疑难解答
1 疑难解答
目录 第一章事件与概率 3-4 第二章条件概率与独立性…56 第三章随机变量及其分布， …7-8 第四章多维随机变及其分布……… 9-10 第五章数字特征 …11-14 第六章数理统计的基本概念… …15-17 第七章参数估计： 18-21 第八章假设检验 …22-23 2
2 目录 第一章 事件与概率………………………………………………3-4 第二章 条件概率与独立性………………………………………5-6 第三章 随机变量及其分布………………………………………7-8 第四章 多维随机变量及其分布…………………………………9-10 第五章 数字特征…………………………………………………11-14 第六章 数理统计的基本概念……………………………………15-17 第七章 参数估计…………………………………………………18-21 第八章 假设检验…………………………………………………22-23
第一章概率论基本概念 1.什么是统计规律性？什么是随机现象？ 答在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预确切结果的不 确定现象，其结果在大量重复试验中早现出一·种规律性.由于这种规律是根据统计数据分 析出来的，因而称为统计规律性。 在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的 观象称为随机观象，随机见象是概率论与数理统计的主要研究对象 2,如何理解互逆事件与互斥事件？ 答如果两个事件A与B必有个发生，且至多有一个发生，则A、B为耳道事件 B=A」 如果两个事件A与B不能同时发生，则A、B为互斥事件 如考试及格与不及格是互过也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆 区别互逆与互斥的关继是，当样本空间只有两个事件时，两事作才可能互道.面互斥 通用于多个事件的情形.互斥事件的特征是，在一次试验巾两者可以都不发生，而互逆事 件必发生一个且至多发生一个 3.如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？ 答首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与己知事件的关系，然后运 用这些关系与运算法则将事件表达出米， 例如，设S为事件0sxs5,A为事件1sx<2,B为事件0sx<2,则 0≤x≤2为事件B或AUB, 1≤x≤2为事件A或BA, 2<x≤5为事件S-B或B, 0≤x<1为B-A 4,样木空向与必然事件之间有什么关系？ 答样本空问是随机试验E的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定 会出现的结果，虽然在一次试验中只有样本空问的一个元素发生，但在把样本空可视作一 个整体时，我门说它在每次试验中都发生了.因此，可以说样木空间是必然事件 5.在什么情况下，随机事件A的颊率可以作为它的概率的近似值？ 答随机事件A的颜率(A)反映事件A在多次重复试验中发生的领繁程度当n 增人时，领率在概率P(A)附近摆动因比，每一个从独立重复试验中测得的顿率，都可 以作为报率P代A)的近似值.而且，一般n越大，近似程度越好 事实上，当程增大时，频率大量集中于包含P()的一个小区间.任选区间中一值作为 概率的近似值，称为统计郴率.在解题时，当n较大时，可取统计横率为P()≈n,/n
3 第一章 概率论基本概念 1．什么是统计规律性？什么是随机现象？ 答 在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不 确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分 析出来的，因而称为统计规律性。 在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的 现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象. 2．如何理解互逆事件与互斥事件？ 答 如果两个事件 A 与 B 必有一个发生，且至多有一个发生，则 A B 、 为互逆事件. B A = . 如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，则 A B 、 为互斥事件. 如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试 70 分和 80 分互斥却不互逆. 区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥 适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事 件必发生一个且至多发生一个. 3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？ 答 首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运 用这些关系与运算法则将事件表达出来. 例如，设 S 为事件 0 5 x ， A 为事件 1 2 x ， B 为事件 0 2 x ，则 0 2 x 为事件 B 或 A B， 1 2 x 为事件 A 或 BA ， 2 5 x 为事件 S B− 或 B ， 0 1 x 为 B A − . 4．样本空间与必然事件之间有什么关系？ 答 样本空间是随机试验 E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定 会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一 个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件. 5．在什么情况下，随机事件 A 的频率可以作为它的概率的近似值？ 答 随机事件 A 的频率 ( ) n f A 反映事件 A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当 n 增大时，频率在概率 P A( ) 附近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可 以作为概率 P A( ) 的近似值. 而且，一般 n 越大，近似程度越好. 事实上，当 n 增大时，频率大量集中于包含 P A( ) 的一个小区间. 任选区间中一值作为 概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当 n 较大时，可取统计概率为 ( ) / P A n n A
6,概率是否可以看做须毕的极限？ 答这样理解是不恰当的.因为如上避所述，当n→D时，厂()在P八A)附近摆动， 与高等数学中极限的￡一N概多是不同的。由于概率是随机见象的可能性的赋值，对于任 给的>0，存在偶然的因素，可能找不到N():从而得不到厂(A一PA~E ?.怎样理解古典额型的等可能假设？ 答等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带米了 很大的方便.但在事实上，所讨论问圈是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而 往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的.例如，骰子是正六面形，当质量均匀 分布时，投辉一次，每面朝上的可能性都相等：装在袋中的小球，颜色可以不同。只要大 小和形状相同，揽出其巾任一个的可能性都相等.因此，等可能假设不是人为的，而是人 们根据对事物的认识一对称性特征而确认的. 8.概率为0的事件是否为不可能事件？概率为1的事件是否为必然事件？ 答有关概念：不可能事件的慨本为0，即P()=0,但其逆不真：同样，必格事 件2的概率P()=1,但共逆也不真： 反例：例1设A表示事件：向边长为口的正方形区域G任意投掷一点，此点落在区 域g(名为该正方形中的一条对角线)，则 P(A)= 的面积0 G的面两“示=0 但A却并非为不可能事件 例2以B表示事件：向边长为的正方形G上任意投掷一点，此点落在区域g《g 为正方形去掉一条对角线后所剩下的区域)，则 P(B) 的面积2 G的面积。= 但B并非为必然事件
4 6．概率是否可以看做频率的极限？ 答 这样理解是不恰当的. 因为如上题所述，当 n → 时， ( ) n f A 在 P A( ) 附近摆动， 与高等数学中极限的 − N 概念是不同的. 由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任 给的 0 ，存在偶然的因素，可能找不到 N( ) ，从而得不到 | ( ) ( ) | n f A P A − . 7．怎样理解古典概型的等可能假设？ 答 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了 很大的方便. 但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而 往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的. 例如，骰子是正六面形，当质量均匀 分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大 小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等. 因此，等可能假设不是人为的，而是人 们根据对事物的认识——对称性特征而确认的. 8．概率为 0 的事件是否为不可能事件？概率为 1 的事件是否为必然事件？ 答 有关概念：不可能事件 的概率为 0 ，即 P( ) 0 = ，但其逆不真；同样，必然事 件 的概率 P( ) 1 = ，但其逆也不真。 反例：例 1 设 A 表示事件：向边长为 a 的正方形区域 G 任意投掷一点，此点落在区 域 g （ g 为该正方形中的一条对角线），则 2 0 ( ) 0 g P A G a = = = 的面积 的面积 但 A 却并非为不可能事件. 例 2 以 B 表示事件：向边长为 a 的正方形 G 上任意投掷一点，此点落在区域 g （ g 为正方形去掉一条对角线后所剩下的区域），则 2 2 ( ) 1 g a P B G a = = = 的面积 的面积 但 B 并非为必然事件
第二章 条件概率与独立性 1.条件概率PAB)与积事件橙率P(AB)有什么区别？ 答P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概幸，而P氏A川B)是在试验E增加了新 条件B发生后的缩减样本空间S。中计算事件A的概率.虽然都是A、B同时发生，但两者 不同的，有P(AB)=P(B)P气AB),仅当P(B)■P(S)=1时，两者相等 2,条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？ 答因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率 条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件（如B发生）求事件〔如A)发生的 概率.条件概率PA)与P)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件，而无条件 概率是没有增加新条件的橙率 3,两事件A、B独立与两事件A、B互斥这两个概念有什么关系？ 图1.1 答这两个概念并无必然的联系两事件A、B独立，则A中任一个事件的发生与另 一个事件的发生无关：；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发 生，所以说，两事件的发生是有影响的. 可以用图形作一直观解样.图11中A是左上半个正方形，B是右上半个正方形， P(A)=P(B)=1/2,P(AB)=1/4,表示样本空可巾两独立事件问关系，右图巾左下半个 正方形是A,右上半个正方形是BP()=P(B)=1/2.PAB)=0.表示样木空间中两互 斥事件间关系.读者能明确看出其中的不同 4.什么是小類率事件？它有什么实标的意义？ 答小概率事件是指一次试验中发生的概幸很小的事件.但从理论上讲，一个事件发 生的概本不论多小，只要不断重复试验下去，事件迟早会出现的怅半是 因为，若设P(A)=E>0,A为A在第k次试验中出现，则P(A)=石，PA)=1-E P(A…A)=(1-E),于是在前n次试验中，A至少出现一次的槽率为 P=1-PAA…Aw)=1-(1-sr→1(n→o 其实际意义是，我们可以借助它判断事情的真实性因为根据实际推新原理，小概率 事作在次试验中几乎是不可能发生的.面某一认为核半很小的事件，居然在一次试验中 发生了，人们城有理由怀疑其正疏性 5.什么是先验概率和后验概率？两者问有什么关系？
5 第二章 条件概率与独立性 1．条件概率 P A B ( | ) 与积事件概率 P AB ( ) 有什么区别？ 答 P AB ( ) 是在样本空间 S 内，事件 AB 的概率，而 P A B ( | ) 是在试验 E 增加了新 条件 B 发生后的缩减样本空间 B S 中计算事件 A 的概率. 虽然都是 A B 、 同时发生，但两者 不同的，有 P AB P B P A B ( ) ( ) ( | ) = ，仅当 P B P S ( ) ( ) 1 = = 时，两者相等. 2．条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？ 答 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率. 条件概率是在试验 E 的条件上加上一个新条件（如 B 发生）求事件（如 A ）发生的 概率. 条件概率 P A B ( | ) 与 P A( ) 的区别就是在 E 的条件上增加了一个新条件. 而无条件 概率是没有增加新条件的概率. 3．两事件 A B 、 独立与两事件 A B 、 互斥这两个概念有什么关系？ 图 1.1 答 这两个概念并无必然的联系. 两事件 A B 、 独立，则 A 中任一个事件的发生与另 一个事件的发生无关；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发 生，所以说，两事件的发生是有影响的. 可以用图形作一直观解释. 图 1.1 中 A 是左上半个正方形， B 是右上半个正方形， P A P B P AB ( ) ( ) 1/ 2, ( ) 1/ 4 = = = ，表示样本空间中两独立事件间关系. 右图中左下半个 正方形是 A ，右上半个正方形是 B P A P B P AB , ( ) ( ) 1/ 2, ( ) 0 = = = . 表示样本空间中两互 斥事件间关系. 读者能明确看出其中的不同. 4．什么是小概率事件？它有什么实际的意义？ 答 小概率事件是指一次试验中发生的概率很小的事件. 但从理论上讲，一个事件发 生的概率不论多小，只要不断重复试验下去，事件迟早会出现的概率是 1. 因为，若设 ( ) 0, P A Ak = 为 A 在第 k 次试验中出现，则 ( ) , ( ) 1 k P A P A k = = − . ( ) (1 ) 1 2 k P A A Ak = − ，于是在前 n 次试验中， A 至少出现一次的概率为 1 ( ) 1 (1 ) 1 ( ) 1 2 n n P P A A A n n = − = − − → → . 其实际意义是，我们可以借助它判断事情的真实性. 因为根据实际推断原理，小概率 事件在一次试验中几乎是不可能发生的. 而某一认为概率很小的事件，居然在一次试验中 发生了，人们就有理由怀疑其正确性. 5．什么是先验概率和后验概率？两者间有什么关系？ AB B A
答先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 PA=∑PB)PAIR) 中的P代B),它往往作为“由因求果”问画中的“因”出现。后验槽率是指在得到“结果” 的信息后亚新修正的概率，如贝叶斯公式B,|A)=P(A|B)PB,)/A)中的 P(B|),是“执果寻因”问愿中的“因” 先验鬣率与后验概率有不可分割的联系。后验概率的计算要以先验概率为基如求 PB|A)要先求PA),一定要知道PA利B)
6 答 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 1 ( ) ( ) ( | ) n i i i P A P B P A B = = 中的 ( ) P Bi ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现. 后验概率是指在得到“结果” 的 信 息 后重 新 修 正的 概 率， 如 贝叶 斯 公 式 ( | ) ( | ) ( ) / ( ) P B A P A B P B P A i i i = 中 的 ( | ) P B A i ，是“执果寻因”问题中的“因”. 先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础. 如求 ( | ) P B A i 要先求 P A( ) ，一定要知道 ( | ) P A Bi
第三章 随机变量及其分布 1.随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有什么意义？ 答随机变量是在随机试验的样本空何S上，对每一个eeS,给予一个实数X()与 之对应而得到的一个实值单值函数.从定义可以认识到：普通函数的咸值是按一定法则给 定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性：又普通函量的定义域是一 个区问，而随机变量的定义域是样本空问.这两点是二者的主要区别 引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要.为了便于数学推理和计算，有必要 将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研 究和分析其结果的规律性，因此，机变量是研究随机试验的重要而有效的工具 2.超几何分布、二项分布和泊松分布之间有一种什么关系？在什么条件下有这种关 系？ 答超几何分布、二真分有和泊松分布都是重要的离散型随机变量的概率分布.有时， 他们的版幸计算会十分繁冗当试验次数刀很大时，可以推导出这三个分布间有一种近似 关系式 C三Cp0-pr严e C k 这里，第一个等式要求n很大，且n/N较小，取p=M/N即成立.弟二个等式要求 n很大时成立.实际使用时，n220即可，当250时，效果更好.而泊松分布可通过查 表计算，比较简单 3,连续型随机变量的(x)k与离散型机变量的P,在概幸中的意义是否相同？ 答相同.在离散举随机变星X中，随机变量X的取植点是离散的点，P:是X取某 一x时的概率而在连续型随机变量X时，X取某一植x的概率为0；在小区问 [:X+上的概率为∫，”x达，由定积分中值定理有P=)水.当对连续型随 机变量离散化时，「(x)女与P,的意义是相同的，同样描述了随机变量的分布情况 4,为什么P(X=a}=0不能说明X=a是不可伦事件？ 答因为，若P{X■=0，则有两种可能.对高散型随机变量，P{X■}=0时， X=Q必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量。任一点上的概率都等子零，这山 P{x<X≤x+}(x,当k→0时，P→0可以得知，所以P{X=}=0不 能说明X=a是不可能事件 5.不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？ 答否，可以相同 例知，避行投篮试验时，设投中与没中等可能发生，可以令
7 第三章 随机变量及其分布 1．随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有什么意义？ 答 随机变量是在随机试验的样本空间 S 上，对每一个 e S ，给予一个实数 X e( ) 与 之对应而得到的一个实值单值函数. 从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给 定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一 个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 这两点是二者的主要区别. 引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要. 为了便于数学推理和计算，有必要 将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研 究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具. 2．超几何分布、二项分布和泊松分布之间有一种什么关系？在什么条件下有这种关 系？ 答 超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散型随机变量的概率分布. 有时， 他们的概率计算会十分繁冗. 当试验次数 n 很大时，可以推导出这三个分布间有一种近似 关系式 (1 ) ! k n k k M N M k k n k n n N C C e C p p C k − − − − − . 这里，第一个等式要求 n 很大，且 n N/ 较小，取 p M N = / 即成立. 第二个等式要求 n 很大时成立. 实际使用时， n 20 即可，当 n 50 时，效果更好. 而泊松分布可通过查 表计算，比较简单. 3．连续型随机变量的 f x dx ( ) 与离散型随机变量的 k p 在概率中的意义是否相同？ 答 相同. 在离散型随机变量 X 中，随机变量 X 的取值点是离散的点， k p 是 X 取某 一 k x 时的概率. 而在连续型随机变量 X 时， X 取某一值 x 的概率为 0 ；在小区间 [ , ] x x dx + 上的概率为 ( ) x dx x f x dx + ，由定积分中值定理有 P f x dx ( ) . 当对连续型随 机变量离散化时， f x dx ( ) 与 k p 的意义是相同的，同样描述了随机变量的分布情况. 4．为什么 P X a = = 0 不能说明 X a = 是不可能事件？ 答 因为，若 P X a = = 0 ，则有两种可能. 对离散型随机变量， P X a = = 0 时， X a = 必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量，任一点上的概率都等于零，这由 P x X x dx f x dx + ( ) ，当 dx →0 时， P →0 可以得知，所以 P X a = = 0 不 能说明 X a = 是不可能事件. 5．不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？ 答 否，可以相同. 例如，进行投篮试验时，设投中与没中等可能发生，可以令
1. 投中， X,= 1-1没中 或X= 「-1，投中， 1.没中. X,与X:是两个不同的随机变量，表现为对应法则的不同.但是它们有相同的分布函数 0. x<-l F(x)=1/2,-1≤x<上 ,x21 6,为什么分布函数F(x)定义为右连续？ 答定义左连线或者右连续只是一种习惯.目前，俄罗斯和东欧国家一般定义左连 续：西做和美国一般定义右连续：我国的大多数书籍也采用右连续.左莲续和右连续的区 别在于计算F(x)时，X■x点的强率是否计算在内.对于连续型随机变量而言，因为一点 上的概率等于零，定义左连续和右连续没有什么区别：对于离散型随机变量，如果 P{X=x}≠0，则左连续和右连续时的F(x)值就不相同了.因此，读者在阅读关于概率 论的参考书时，要注意作者是定义左连续还是右连续，以免出错 7,离散型随机变量的函量是否定是离散型随机变量？连续型随机变量的函量是否 一定是连续型随机变量？ 答离散型随机变量的函数也是离散型随机变量，因为它能取有限多个或可列无限多 个值.连续型随机变量的函数可以是连续型的，也可以是离版型的」 8.为什么正态分布是群率论中最重要的分布？ 答所调正态分布，即正常状态下的分布，它表现为其取值其有对称性，极人部分取 值集中在以对称点为中心的一个小区间内，只有少量取值落在区问外如人的身体特征指 标〔身高、体重)，学习成锁，产品的数量指标等等都服从正态分布.许多较复杂的指标， 只要在受到大量因素作用下每个因素的影响都不显若，且因素相互独立，也可认为近似服 从正态分布又如二项分布、泊松分布、「分布在n很大时，也以正态分布为极限分布，因 此，可以说正态分布是最重要的分布
8 1 1, 1, X = − 投中, 没中. 或 2 1, 1, X − = 投中, 没中. X1 与 X2 是两个不同的随机变量，表现为对应法则的不同. 但是它们有相同的分布函数 0, 1; ( ) 1/ 2, 1 1; 1, 1. x F x x x − = − 6．为什么分布函数 F x( ) 定义为右连续？ 答 定义左连续或者右连续只是一种习惯. 目前，俄罗斯和东欧国家一般定义左连 续；西欧和美国一般定义右连续；我国的大多数书籍也采用右连续. 左连续和右连续的区 别在于计算 F x( ) 时， X x = 点的概率是否计算在内. 对于连续型随机变量而言，因为一点 上的概率等于零，定义左连续和右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，如果 P X x = 0 ，则左连续和右连续时的 F x( ) 值就不相同了. 因此，读者在阅读关于概率 论的参考书时，要注意作者是定义左连续还是右连续，以免出错. 7．离散型随机变量的函数是否一定是离散型随机变量？连续型随机变量的函数是否 一定是连续型随机变量？ 答 离散型随机变量的函数也是离散型随机变量，因为它能取有限多个或可列无限多 个值. 连续型随机变量的函数可以是连续型的，也可以是离散型的. 8．为什么正态分布是概率论中最重要的分布？ 答 所谓正态分布，即正常状态下的分布，它表现为其取值具有对称性，极大部分取 值集中在以对称点为中心的一个小区间内，只有少量取值落在区间外. 如人的身体特征指 标（身高、体重），学习成绩，产品的数量指标等等都服从正态分布. 许多较复杂的指标， 只要在受到大量因素作用下每个因素的影响都不显著，且因素相互独立，也可认为近似服 从正态分布. 又如二项分布、泊松分布、 t 分布在 n 很大时，也以正态分布为极限分布. 因 此，可以说正态分布是最重要的分布
第四章多维随机变量及其分布 1,二维随机变量(X)的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？ 答由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯 一·确定条件分布。反之，边缘分布与条件分布都不能唯·确定联合分布.但由 (x,y》=厂x(x)x(y川)知，一个条件分布和它对应的边龄分布，能唯一确定联合分 布 例如，二龄正态分布(X,门~N(山，，o,o,P)的边缘分布是一潍正态分布 X一N(4.o),Y一N(丛.云)，与相关系数p无关：而边缘分布X,了因为相关系数不 同可以得到不同的联合分布 间是，如果X,Y相互独立，则P{X≤xY≤}=P{X≤x}P{Y≤y},即 Fx,y)=F(x小(y).说明当X,Y独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件 分布也唯一确定联合分布 2,多维陆机变量的边缘分布与一维随机变最的分有之间有什么联系与区别？ 答从某种意义上讲，可以说多维随机变量的边缘分布是一维随机变量如二年正态 分布(X,YN(44,C,o,P)的边撩分布X~N(4,可，Y~W(4,o),也是有一 锥分布的性质 但是从严格的整体意文上讲，多维随机变量的边学分布是定义在多维空间上的，而一 锥分布是定义在平面域上的.例如二锥随机变量(X,Y)关于X的边锋分布F,(x)表示 (XY)落在区域{-0,即分母要>0， 对离散型机变量，我们只要遵循这一原则，是可以用条件概率定义直接定义条件分布的， 即 P(X=xIY=y=P(X=x.Y=yiP(Y=y =Plpi 其中PY=y}>0.=1,2. 但是，对连续型陆机变量来说，因为在任一点(x,y),都有P{X=x=0P{Y=以=0， 所以不能用条件概率定义来定义条件分布，色须给出一个区间{x一石0或P{y-E0,然后利 用极限概念来定义条件分布.如 Fp(xy)=P{X≤xY=y
9 第四章 多维随机变量及其分布 1．二维随机变量 ( , ) X Y 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？ 答 由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯 一确定条件 分布. 反之，边缘 分布与条 件分布 都不能唯 一确定 联合分 布. 但由 | ( , ) ( ) ( | ) X Y X f x y f x f y x = 知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分 布. 例如，二维正态分布 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , , , , ) X Y N 的边缘分布是一维正态分布 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( , ) 1 1 2 2 ，与相关系数 无关；而边缘分布 X Y, 因为相关系数不 同可以得到不同的联合分布. 但是，如果 X Y, 相互独立，则 P X x Y y P X x P Y y = , ， 即 ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = X Y . 说明当 X Y, 独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件 分布也唯一确定联合分布. 2．多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别？ 答 从某种意义上讲，可以说多维随机变量的边缘分布是一维随机变量. 如二维正态 分布 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , , , , ) X Y N 的边缘分布 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( , ) 1 1 2 2 ，也是有一 维分布的性质. 但是从严格的整体意义上讲，多维随机变量的边缘分布是定义在多维空间上的，而一 维分布是定义在平面域上的. 例如二维随机变量 ( , ) X Y 关于 X 的边缘分布 ( ) F x X 表示 ( , ) X Y 落在区域 − − + X x Y , 上的概率，而一维随机变量 X 的分布函数 F x( ) 表示落在区间 ( , ] − x 上的概率，两者是有区别的. 3．为什么不能用条件概率的定义直接定义连续型随机变量的条件分布？ 解 在条件概率中，我们规定 P A B P AB P B ( | ) ( ) / ( ) = ，P B( ) 0 ，即分母要 0 ， 对离散型随机变量，我们只要遵循这一原则，是可以用条件概率定义直接定义条件分布的， 即 P X x Y y P X x Y y P Y y = = = = = = i j i j j | , / / = p p ij j ， 其中 0, 1,2, P Y y i = = j 但是，对连续型随机变量来说，因为在任一点 ( , ) x y ，都有 P X x P Y y = = = = 0, 0 ， 所以不能用条件概率定义来定义条件分布，必须给出一个区间 x X x − + 或 y Y y − + ，使 P x X x − + 0 或 P y Y y − + 0 ，然后利 用极限概念来定义条件分布. 如 F x y P X x Y y X Y| ( | ) | = =
=IimP(X≤xly-6<Y≤y+s} P(X≤xy-c<Y≤y+G lim P{y-E<Y≤y+} 4.怎样从二维随机变量(X,Y)的根率密度米判别随机变量X和Y的独立性？ 答因为，若(x,)=fx(x)(U),则随机变量X和y相互独立所以，如果能 将(x,y)分解成两个分别只含x或y的非负函数的乘积，即 f(x,)=风x)·) 那么，可以确定组成(X,Y)的X,Y是相互釉立的随机变量 10
10 0 lim | P X x y Y y → + = − + 0 , lim P X x y Y y P y Y y → + − + = − + . 4．怎样从二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度来判别随机变量 X 和 Y 的独立性？ 答 因为，若 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = ，则随机变量 X 和 Y 相互独立. 所以，如果能 将 f x y ( , ) 分解成两个分别只含 x 或 y 的非负函数的乘积，即 f x y g x h y ( , ) ( ) ( ) = ， 那么，可以确定组成 ( , ) X Y 的 X Y, 是相互独立的随机变量