是画图的依据，应熟练掌握
第二节三视图的形成与投影规律 在机械制图中,通常假设人的视线为一组平行的,且垂至于投影面的投影线,这样在投 影面上所得到的正投影称为视图 一般情况下,一个视图不能确定物体的形状。如图2-6所示,两个形状不同的物体, 它们在投影面上的投影都相同。因此,要反映物体的完整形状,必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图,互相补充,才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图 投影面 图2-6一个视图不能确定物体的形状 、三投影面体系与三视图的形成 (一)三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成,如图2-7所示 在三投影面体系中,三个投影面分别为 正立投影面:简称为正面,用V表示; 水平投影面:简称为水平面,用H表示; 正立投影面 侧立投影面:简称为侧面,用W表示。 三个投影面的相互交线,称为投影轴。它们分别是: OX轴:是V面和H面的交线,它代表长度方向 OY轴:是H面和W面的交线,它代表宽度方向 侧立投 OZ轴:是V面和W面的交线,它代表高度方向 三个投影轴垂直相交的交点O,称为原点。 ◇水平投影面
第二节 三视图的形成与投影规律 在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投 影面上所得到的正投影称为视图。 一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。如图 2－6 所示，两个形状不同的物体， 它们在投影面上的投影都相同。因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图。 图 2－6 一个视图不能确定物体的形状 一、三投影面体系与三视图的形成 （一）三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图 2－7 所示。 在三投影面体系中，三个投影面分别为： 正立投影面：简称为正面，用 V 表示； 水平投影面：简称为水平面，用 H 表示； 侧立投影面：简称为侧面，用 W 表示。 三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是： OX 轴：是 V 面和 H 面的交线，它代表长度方向； OY 轴：是 H 面和 W 面的交线，它代表宽度方向； OZ 轴：是 V 面和 W 面的交线，它代表高度方向； 三个投影轴垂直相交的交点 O，称为原点。 投 面 影 正立投影面 影 面 投 侧 立 水平投影面 Y Z W H O V X
图2-7三投影面体系 (二)三视图的形成 将物体放在三投影面体系中,物体的位置处在人与投影面之间,然后将物体对各个投影 面进行投影,得到三个视图,这样才能把物体的长、宽、高三个方向,上下、左右、前后六 个方位的形状表达出来,如图2-8(a)所示。三个视图分别为 主视图:从前往后进行投影,在正立投影面(V面)上所得到的视图。 俯视图:从上往下进行投影,在水平投影面(H面)上所得到的视图。 主视图:从前往后进行投影,在侧立投影面(W面)上所得到的视图
图 图 2－7 三投影面体系 （二）三视图的形成 将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影 面进行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六 个方位的形状表达出来，如图 2－8（a）所示。三个视图分别为： 主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V 面）上所得到的视图。 俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H 面）上所得到的视图。 主视图：从前往后进行投影，在侧立投影面（W 面）上所得到的视图。 （a） （b） W X H H V Z Y H X YH O YW W V Z W X YH O YW Z
(d) 图2-8三视图的形成遇展开 (三)三投影面体系的展开 在实际作图中,为了画图方便,需要将三个投影面在一个平面(纸面)上表示出来,规 定:使V面不动,H面绕OX轴向下旋转90°与Ⅴ面重合,W面绕OZ轴向右旋转90 与V面重合,这样就得到了在同一平面上的三视图,如图2-8(b)所示。可以看出,俯视 图在主视图的下方,左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是:同一条OY轴旋转后 出现了两个位置,因为OY是H面和W面的交线,也就是两投影面的共有线,所以OY轴 随着H面旋转到OYH的位置,同时又随着W面旋转到OYw的位置。为了作图简便,投影 图中不必画出投影面的边框,如图2-8(c)所示。由于画三视图时主要依据投影规律,所 以投影轴也可以进一步省略,如图2-8(d)所示 、三视图的投影规律 从图2-9可以看出,一个视图只能反映两个方向的尺寸,主视图反映了物体的长度和 高度,俯视图反映了物体的长度和宽度,左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出 三视图的投影规律: 主、俯视图“长对正”(即等长) 主、左视图“高平齐”(即等高) 俯、左视图“宽相等”(即等宽) 三视图的投影规律反映了三视图的重要特性,也是画图和读图的依据。无论是整个物体 还是物体的局部,其三面投影都必须符合这一规律 宽度 图2-9视图间的“三等”关系
（c） （d） 图 2－8 三视图的形成遇展开 （三）三投影面体系的展开 在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规 定：使 V 面不动，H 面绕 OX 轴向下旋转 90°与 V 面重合， W 面绕 OZ 轴向右旋转 90° 与 V 面重合，这样就得到了在同一平面上的三视图，如图 2－8（b）所示。可以看出，俯视 图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是：同一条 OY 轴旋转后 出现了两个位置，因为 OY 是 H 面和 W 面的交线，也就是两投影面的共有线，所以 OY 轴 随着 H 面旋转到 OYH 的位置，同时又随着 W 面旋转到 OYW 的位置。为了作图简便，投影 图中不必画出投影面的边框，如图 2－8（c）所示。由于画三视图时主要依据投影规律，所 以投影轴也可以进一步省略，如图 2－8（d）所示。 二、三视图的投影规律 从图 2－9 可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和 高度，俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出 三视图的投影规律： 主、俯视图“长对正”（即等长）； 主、左视图“高平齐”（即等高）； 俯、左视图“宽相等”（即等宽）； 三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。无论是整个物体 还是物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。 图 2－9 视图间的“三等”关系 长度 宽度 宽度 高度
、三视图与物体方位的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸,有上下、左右、前后六个方位关系,如图2-10(a) 所示。六个方位在三视图中的对应关系如图2-10(b)所示。 主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系: 左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。 右 □ (a)立体图 (b)投影图 图2-10三视图的方位关系 在这些方位关系中,上下、左右关系较易判别,只有俯视图和左视图的前后关系容易弄 错。应该注意:以主视图为中心,俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面,远离主 视图的一侧为物体的前面 第三节基本体三视图的画法与识读 任何物体都可以看成是由一些形状规则且简单的形体组成,这样的形体称为基本体。 基本体分为平面立体和曲面立体两类。表面都是由平面所构成的形体,称为平面体:表 面中含有曲面的形体称为曲面体。 、平面体三视图的画法和识读 常见的平面体有:棱柱、棱锥、棱台 (一)棱柱
三、三视图与物体方位的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图 2－10（a） 所示。六个方位在三视图中的对应关系如图 2－10（b）所示。 主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系； 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系； 左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。 （a）立体图 （b）投影图 图 2－10 三视图的方位关系 在这些方位关系中，上下、左右关系较易判别，只有俯视图和左视图的前后关系容易弄 错。应该注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主 视图的一侧为物体的前面。 第三节 基本体三视图的画法与识读 任何物体都可以看成是由一些形状规则且简单的形体组成，这样的形体称为基本体。 基本体分为平面立体和曲面立体两类。表面都是由平面所构成的形体，称为平面体；表 面中含有曲面的形体称为曲面体。 一、平面体三视图的画法和识读 常见的平面体有：棱柱、棱锥、棱台。 （一）棱柱 左 下 右 前 后 上 左 右 前 后 左 右 下 上 后 前 上 W X H V Z Y
棱柱由两个底面和棱面组成,棱面与棱面的交线称为棱线,棱线互相平行。棱线与底面 垂直的棱柱称为正棱柱 以正六棱柱为例。如图2-11(a)所示为一正六棱柱,由上、下两个底面(正六边形) 和六个棱面(长方形)组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行,并有两个棱面平 行于正投影面面。 上、下两底面均为水平面,它们的水平投影重合并反映实形,正面及侧面投影积聚为两 条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面,它们的正面投影反映实形,水平投 影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面,其水平投影均积聚为直线,正面投 影和侧面投影均为类似形。 (a)立体图 (b)投影图 图2-11正六棱柱的三视图 作图方法与步骤如图2-11(b)所示 (1)作正六棱柱的对称中心线和底面基线,画出具有形状特征的投影—一水平投影 (即特征视图) (2)根据投影规律作出其他两个投影。 从图2-11(b)可以看出正棱柱的投影特征:当棱柱的底面平行某一个投影面时,则 棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形,而另外两个投影则由若干个相 邻的矩形线框所组成
棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面 垂直的棱柱称为正棱柱。 以正六棱柱为例。如图 2－11（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形） 和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平 行于正投影面面。 上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两 条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投 影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投 影和侧面投影均为类似形。 （a）立体图 （b）投影图 图 2－11 正六棱柱的三视图 作图方法与步骤如图 2－11（b）所示： （1）作正六棱柱的对称中心线和底面基线，画出具有形状特征的投影——水平投影。 （即特征视图） （2）根据投影规律作出其他两个投影。 从图 2－11（b）可以看出正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则 棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相 邻的矩形线框所组成。 c″ a″ d″ a′b′ d′ c′ a″ A d″ b′ a′ c′ b″ a(d) b(c) C b(c) D a(d) B d′ c″ b″
图2-12直棱柱 (二)棱锥 以正三棱锥为例。如图2-13(a)所示为一正三棱锥,它的表面由一个底面(正三边 形)和三个侧棱面(等腰三角形)围成,设将其放置成底面与水平投影面平行,并有一个棱 面垂直于侧投影面 由于锥底面△ABC为水平面,所以它的水平投影反映实形,正面投影和侧面投影分别 积聚为直线段ab'c’和a"(c")b"。棱面△SAC为侧垂面,它的侧面投影积聚为一段斜线 s"a"(c"),正面投影和水平投影为类似形△sac’和△sac,前者为可见,后者不可见。棱面 △SAB和△SBC均为一般位置平面,它们的三面投影均为类似形。 棱线SB为侧平线,棱线SA、SC为一般位置直线,棱线AC为侧垂线,棱线AB、BC 为水平线。 作图方法与步骤如图2-13(b)所示 (1)作正三棱锥的对称中心线和底面基线,画出底面△ABC水平投影的矩形。(即特 征视图) (2)根据正三棱锥的高度定出锥顶S的投影位置,然后在正面投影和水平投影上用直 线连接锥顶与底面四个顶点的投影,即得四条棱线的投影。 (3)根据投影规律,由正面投影和水平投影作出侧面投影。 从图2—13(b)可以看出正棱锥的投影特征:当棱锥的底面平行某一个投影面时,则 棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形,而另外两个投影则由若干个相 邻的三角形线框所组成
图 2－12 直棱柱 （二）棱锥 以正三棱锥为例。如图 2－13（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边 形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱 面垂直于侧投影面。 由于锥底面△ABC 为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影分别 积聚为直线段 a′b′c′ 和 a″(c″ )b″。棱面△SAC 为侧垂面，它的侧面投影积聚为一段斜线 s″a″(c″)，正面投影和水平投影为类似形△s′a′c′ 和△sac，前者为可见，后者不可见。棱面 △SAB 和△SBC 均为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。 棱线 SB 为侧平线，棱线 SA、SC 为一般位置直线，棱线 AC 为侧垂线，棱线 AB、BC 为水平线。 作图方法与步骤如图 2－13（b）所示： （1）作正三棱锥的对称中心线和底面基线，画出底面△ABC 水平投影的矩形。（即特 征视图） （2）根据正三棱锥的高度定出锥顶 S 的投影位置，然后在正面投影和水平投影上用直 线连接锥顶与底面四个顶点的投影，即得四条棱线的投影。 （3）根据投影规律，由正面投影和水平投影作出侧面投影。 从图 2－13（b）可以看出正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则 棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相 邻的三角形线框所组成
(a)立体图 (b)投影图 图2-13正三棱锥的三视图 图2-14平面体识读的立体图 曲面立体的三视图的画法与识读 工程中常见的曲面立体是回转体。曲面立体的曲面是由一条母线(直线或曲线)绕定轴 回转而形成的。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球等。在投影图上表示曲面立体就是把围 成立体的回转面或平面与回转面表示出来
C s a k A b c B s b a a′ b′ ) c (c″ S s′ s″ b″ a″ s″ b″ a″(c″) s′ c′ c′ a′ b′ （a）立体图 （b）投影图 图 2－13 正三棱锥的三视图 图 2－14 平面体识读的立体图 二、曲面立体的三视图的画法与识读 工程中常见的曲面立体是回转体。曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴 回转而形成的。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球等。在投影图上表示曲面立体就是把围 成立体的回转面或平面与回转面表示出来
