《金融管理》第十二章 远期和期货的定价

第十二章远期和期货的定价 ·衍生金融工具的定价( Pricing)指的是确 定衍生证券的理论价格,它既是市场参与 者进行投机、套期保值和套利的依据,也 是银行对场外交易的衍生金融工具提供报 价的依据 ·从第十二章至第十三章,我们将分别介绍 远期、期货和期权这三种基本衍生金融工 具的定价方法 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 第十二章 远期和期货的定价 • 衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确 定衍生证券的理论价格，它既是市场参与 者进行投机、套期保值和套利的依据，也 是银行对场外交易的衍生金融工具提供报 价的依据。 • 从第十二章至第十三章，我们将分别介绍 远期、期货和期权这三种基本衍生金融工 具的定价方法

第一节远期价格和期货价格的关系 ·一、基本的假设 1、没有交易费用和税收。 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 3、远期合约没有违约风险。 4、允许现货卖空行为。 5、当套利机会出现时,市场参与者将参与套利活动 从而使套利机会消失,我们算出的理论价格就是在没 有套利机会下的均衡价格 6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头 和空头地位 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 一、基本的假设 • 1、没有交易费用和税收。 • 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 • 3、远期合约没有违约风险。 • 4、允许现货卖空行为。 • 5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没 有套利机会下的均衡价格。 • 6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头 和空头地位。 第一节 远期价格和期货价格的关系

●二、远期价格和期货价格的关系 根据罗斯等美国著名经济学家证明,当无风险利率恒定, 且对所有到期日都不变时,交割日相同的远期价格和期 货价格应相等 但是,当利率变化无法预测时,远期价格和期货价格就 不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的 相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时,期货价格 髙于远期价格。反之,则远期价格就会高于期货价格。 ·远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的 长短。此外,税收、交易费用、保证金的处理方式、违 约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格 和期货价格的差异。 在现实生活中,大多数情况下,我们仍可以合理地假定 远期价格与期货价格相等,并都用F来表示。 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 二、远期价格和期货价格的关系 • 根据罗斯等美国著名经济学家证明,当无风险利率恒定， 且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期 货价格应相等。 • 但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就 不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的 相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格 高于远期价格。反之，则远期价格就会高于期货价格。 • 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的 长短。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违 约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格 和期货价格的差异。 • 在现实生活中，大多数情况下，我们仍可以合理地假定 远期价格与期货价格相等，并都用F来表示

第二节无收益资产远期合约的定价 、无套利定价法 无套利定价法的基本思路为:构建两种投资组合, 让其终值相等,则其现值一定相等;否则就可以 进行套利,即卖出现值较高的投资组合,买入现 值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可 赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果,将 使较髙现值的投资组合价格下降,而较低现值的 投资组合价格上升,直至套利机会消失,此时两 种组合的现值相等。这样,我们就可根据两种组 合现值相等的关系求出远期价格 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 第二节 无收益资产远期合约的定价 • 一、无套利定价法 • 无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合， 让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以 进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现 值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可 赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将 使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的 投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两 种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组 合现值相等的关系求出远期价格

为给无收益资产的远期定价,构建如下两种组合: 组合A:一份远期合约多头加上一笔数额为Ker(T-t)的 现金;组合B:一单位标的资产。 在组合A中,Ker(T-t)的现金以无风险利率投资,投 资期为(T-t)。到T时刻,其金额将达到K。这是因 为:Ker(T-ter(-t)=K 在远期合约到期时,这笔现金刚好可用来交割换来一 单位标的资产。这样,在T时刻,两种组合都等于一单 位标的资产。由此我们可以断定,这两种组合在t时刻 的价值相等。即: f+ Ke-r (t-t)=s f=s-Ker (T-t (12.1) (12.1)表明,无收益资产远期合约多头的价值等于 标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说, 单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多 头和Ke-r(T-t)单位无风险负债组成 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 为给无收益资产的远期定价，构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的 现金； 组合B：一单位标的资产。 • 在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投 资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因 为：Ke-r（T－t）e r（T－t）=K • 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一 单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单 位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻 的价值相等。即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） （12.1） • （12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于 标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一 单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多 头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成

二、现货-远期平价定理 由于远期价格(F)就是使合约价值(f)为零的 交割价格(K),即当f=0时,K=F。据此可以令 (12.1)式中f=0,则 F=Ser (t-t) (12.2) 这就是无收益资产的现货一远期平价定理(Spot Forward Parity Theorem),或称现货期货平价 定理(Spot- Futures parity Theorem)。式(12.2) 表明,对于无收益资产而言,远期价格等于其标 的资产现货价格的终值。 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 二、现货-远期平价定理 • 由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的 交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令 （12.1）式中f=0，则 • F=Ser（T－t） （12.2） • 这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot￾Forward Parity Theorem），或称现货期货平价 定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（12.2） 表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标 的资产现货价格的终值

·可用反证法证明(12.2)不成立时的情形是不均 衡的 ·假设F>Ser(T=t),则套利者可以按无风险利率r 借入S现金,期限为T一t。然后用S购买一单位标 的资产,同时卖出一份该资产的远期合约,交割 食格:东T时刻,该套利着就可烽单管标的 1,这就实现了F什晶先风俊利润。 ·若F<Ser(r-t),则套利者就可进行反向操作, 即卖空标的资产,将所得收入以无风险利率进 投资,期限为T-t,同时买进一份该标的资产的 远期合约,交割价为F。在T时刻,套利者收到投 资本息Ser(T-t),并以F现金购买一单位标的资 产,用于归还卖空时借入的标的资产,从而实现 Ser(r-t-F的利润。 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 可用反证法证明（12.2）不成立时的情形是不均 衡的。 • 假设F>Ser（T－t） ，则套利者可以按无风险利率r 借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标 的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割 价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的 资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Se r （T－t） ，这就实现了F－Ser（T－t） 的无风险利润。 • 若F<Se r（T－t） ，则套利者就可进行反向操作， 即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行 投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的 远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投 资本息Ser（T－t） ，并以F现金购买一单位标的资 产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现 Ser（T－t）-F的利润

三、远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价 格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格, F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期 的无风险利率,r*为T时刻到期的无风险利率 为到T时刻的无风险远期利率。则不同期限远 期价格之间的关系 F=F (T-T) 12.3) ·读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现 益资 烂期矿格之间的关系 付已知红利率资产的不同期限 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 三、远期价格的期限结构 • 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价 格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格， F *为在T *时刻交割的远期价格, r为T时刻到期 的无风险利率,r*为T *时刻到期的无风险利率, 为T到T *时刻的无风险远期利率。则不同期限远 期价格之间的关系： • • (12.3) • 读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现 金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限 远期价格之间的关系。 * * ( ) r T T ˆ F Fe − =

第三节支付已知现金收益资产 远期合约的定价 、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法 ·为了给支付已知现金收益资产的远期定价,可构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约多头加上一笔数额为Ker(T-t的现金; 组合B:一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现 金收益派发日、本金为的负债。 组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此,在T时刻, 这两个组合的价值应相等,即 f+ Ke-r(T-t)=S-I f=S-I-Ke-T(T-t) (124) 公式(124)表明,支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等 于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之 差。或者说,一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由 单位标的资产和+Ke(T单位无风险负债构成。 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University 第三节 支付已知现金收益资产 远期合约的定价 一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法 • 为了给支付已知现金收益资产的远期定价，可构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金; 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现 金收益派发日、本金为I的负债。 • 组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此，在T时刻， 这两个组合的价值应相等，即： f+ Ke-r（T－t）=S-I f=S-I- Ke-r（T－t） （12.4） • 公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等 于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之 差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一 单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成

我们同样可以用反证法来证明公式(12.5) 假设F>(S-1)er(T-t),则套利者可借入现金S,买入标的资 ,并卖出一份远期合约,交割价为F。这样在T时刻,他需 要还本付息Ser(T-t),同时他将在T-t期间从标的资产获得 的现金收益以无风险利率贷出,从而在T时刻得到Ier(T-t 的本利收入。此外,他还可将标的资产用于交割,得到现金 收入F。这样,他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)er(T t) ·假设F<(S-Ⅰer(T-t),则套利者可以借入标的资产卖掉,得 到现金收入以无风险利率贷出,同时买入一份交割价为F的 远期合约。在T时刻,套利者可得到贷款本息收入Ser(T-t) 同时付出现金F换得一单位标的证券,用于归还标的证券的 原所有者,并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier (T-t)同时归还原所有者。这样,该套利者在T时刻可实现无 风险利润(ST)er(T-t)-F 可见当公式(12.5)不成立时,市场就会出现套利机会,套 利者的套利行为将促成公式(12.5)成立。 CopyrightoZhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University

Copyright©Zhenlong Zheng2003, Department of Finance, Xiamen University • 我们同样可以用反证法来证明公式（12.5） • 假设F>(S-I)e r（T－t） ，则套利者可借入现金S，买入标的资 产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需 要还本付息Ser（T－t） ，同时他将在T-t期间从标的资产获得 的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t） 的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金 收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)e r（T－ t） 。 • 假设F<(S-I)er（T－t） ，则套利者可以借入标的资产卖掉，得 到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的 远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t） ， 同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的 原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier （T－t）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无 风险利润(S-T)er（T－t）-F。 • 可见当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套 利者的套利行为将促成公式（12.5）成立