机器人操作机弹性动力学分析新方法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.03.016 第16卷第3期 北京科技大学学报 Vol.16 No.3 1994年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1994 机器人操作机弹性动力学分析新方法 刘鸿飞)马香峰)张策2) 1)北京科技大学机械系，北京1000832)唐山工程技术学院 摘要本文给出将机器人操作机划分成传动系统、刚性化杆件和弹性杆件3种不同类型的子结 构，按相邻子结构间位移协调矩阵组装出操作机系统的弹性动力学方程进行KED仿真分析的新 方法·实例分析表明：该方法计算量小，考虑因素多，为操作机设计提供了一种有效的仿真分析 手段， 关键词机器人，机构，子结构法/弹性动力学仿真 中图分类号TP242.2,0326 A New Method of KED Analysis of Robotic Manipulator Liu Hongfei Ma Xiangfeng Zang Ce) 1)Department of Mechanical Engineering,USTB Beijing 100083,PRC 2)Tangshan Institute of Technology ABSTRACT A new method is presented to analyze a manipulator in KED,which is to di- vide the manipulator into three kinds of substructures-elastic links,rigidities and transmission systems-and to assemble the system equation with all substructures through the compatible matrixes.It is proved that the simulation based on this method has less computation and pro- vides more reliable data for disigning a manipulator or its control system. KEY WORDS robot,mechanisims,substructure methods/KED simulation 随着机器人的发展，机器人机构（又称操作机）的弹性动力学研究已越来越引起人们的 重视.迄今这一领域已发表的文章，大致可分为两类：(1)利用有限元理论，将各构件 简化成梁单元或板单元，忽略关节弹性的影响，或把关节处传动系统简化成一个关节刚度 计入整体刚度矩阵，从而建立操作机的弹性动力学方程山；(2)除传动系统以外的构件均 作为刚体，只建立各传动系统的弹性动力学方程). 本文在以上两种方法的基础上，考虑到机器人机构的自身特点，提出了一种新的机构 弹性动力学分析方法·把整个机构系统分成若干个不同类型的子结构、即弹性子结构、刚性 化子结构、传动系统子结构，分别建立各自的动力学方程，再利用机器人运动学理论建立相 邻子结构间的位移协调矩阵，从而将各子结构的方程组装成系统的动力学方程· 1993-02-27收稿 第一作者男27岁助教硕士

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 山超 机器人操作机弹性动力学分析新方法 刘鸿飞 ’ 马香峰 张 策 北 京科技大 学 机械 系 ， 北 京 侧洲粥 唐 山工 程 技术 学 院 摘要 本文 给 出将机器人操作机划分成传动系 统 、 刚性 化 杆 件 和 弹 性 杆 件 种 不 同类 型 的 子 结 构 ， 按相 邻子 结构 间位移 协调 矩 阵组装 出操作机系 统的弹性动力学方程进行 王 仿 真 分 析 的新 方法 实例分析表 明 该方法计算量小 考虑 因素多 为操作机设计提供 了 一 种有效的仿真分析 手段 关键词 机器 人 ， 机构 ， 子结构法 弹性 动力学仿真 中图分类号 开 ， 乙 级 砚’ 级角 ’ ， ， ， 心 理 五 ， 二 治 一 ， 力 刀 “ 巧 一 卫 粥 日旧 万 ， 蓝℃ 毗 ， 随着 机器人 的发展 ， 机器人机构 又称操 作机 的弹性 动力学研究 已 越 来 越 引起 人们 的 重 视 迄 今这一 领域 已 发 表 的 文 章 ， 大 致 可 分 为 两 类 利 用 有 限 元 理 论 ， 将 各 构 件 简化成梁 单元 或板单元 ， 忽 略关节 弹性 的 影 响 ， 或把 关 节 处传 动 系 统 简 化 成 一 个 关节 刚 度 计人整体刚度矩 阵 ， 从而建立操 作机 的 弹 性 动 力 学 方 程 ’ 〕 除 传 动 系 统 以 外 的 构 件 均 作 为 刚体 ， 只建立各传 动系 统 的弹性 动力学方程 本文在 以 上 两种 方法 的基 础上 ， 考 虑 到 机 器 人 机 构 的 自身特 点 ， 提 出 了 一 种 新 的机 构 弹性 动力学分 析方法 把整 个机构系 统分成若 干个不 同类型 的子结构 、 即弹性 子结构 、 刚性 化 子结构 、 传动系 统子结构 ， 分别建立各 自的动力学方程 ， 再利 用机器人 运 动学理论建立相 邻子 结 构 间 的位移协调 矩 阵 ， 从而将 各 子结 构 的方 程组 装成 系 统 的动力 学方 程 卯 一 一 收 稿 第一 作 者 男 岁 助教 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．03．016

Vol.16 No.3 刘鸿飞等：机器人操作机弹性动力学分析新方法 275· 1机器人机构系统弹性动力学方程的建立 以一个六自由度搬运机器人为例加以分析. 图1操作机结构示意图 AB一腕部（刚体）； BC,EG一上，下臂（弹性杆）： CDEF-肘部（刚体）： FH、HJ-拉杆.曲柄（弹性杆）； G以、JK-下、上臂传动系统； IGJKNML-腰部刚体)； MQ-腰部传动暴统； Fig.1 The scheme of a manipulator 图1为该机器人机构示意图，图中未画出的腕部3个自由度及其传动系统，将其固结为 一个整体，作为刚体处理. 整个机构系统分为9个子结构，即3个传动系统子结构；4个弹性杆子结构（下臂、曲 柄、拉杆、上臂)；两个刚性化子结构（手腕、肘部），分别建立各子结构的弹性动力学方程. 1.1传动系统弹性动力学方程的建立 以图1所示绕垂直轴转动关节的传动系统为例，其主要传动件是谐波减速器.它包括波 发生器，刚轮、柔轮及轴等，其中以柔轮刚度系数为最小，其余传动件的弹性变形与柔轮相 比可以忽略不计·将所有传动件的转动惯量分别折算到电机转子和腰部，以电机转子和腰部 的微小角变形δ、δ，作为广义坐标，根据振动理论可写出该子结构的动力学方程： [M]{}+D]{a,}+[K{4}={F}+} (1) 式中M为质整矩东，表示为-日小：

心 刘鸿 飞等 机器人操作机弹性 动力学分析新方法 机器人机构 系统弹性动力学方程的建立 以一 个六 自由度搬 运机器人 为例加 以分析 圈 操 作 机 结 构 示 愈 圈 凡日一腕部 刚体 、 上 、 下衡 弹性杆 一 肘都 刚体 厂万 、 月 一拉杯 曲柄 弹性杆 、 沈人一下 、 上，传动 系统 了 刀叼幼材乙一 腆都 刚体 材 一腰部传动 系统 比 面脚 图 为该机器人 机构示 意 图 图 中未 画 出的腕部 个 自由度及其传动系 统 ， 将其 固结 为 一个整体 ， 作为 刚体处理 整个机构系 统分 为 个子 结构 ， 即 个传动系 统子结 构 个 弹 性 杆 子 结 构 下 臂 、 曲 柄 、 拉杆 、 上臂 两个 刚性 化子结构 手 腕 、 肘 部 ， 分 别 建 立 各 子 结 构 的 弹 性 动力学方程 传动 系统弹性动 力学方程 的建 立 以 图 所示绕垂直 轴转 动关节 的传动系 统为例 ， 其 主要 传动件是 谐波减速 器 它 包 括 波 发生器 刚轮 、 柔 轮及 轴等 ， 其 中以 柔 轮 刚度系数为最小 ， 其余传动件 的弹性 变形 与柔 轮相 比可 以忽 略不计 将所有传 动件 的转 动惯量分别折算到 电机转子 和腰 部 以 电机转子 和腰部 的微小 角变形 占 、 占 作 为广义坐标 ， 根据振 动理论 可 写 出该子结构 的动力学方程 ， “ 【 ‘ ， 。 抓 ， ， 、 ， 。 一 一 一 一 、 ， ， ， ， ， 「 式 中 【 ，为质量 矩 阵 ， 表示 为 一 「言 又」

.276 北京科技大学学报 1994年No.3 dH/n2 -dH/n [D]为阻尼矩阵，表示为[D]= -dH/n dH"(其中dH为谐波传动的阻尼系数，n 为速比)方 KH/n:-KH/n [K]为刚度矩阵，表示为K】= -KH/n KH (其中KH为柔轮的刚度系数)； 因为广又坐标修重，表示为似一合} }为外力向盖，表示为一共中，为电机输出狂矩，F为该子维构箱出力矩) {}为刚体的惯性力向量，表示为：{f}=-[M]{}(《}={},}T,即电机转子 和腰部的刚体角加速度)；类似地可建立其余两个传动系统子结构的方程。 1.2刚性化子结构动力学方程的嚏立 以图1中CDEF表示的肘部为例，以其质心C,的位移作为广义坐标，根据刚体动力学 的知识得到其动力学方程： [M】{,}+[D,l{}+K,]{w}={F,}+{} (2) 式中：[M]为质量矩阵：[D】为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵；{F,}为外力向量；包括子结 构4、6、8对子结构7的作用力；{f}为惯性力向量；{4}为广义坐标. 1.3弹性杆子结构动力学方程的童立 关于弹性杆弹性动力学方程的建立，现已有比较成熟的方法，这里不再赞述·直接引用 文献[3]中的方程： [M】{a.}+[D.]{a]+[KJ{u}=[F]+{} (3) 1.4相邻子结构间的位移协调矩阵 有了各子结构的动力学方程，就可以建立整个系 统的弹性动力学方程，其关键是子结构间的位移协调 e 矩阵，现以刚性化子结构和弹性杆子结构间的位移协 调矩阵为例加以推导， 如图2所示，1为弹性杆，2为刚体，二者在A点 以转动副相连.刚体的质心为C,在建立各子结构方程 时，弹性杆1在A点处有6个广义坐标6，~66，刚体的 广义坐标是质心C的位移和转角δ，~δ2.将δ（绕z1 轴的转角)及6，~δ，设定为系统广义坐标，那么6，~δ 就可用δ，~62来表示.它们之间的关系用协调矩阵 图2刚体和弹性杆 [B]表示，即： Fig.2 Rigidity and elastic link {…6,}T=[B】{δ，δ2}T (4) 下面推导[B]:

北 京 科 技 大 学 学 报 更抖 年 」为阻尼矩 阵 ， 表示 为 【 』 为速 比 【凡』为刚度矩 阵 ， 表示 为 一 ， 其中 为谐波传动的阻尼 系数 ， 一五了了 九 六 了 其中尺衬为柔 轮 的 刚度系数 为广义坐标向 ， 表示 为 “ ， 九 勺 口 尸‘九、卜 ，、肠 ‘ 九 户口又， 孑 月︸甲八叼、产、了 占日口 二 。 ‘ ﹄ “ 、。 ，为夕卜力 向 ， 表示 为 。 一 丁 ’ 飞 〔其中 为电机输 出扭矩 ， 为该 、 构输出力矩 、 ” 一 一 ’ ‘ ’ 一 ’ 一 ” ’ 一 ’ 一 五 为刚体的惯性 力向 ， 表示 为 关 一 刁 训 斌一 次 ， 火 丁， 即 电机 转 子 和腰部 的刚体角加 速度 类似地可建立其余两个传动系统子结构的方程 刚性化子 结构动力学方程的建立 以 图 中 表示 的肘部为例 以其质心 的位移作 为广义 坐 标 ， 根 据 刚体动力 学 的知识得到其动力学方程 【 ，』左， 【 ，』应 ，』 卜 凡 关 式 中 【 』为质 矩 阵 【几」为阻尼矩 阵 【凡」为 刚度矩 阵 凡 为外 力 向量 包括 子 结 构 、 、 对子结构 的作用力 介 为惯性力 向量 场 为广义坐标 弹性杆子结构动力学方程的建立 关于 弹性杆 弹性 动力学方 程 的建 立 ， 现 已有 比较成熟 的方 法 ， 这 里不再赘述 直接 引 用 文 献 【 中的方程 【 】 幼 。 【 』应 。 』【 。』 。 【 」 相邻子结构间的位移协调矩阵 有 了各子结构 的动力学方程 ， 就 可 以建立整个系 统的弹性 动力学方程 ， 其关键是子结构间的位移协调 矩 阵 现 以 刚性 化子结构和 弹性杆子结构 间的位移协 调 矩 阵为例加 以推导 如 图 所示 ， 为弹性杆 ， 为刚体 ， 二者在 点 以转动副相 连 刚体的质心 为 在建立各子结构方程 时 ， 弹性杆 在 点处有 个广义坐标 占一 占 ， 刚体的 广义坐标是质心 的位移和转角 占 一 毛 将 绕 ，， 轴 的转角 及 占一 氏设定 为系统广义坐标 ， 那 么 占一 姚 就 可用 占 一 氏来表 示 它们之 间 的 关 系用 协调 矩 阵 【 表示 ， 即 王占…占。 占…占， 丁 下 面 推 导 【 圈 刚体和弹性杆 由

Vol.16 No.3 刘鸿飞等：机器人操作机弹性动力学分析新方法 277. 子结构2的坐标系0，-x:到子结构1的坐标系0，一x,,的变换矩阵为[T】,山机器 人运动学可得固定在质心上的坐标系c-x丛，到。，一xy的微分变换矩阵为： 0-òeònò， 0 4 (5) -811 810 0 89 L000 1 那么子结构2上：4点相对于0，一x》的微小位移（包括线位移和转角）是： -Jδ+fδn+6, xfdg-sfδ1o+òg ò}= -xδu+yδo+dy (6) 810 w d 式中xA、:是A点在质心坐标系中的坐标值 由(6)可得{δ}和广义坐标ò，~ǒg之间的关系表达式： 1000:f -y 10-90x d {δ}= 1y4-x0 d, 10 80 =[W]{w} 0 (7) 0 1 0 d 1 δe 式中[J]即雅可比矩阵；{4}={δ，δ12}T,A点相对于杆1坐标系0，-xy白的位移为 {δ4}=R]'{δ}=[R]J]{u} (8) 「[R】1 式中[R]是由[R】构成的6×6变换矩阵即：[R]'= R] 因此，两子结构间的位移协调矩阵为： [B]=[R]5x[J]6x6 1.5系统弹性动力学方程的建立 各子结构的广义坐标和系统广义坐标之间的关系： {4}=[B]{u}(i=1,2,…9) (9) 式中{u,}为第i子结构的广义坐标，{}为系统的广义坐标，[B,】为协调矩阵， 将(9)式代人各子结构方程并左乘[B,]”,然后把各个方程叠加起来，就得到了系统的弹 性动力学方程：

刘鸿 飞等 机器人操作机弹性 动力学分析新方法 子 结 构 的坐标 系 一 戈 到 一子结构 的坐 标 系 。 【 一 的 变 换 矩 阵 为 【月 ， 由机 器 人运 动学 可 得 固定在 质 心 上 的坐 标 系 。 一 少 。 。 到 。 一 凡 的微分 变换矩 阵为 ‘ 口又 一， 占 〕 么凡 口又划 一 ﹃︸口凡 一氏 厂 一 那 么 子 结构 上 」点 相 对于 口 一 夕 的微小位 移 包括线位 移 和转 角 是 鱿 一 知 ， 十 万西， 十 、 三占 一 万占，。 占 一 互石 、 ， 〕 ，盲石 ，。 占 占 式 中 互 、 此 ’ 、 乌是 点在 质心 坐 标 系 中的坐 标值 由 可得 占立 和 广义 坐 标 西 一 之 间的关系表达式 占孟 一 二 口以凡又又父 了 式 中 即雅 可 比矩 阵 二 御 二 粼 丁 点相 对于 杆 坐 标 系 一 的位移 为 占戈 ’ 占了 ’ 。 式 中 ’ 是 由 、 构成 的 变换矩 阵即 性 因此 ， 两子 结构 间的位 移协调 矩 阵为 刀 尺、 梦 、 。 。 、 系统弹性动 力学方程 的建立 各子 结构 的广义坐 标和 系 统广义 坐标 之 间的关系 “ ，卜 、 “ 式 中 ‘ 为第 子结 构 的广义 坐标 ， 。 为系 统 的广义 坐 标 ， 尽 为协调 矩 阵 将 式代人 各子结构方程 并左乘 【 」， 然后把各个 方程叠加起 来 ， 就 得 到 了 系 统 的 弹 性 动力 学方 程

.278 北京科技大学学报 1994年No.3 [M{}+[D]{a}+[K闪{u}={F}+{f} 式中 MBM]LB] DI-(B]'[D1I®1+2B1'[M][a1 K]-(]K+M]+]) (F)->[BJ"(F) }=217U,} 2实例分析 将图1所示6自由度搬运机器人操作机的各种运动学和动力学参数代入方程(10)，求 得方程的系数矩阵和力向量，进而求得系统的固有频率、准静态变形及动态响应等机器人的 动力学性能的仿真图象和评估数据· 图3表明了前7阶固有频率随末端位置的 变化情况·从图中可以看出，前5阶固有频率 相差不大，而第6阶以后就大得多.前5阶固 137 有频率恰好对应传动系统的5个自由度，可见， 传动系统的弹性变形在整个系统的变形中占主 导地位，是绝对不可忽略的， 图4是计算机绘出的该操作机传系统的5个 自由度和末端6个自由度的准静态变形(KES) 和响应曲线(KED),它们都是等加速一等速 一等减速条件下得出的（这里只取其中4个， 26F (a):腰部转角；b)下臂传动系统第一级转角； (c)末端x向位移；(d)末端y向位移). 19 观察图4可以发现，所有的响应均可分为 13 4个阶段.以腰部转角(4，)的响应为例（图4(a》, 12 从开始到：，为加速段，系统在惯性力即激振力 的作用下开始振动，振幅较大；【2到为减速 0 0 1.0 段，激振力又突然增大，系统振动加剧；，以 s 后为延时段，刚体运动结束后系统的振动还要 延续一段时间， 图3固有频率曲线 计算得到了传动系统5个自由度的响应曲 Fig.3 Natural frequency curve 线（图4a、b).如果不把传动系统具体结构考虑进去而只是以一个关节刚度代替，就得不到 这些响应曲线，也就无法研究传动系统的振动情况· 从上面的曲线还可以发现，动态响应曲线总是围绕着准静态变形曲线，在机器人实际工

北 京 科 技 大 学 学 报 突科 年 式 中 俩卜 反 叼 材 艺 刀‘ 材 ‘ 丑 ‘ 艺 刀 刀 ， 双 尽 丁 ， 刀‘ 月 艺 刀 ‘ 丁 长 尽 尽 阿 ‘ 尽 ‘ ‘ 双 实例分析 将 图 所示 自由度 搬运 机 器人操 作机 的各种运 动 学 和 动 力 学 参 数 代 人 方 程 ， 求 得方程 的系数矩 阵和 力 向量 ， 进而 求得 系 统 的固有 频率 、 准静态变形及 动态 响应等机器 人 的 动力学性 能 的仿真 图象和评估数据 图 表 明 了前 阶固有 频率 随末端位置 的 ， 刀 汽只曰戈 目二 欢工 变化情况 从 图中可 以看 出 ， 前 阶固有频率 相 差 不大 ， 而第 阶 以 后 就大得 多 前 阶固 有 频 率恰 好 对应传动 系 统 的 个 自由度 可 见 ， 传动系 统 的弹性 变形 在 整个 系 统 的变形 中 占主 导地位 ， 是 绝 对不 可 忽 略 的 图 是计算 机绘 出的该操 作 机传系 统 的 个 自由度 和 末端 个 自由度 的准静态 变形 五 和 响应 曲线 它们都是等加 速 一 等速 一 等减速条件下得 出的 这 里 只取 其 中 个 腰部转 角 下臂传 动系 统第一级 转角 末端 向位 移 末端 向位 移 观察 图 可 以 发 现 ， 所有 的 响应均 可分 为 个 阶段 以腰部 转 角 的响应 为例 图 》 ， 从开始到 ， 为加速段 ， 系 统在 惯性 力 即激振力 的作 用 下 开始振 动 ， 振 幅较大 到 为减 速 段 ， 激振 力又 突然增 大 ， 系统振 动加剧 以 后 为延 时段 ， 刚体运 动结束后 系 统 的振 动还要 延 续一 段 时 间 计算得 到 了传动系 统 个 自由度 的 响应 曲 图 固有频率 曲线 瑰 口 示冲” 卿 。 口， 线 图 、 如果不 把传 动系 统具体结 构考虑进去而 只是 以 一个 关节 刚 度 代 替 ， 就得 不到 这些 响应 曲线 ， 也 就 无法研究 传动 系 统 的振 动情况 从上 面 的 曲线还 可 以 发现 ， 动态 响应 曲线总是 围绕着 准静态 变形 曲线 在 机器人 实 际 工

Vol.16 No.3 刘鸿飞等：机器人操作机弹性动力学分析新方法 179. KED s E (b) 10000 t/s (d) 图4动态响应曲线 Fig.4 Dynamic response curve 作过程中，准静态变形可能引起轨迹误差，但通常可以通过示教方式加以消除，而弹性误差 则是由于系统的振动而产生的，受系统的结构、传动方式以及速度规划和控制规律等因素的 影响， 3结论 (1)本文提出的弹性动力学分析方法充分考虑了工业机器人的特点，建模方便、简单， 计算工作量小，非常实用· (2)该方法是以工业机器人为基础提出的，但它同样适用于其他机械的弹性动力学分析， (3)对实际机器人分析表明，如何提高机器人传动系统的刚度是提高机器人整体刚度 的一个重要问题， 参考文献 1 Sunada W,Dubowsky S.On the Dynamic Analysis and Behavior of Industrial Robotic Manipulator with Elastic Members.Trans of the ASME,1983,105:42~51 2 Potkonjak V.Contribution to the Dynamics and Control of Robots Having Elastic Transmissions. Robotica,1988,6:63~69 3刘鸿飞，机器人机构弹性动力学分析，[学位论文】.北京：北京科技大学，1991 4马香峰等.机器人机构学，北京：机城工业出版社，991,133~163

白 刘鸿 飞等 机器人操作机弹性 动力学分析新方法 寸习巴 入 八 ‘ 入 川卫 火︶叫空巴冲 、 」 圈 动态响应 曲线 触 而 作过程 中 ， 准静态变形 可 能引起 轨迹误差 ， 但通 常可 以通过示 教方式加 以 消除 ， 而 弹性 误差 则是 由于 系 统 的振 动 而产 生 的 ， 受 系 统 的结构 、 传动方 式 以 及 速度规划 和 控 制规律等 因素 的 影 响 结 论 本文提 出 的 弹 性 动 力 学 分 析方法 充分 考 虑 了 工 业 机 器 人 的 特 点 ， 建 模 方 便 、 简单 ， 计算工作量小 ， 非 常实用 该方法是 以工业机器人为基础提 出的 ， 但它 同样适用于 其他 机械 的弹性 动力 学分析 对实 际机 器人分 析表 明 ， 如何 提高机器 人 传动 系 统 的 刚 度 是 提 高 机 器 人 整 体 刚度 的一个重要 问题 参 考 文 献 ， 比姚 此 卿画 儿侧梦 段 伽 璐廿 画 豆以 巧 铭 ， ， 助 刀山 七 此 而“ 朋 山血 切 汀拐 ， ， 一 刘 鸿 飞 机器人机构弹性 动力学分析 【学位论文 北 京 北京科技大 学 卯 马香 峰等 机器 人机构学 北 京 机械工 业 出版社 ， 卯 ， 一