第三章点、直线、平面的投影 点、直线、平面是构成物体的基本几何元素,研究它们的投影,可提高对物体投影的分 析能力和空间想像能力,解决复杂物体画图及读图中的问题。 第一节点的投影 、点的三面投影的形成与标记 根据前述投影法,如图3-1(a)所示,假设空间有一点A,过点A分别向H面、V 面和W面作垂线,得到三个垂足a、a'、a",便是点A在三个投影面上的投影。在这里规定 用大写字母(如A)表示空间点,它的水平投影、正面投影和侧面投影,分别用相应的小写 字母(如a、a'和a")表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开,可以得到如图3-1(b)所示的带边框的三面投 影图,即得到点A两面投影;省略投影面的边框线,就得到如图3-1(c)所示的A点的 三面投影图 Z a(x, z) (y,z) ayw H X,y (b) dⅦH YH
第三章 点、直线、平面的投影 点、直线、平面是构成物体的基本几何元素，研究它们的投影，可提高对物体投影的分 析能力和空间想像能力，解决复杂物体画图及读图中的问题。 第一节 点的投影 一、点的三面投影的形成与标记 根据前述投影法，如图 3－1（a）所示，假设空间有一点 A，过点 A 分别向 H 面、V 面和 W 面作垂线，得到三个垂足 a、a′、a″，便是点 A 在三个投影面上的投影。在这里规定 用大写字母（如 A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写 字母（如 a、a′ 和 a″）表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图 3－1（b）所示的带边框的三面投 影图，即得到点 A 两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图 3－1（c）所示的 A 点的 三面投影图。 （a） （b） a(x,y) aX A H Y X aX a Y H O W Y X Z V Z aZ X Z W V a YH YH O YW aYW Z aZ W X aY a″ a′ a′(x,z) a″(y,z) a X YH 45° O YW Z aX aYW aYH a′ aZ a″
图3-1点的两面投影 二、点的坐标 从图3-1(a)、(b)可以看出,Aa、Aa、Aa"分别为点A到H、V、W面的距离, Aa=ax=a"ay(即a"ayw),反映空间点A到H面的距离; Aa'=aax=a"az,反映空间点A到Ⅴ面的距离 Aa"=aaz=aay(即aYH),反映空间点A到W面的距离; 上述即是点的投影与点的空间位置的关系,根据这个关系,若已知点的空间位置,就可 以画出点的投影。反之,若已知点的投影,就可以完全确定点在空间的位置。由图3-1中 还可以看出 a ayh-aaz 即aa⊥OX 这说明点的三个投影不是孤立的,而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因 空间点的位置改变而改变,因此可以把它概括为普遍性的投影规律: 1.点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴,即aa⊥OX 2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴,即aa"⊥OZ 3.点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a”到OZ轴的距离,即aax=a"az 根据上述投影规律,若已知点的任何两个投影,就可求出它的第三个投影 例3-1已知点A的正面投影a'和侧面投影a”(图3-2),求作其水平投影a。 YH
（c） 图 3－1 点的两面投影 二、点的坐标 从图 3－1（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″ 分别为点 A 到 H、V、W 面的距离， 即： A a = a′a x = a″a y (即 a″aYW)，反映空间点 A 到 H 面的距离； A a′ =a a x = a″a z ，反映空间点 A 到 V 面的距离； A a″ = a′a z = a a y (即 aYH)，反映空间点 A 到 W 面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可 以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。由图 3－1 中 还可以看出： a aYH = a′a z 即 a′a⊥OX a′a x = a″aYW 即 a′a″⊥OZ a a x = a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因 空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律： 1．点的正面投影和水平投影的连线垂直 OX 轴，即 a′a⊥OX； 2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直 OZ 轴，即 a′a″⊥OZ； 3．点的水平投影 a 和到 OX 轴的距离等于侧面投影 a″ 到 OZ 轴的距离，即 a a x = a″a z 。 根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。 例 3－1 已知点 A 的 正面投影 a′ 和侧面投影 a″（图 3－2），求作其水平投影 a 。 aZ aZ aX YW YH YW YH X O X O aYW a aYH a′ a″ Z a″ Z
图3-2已知点的两个投影求第三个投影 如图3-2(b)所示,由于a与a'的连线垂直于OX轴,所以a一定在过a’而垂直于 OX轴的直线上。又由于a到OX轴的距离必等于a"到OZ轴的距离,因此截取aax=a"az 便求得了a点 为了作图简便,可自点O作辅助线(与水平方向夹角为45°),以表明aax=a"az的 关系 三、点的三面投影规律 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系,因此可用直角坐标确定点的空间位置。 投影面H、V、W作为坐标面,三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴,三轴的交点O作为 坐标原点 由图3-3可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系: 点A到W面的距离=Oax=aax=aaH=x坐标 点A到V面的距离=OaH=aax=a"a2=y坐标; 点A到H面的距离=Oax=a'ax=a'aYw=z坐标。 y a 图3-3点的三面投影与直角坐标 用坐标来表示空间点位置比较简单,可以写成A(x,y,z)的形式 由图3-3(b)可知,坐标x和z决定点的正面投影a',坐标x和y决定点的水平投 影a,坐标y和z决定点的侧面投影a"”,若用坐标表示,则为a(x,y,0),a(x,0,z)
（a） （b） 图 3－2 已知点的两个投影求第三个投影 如图 3－2（b）所示，由于 a 与 a′ 的连线垂直于 OX 轴，所以 a 一定在过 a′ 而垂直于 OX 轴的直线上。又由于 a 到 OX 轴的距离必等于 a″ 到 OZ 轴的距离，因此截取 a a x = a″a z ， 便求得了 a 点。 为了作图简便，可自点 O 作辅助线（与水平方向夹角为 45°），以表明 a a x = a″a z的 关系。 三、点的三面投影规律 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。 投影面 H、V、W 作为坐标面，三条投影轴 OX、OY、OZ 作为坐标轴，三轴的交点 O 作为 坐标原点。 由图 3－3 可以看出 A 点的直角坐标与其三个投影的关系： 点 A 到 W 面的距离 = Oa x = a′a z = a aYH = x 坐标； 点 A 到 V 面的距离 = OaYH = a a x = a″az = y 坐标； 点 A 到 H 面的距离 = Oa z = a′ a x = a″aYW = z 坐标。 （a） （b） （c） 图 3－3 点的三面投影与直角坐标 用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成 A(x，y，z)的形式。 由图 3－3（b）可知，坐标 x 和 z 决定点的正面投影 a′ ，坐标 x 和 y 决定点的水平投 影 a，坐标 y 和 z 决定点的侧面投影 a″，若用坐标表示，则为 a (x，y，0)，a′(x，0，z)， a″ (0，y，z)。 y x H y X a H Y z O A x X y W z V Z V y O a Y a z O x z A x X x z YH y y YW Z x Z W aYW aYH 45° aZ aZ aX aX aY a′ a′ a′ a″ a″ a″
因此,已知一点的三面投影,就可以量出该点的三个坐标:相反地,已知一点的三个坐 标,就可以量出该点的三面投影。 例3-2已知点A的坐标(20,10,18),作出点的三面投影,并画出其立体图 其作图方法与步骤如图3-4所示: 1.画坐标轴,在OX轴上自O向左量取20,定出ax 2过ax作OX轴的垂线,并从ax向下量取aax=10得a点,从ax向上量取a'ax=10, 得a’点 3.自a′点作OZ轴的垂线,得交点az,自a向右量取aza"=10,得a”点。 Yw (c) 图3-4由点的坐标作点的三面投影 立体图的作图步骤如图3-5所示 1.根据投影图的坐标值,按1:1的比例沿各轴量取x、y、z尺寸得ax、ay、ax。 2.过axay、az在各坐标面上分别引各轴的平行线,得点A的三个投影a、a'、a"。 3.过a作aA∥OZ,过a’作a'A∥OY,过a"作a"A∥OX,所作三直线的交点即 为空间的点A ax
因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐 标，就可以量出该点的三面投影。 例 3－2 已知点 A 的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。 其作图方法与步骤如图 3－4 所示： 1．画坐标轴，在 OX 轴上自 O 向左量取 20，定出 a x 。 2．过 a x 作 OX 轴的垂线，并从 a x 向下量取 a a x =10,得 a 点，从 a x 向上量取 a′ a x =10， 得 a′ 点。 3．自 a′ 点 作 OZ 轴的垂线，得交点 a z ，自 az向右量取 a z a″ =10，得 a″点。 （a） （b） （c） 图 3－4 由点的坐标作点的三面投影 立体图的作图步骤如图 3－5 所示； 1．根据投影图的坐标值，按 1∶1 的比例沿各轴量取 x、y、z 尺寸得 a x、a y、a z 。 2．过 a x、a y、a z在各坐标面上分别引各轴的平行线，得点 A 的三个投影 a、a′、a″。 3．过 a 作 aA ∥OZ，过 a′ 作 a′ A ∥OY，过 a″ 作 a″A ∥OX，所作三直线的交点即 为空间的点 A 。 X H V Z X X H Y O Y a O V W Y H a O A W V Z Z aZ aX aY aZ aY aX aX aY aZ Y=10 Z=18 X=20 W a′ a″ a″ z=18 YH X x=20 O YH y=10 YW X O Z Z y=10 YH a YW X O YW Z aYH aYW aZ aX aX aX a a′ a′ a″
图3-5由点的坐标作立体图 五、点的位置 1.在投影面上的点,由于它有一个坐标为0,因此,它的三面投影中,必定有两个投 影在投影轴上,另一个投影和其空间点本身重合。例如在V面上的点A,它的y坐标为0。 所以,它的水平投影a在OX轴上,侧面投影a"在OZ轴上,而正面投影a在V面上与其 空间点本身重合为一点,如图3-6(a)所示 2.在投影轴上的点,由于它有两个坐标为0,因此,它的三面投影中,必定有一个投 影在原点上,另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点B,它的x、y坐标为0 所以,它的水平投影b在原点,正面投影b’、侧面投影b"在OZ轴上与其空间点本身重合 为一点,如图3-6(b)所示 3.在原点上的空间点,由于它有三个坐标都为0,因此,它的三个投影必定都在原点 上。如图3-6(c)所示 a 0 图3-6特殊位置点的投影 六、两点的相对位置 (一)两点的相对位置 空间两点的相对位置,在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别的,其中左、右由 坐标判别,前、后由y坐标判别,上、下由z坐标判别
（a） （b） （c） 图 3－5 由点的坐标作立体图 五、点的位置 1．在投影面上的点，由于它有一个坐标为 0，因此，它的三面投影中，必定有两个投 影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如在 V 面上的点 A，它的 y 坐标为 0。 所以，它的水平投影 a 在 OX 轴上，侧面投影 a″ 在 OZ 轴上，而正面投影 a′ 在 V 面上与其 空间点本身重合为一点，如图 3－6（a）所示； 2．在投影轴上的点，由于它有两个坐标为 0，因此，它的三面投影中，必定有一个投 影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在 OZ 轴上的点 B，它的 x、y 坐标为 0。 所以，它的水平投影 b 在原点，正面投影 b′、侧面投影 b″ 在 OZ 轴上与其空间点本身重合 为一点，如图 3－6（b）所示； 3．在原点上的空间点，由于它有三个坐标都为 0，因此，它的三个投影必定都在原点 上。如图 3－6（c）所示。 （a） （b） （c） 图 3－6 特殊位置点的投影 六、两点的相对位置 （一）两点的相对位置 空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别的，其中左、右由 x 坐标判别，前、后由 y 坐标判别，上、下由 z 坐标判别。 a O H Y H H Y Y X W X Z V A A A a W O a X W O Z V V Z a′ a″ a″ a″ a′ a′
(b) 图3-7两点的相对位置 如图3-7所示,若已知空间两点的投影,即点A的三个投影a、a'、a”和点B的三个 投影b、b’、b",用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。由于xA> XB,表示B点在A点的右方;aB>ZA,表示B点在A点的上方;yA>yB,表示B点在点的 A后方。总起来说,就是B点在A点的右、后、上方 (二)重影点 若空间两点在某一投影面上的投影重合,则这两点是该投影面的重影点。这时,空间两 点的某两坐标相同,并在同一投射线上。 当两点的投影重合时,就需要判别其可见性,即两点中哪一点可见,哪一点不可见 判别可见性时注意:对H面的重影点,从上向下观察,z坐标值大者可见:对W面的 重影点,从左向右观察,ⅹ坐标值大者可见:对Ⅴ面的重影点,从前向后观察,y坐标值大 者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示,如(a) 如图3-8中,C、D位于垂直H面的投射线上,c、d重影为一点,则C、D为对H面 的重影点,z坐标值大者为可见,图中x>z,故c为可见,d为不可见,用c(d)表示
（a） （b） 图 3－7 两点的相对位置 如图 3－7 所示，若已知空间两点的投影，即点 A 的三个投影 a、a′ 、a″ 和点 B 的三个 投影 b、b′ 、b″，用 A、B 两点同面投影坐标差就可判别 A、B 两点的相对位置。 由于 xA > xB，表示 B 点在 A 点的右方；zB > zA，表示 B 点在 A 点的上方；yA > yB，表示 B 点在点的 A 后方。总起来说，就是 B 点在 A 点的右、后、上方。 （二）重影点 若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两 点的某两坐标相同，并在同一投射线上。 当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，即两点中哪一点可见，哪一点不可见。 判别可见性时注意：对 H 面的重影点，从上向下观察，z 坐标值大者可见；对 W 面的 重影点，从左向右观察，x 坐标值大者可见；对 V 面的重影点，从前向后观察，y 坐标值大 者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）。 如图 3－8 中，C、D 位于垂直 H 面的投射线上，c、d 重影为一点，则 C、D 为对 H 面 的重影点，z 坐标值大者为可见，图中 zC > zD，故 c 为可见，d 为不可见，用 c（d）表示。 a b X O Z H a A b Y X B V W O Z YH YW XA-XB ZB-ZA YA-YB a′ b′ b′ a′ b″ a″ a″ b″
Yw (d) XC=XD (a) (b) 图3-8重影点的投影 第二节直线的投影 、直线的投影图和直观图画法 直线的投影一般仍为直线,要作直线的投影图,只要作出直线上两点的投影,并将其同 面投影连接,即为直线的投影。同理,只要作出直线上两点的直观图,然后连接其同面投影 和空间两点即为直线的直观图。如图3-9所示的直线AB,求作它的三面投影图时,可分 别作出A、B两端点的投影(a、a'、a")、(b、b'、b"),然后将其同面投影连接起来即得直 线AB的三面投影图(ab、a'b'、a"b") Yw (b) 图3-9直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直
（a） （b） 图 3－8 重影点的投影 第二节 直线的投影 一、直线的投影图和直观图画法 直线的投影一般仍为直线，要作直线的投影图，只要作出直线上两点的投影，并将其同 面投影连接，即为直线的投影。同理，只要作出直线上两点的直观图，然后连接其同面投影 和空间两点即为直线的直观图。如图 3－9 所示的直线 AB，求作它的三面投影图时，可分 别作出 A、B 两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直 线 AB 的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）。 （a） （b） （c） 图 3－9 直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直 X V O O Y c(d) H D c(d) C W X Z Z YH YW ZC＞ZD YC=YD XC=XD c′ d′ d″ c′ c″ c″ d′ d″ O X a a H A b Y X V B W Z O O a b X b Z Z YH YH YW YW b′ a′ b″ a″ b′ b″ b′ b″ a′ a″ a′ a″
线三类。前一类直线称为一般位置直线,后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投 影特性,下面分述如下 (一)投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V 面的称为正平线;平行于H面的称为水平线;平行于W面的称为侧平线。 直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。a、β、y分别表示直线对H面、V 面、W面的倾角。 表2-1为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征 表2-1投影面平行线的投影特性 正平线(/) 水平线(H) 则平线(W) 实例 BA 立体图 投影图 (1)正面投影ab反映实长。(1)水平投影ef反映实长 (1)侧面投影反映实长。 投(2)正面投影ab与OX轴和(2)水平投影e与oX轴和 2)侧面投影与Oz轴和 影Oz轴的夹角a、y分别为ABOY的夹角β、y分别为FF对voYw轴的夹角B和a分别为EF
线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投 影特性，下面分述如下： （一）投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于 V 面的称为正平线；平行于 H 面的称为水平线；平行于 W 面的称为侧平线。 直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对 H 面、V 面、W 面的倾角。 表 2－1 为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征。 表 2－1 投影面平行线的投影特性 名称 正平线（//V） 水平线（//H） 侧平线（//W） 实 例 立 体 图 投 影 图 投 影 （1） 正面投影 a′b′反映实长。 （2） 正面投影 a′b′与 OX 轴和 OZ 轴的夹角α、γ分别为 AB （1） 水平投影 ef 反映实长。 （2） 水平投影 ef 与 OX 轴和 OYH 的夹角β、γ分别为 EF 对 V （1） 侧面投影 i //j //反映实长。 （2）侧面投影 i″j″与 OZ 轴和 OYW 轴的夹角β和α分别为 EF F E J L B A J W O X l H j Y Z V β α L β α l′ j′ l″ j″ F W O X f H e Y Z V βγ E βγ f′ e′ f″ B W e″ O X b H a αγ Y Z V b′αγ A a′ a″ b″ O f X e βγ Z YW YH f′ e′ f″ e″ O b X a αγ Z YW YH b′ a′ a″ b″ O j X l β α Z YW YH l′ l″ j′ j″
特对H面和W面的倾角。 面和W面的倾角。 对V面和H面的倾角。 性(3)水平投影轴ab∥Oⅹ轴,(3)面投影e'∥Ox轴,侧面投(3)正面投影i∥OZ轴,水 侧面投影a"b”∥OZ轴,且都小|影e"P"∥OYw,且都小于实长 平投影j∥OYH,且都小于实长 于实长 从表3-1中可得出投影面平行线的投影特征: 1.直线平行于哪个投影面,它在该投影面上的投影就反映空间线段的实长,并且这个 投影和投影轴所夹的角度,就等于空间线段对相应投影面的倾角 2.其他两个投影都小于空间线段的实长,而且与相应的投影轴平行 对于投影面平行线的辨认:当直线的投影有两个平行于投影轴,第三投影与投影轴倾斜 时,则该直线一定是投影面平行线,且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。 例3-3如图3-10所示,已知空间点A,试作线段AB,长度为15,并使其平行V 面,与H面倾角a=30°(只需一解 a 图3-10作正平线AB 分析:所求线段AB是正平线。根据正平线的投影特性以及已知条件,可知,ab∥OX, a"b"∥OYw,a'b=15:ab'与OX轴的夹角a=30° 作图方法与步骤如图2-21(b)所示 1.自a'作直线与OX轴倾斜30°,并在其上量取a'b'=15。a'b'即是所求线段AB的 正面投影。 2.过a及a"各自作OX及OZ轴的平行线 3.自b′作直线垂直OX及OZ轴,并与上述两平行线相交于b及b",连接ab及a"b 即是所求线段AB的水平投影和侧面投影。 (二)投影面垂直线
特 性 对 H 面和 W 面的倾角。 （3）水平投影轴 ab∥OX 轴， 侧面投影 a″b″∥OZ 轴，且都小 于实长。 面和 W 面的倾角。 （3） 面投影 e′f′∥OX 轴，侧面投 影 e″f″∥OYW，且都小于实长。 对 V 面和 H 面的倾角。 （3）正面投影 i′j′∥OZ 轴，水 平投影 ij∥OYH，且都小于实长。 从表 3－1 中可得出投影面平行线的投影特征： 1．直线平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影就反映空间线段的实长，并且这个 投影和投影轴所夹的角度，就等于空间线段对相应投影面的倾角； 2．其他两个投影都小于空间线段的实长，而且与相应的投影轴平行。 对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜 时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。 例 3－3 如图 3－10 所示，已知空间点 A，试作线段 AB，长度为 15，并使其平行 V 面，与 H 面倾角α＝30°（只需一解）。 （a） （b） 图 3－10 作正平线 AB 分析：所求线段 AB 是正平线。根据正平线的投影特性以及已知条件，可知，ab∥OX， a″b″∥OYW ，a′ b′ =15；a′ b′ 与 OX 轴的夹角α=30° 作图方法与步骤如图 2－21（b）所示： 1．自 a′ 作直线与 OX 轴倾斜 30°，并在其上量取 a′ b′=15。a′ b′ 即是所求线段 AB 的 正面投影。 2．过 a 及 a″ 各自作 OX 及 OZ 轴的平行线。 3．自 b′ 作直线垂直 OX 及 OZ 轴，并与上述两平行线相交于 b 及 b″，连接 ab 及 a″b″ 即是所求线段 AB 的水平投影和侧面投影。 （二）投影面垂直线 O O a X a X b 15 Z Z 30° YW YW YH YH a′ a″ b″ a′ a″ b′
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V 面的称为正垂线:垂直于H面的称为铅垂线;垂直于W面的称为侧垂线 表3-2为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征 表3-2投影面垂直线的投影特性 名称 正垂线(⊥V) 铅垂线(⊥H) 侧垂线(⊥W) 实 立体图 b(cs ek") (k") 投影图 YH b(g) 投(1)正面投影b(c)积聚成一点。(1)水平投影bg)积聚成一点。(1)侧面投影e"(k")积聚成一点 影|(2)水平投影bc,侧面投影b"c”(2)正面投影bg,侧面投影b"g"(2)正面投影ck,水平投影ck 特都反映实长,且bc⊥OX,bc|都反映实长,且bg⊥0X,b"g"都反映实长,且ek'⊥o,k⊥ 从表3-2中可得出投影面垂直线的投影特征: 1.直线垂直于哪个投影面,它在该投影面上的投影就积聚为一点。 2.其他两个投影都与相应的投影轴垂直,并且都反映空间线段的实长
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于 V 面的称为正垂线；垂直于 H 面的称为铅垂线；垂直于 W 面的称为侧垂线； 表 3－2 为投影面平行线的立体图、投影图及投影特征。 表 3－2 投影面垂直线的投影特性 名称 正垂线（⊥V） 铅垂线（⊥H） 侧垂线（⊥W） 实 例 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 （1）正面投影 b′(c′)积聚成一点。 （2）水平投影 bc，侧面投影 b″c″ 都反映实长，且 bc⊥OX， b″c″ ⊥OZ。 （1）水平投影 b(g)积聚成一点。 （2）正面投影 b′g′，侧面投影 b″g″ 都反映实长，且 b′g′⊥OX， b″g″ ⊥OYW。 （1）侧面投影 e″(k″)积聚成一点。 （2） 正面投影 e′ k′，水平投影 ek 都反映实长，且 e′ k′⊥OZ， ek⊥ OYH。 从表 3－2 中可得出投影面垂直线的投影特征： 1．直线垂直于哪个投影面，它在该投影面上的投影就积聚为一点。 2．其他两个投影都与相应的投影轴垂直，并且都反映空间线段的实长。 B G B L J C K W O X e H k Y Z V E e′ k′ e″（k″） B O X H Y Z V （）b c b′ G g″ b″ g′ W B W O X H b c Y Z V C c″ b″ b′（c′） O X Z （） b″ g″ YW YH g′ b g b′ O b X c Z YW YH b′（ c′） c″ b″ O e X k Z YW YH e′ k′ e″（ k″ ）