冷轧宽带钢横向内应力分布的实测与计算

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1994.s2.018 第16卷增刊 北京科技大学学报 Vol.16 1994年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing ow.1994 冷轧宽带钢横向内应力分布的实测与计算 张清东陈先霖王长松杨荃 北京科技大学机城工程学院，北京100083 摘要采用精确的小孔松弛法，实测了某1700m冷连轧机生产中取样带钢在离线状态下的 横向内应力分布·根据所得结论建立一种修正的有限纤维条原理内应力计算模型，其计算结果和 实测值较为吻合， 关键词冷轧带钢，应力分析/小孔松弛法，有限纤维条法，板形控制 中图分类号TG335.55.TG348.2 Measurement and Calculation of Transversal Internal Stress Distribution in the Off-line Cold Rolled Strip Zhang Qingdong Chen Xianlin Wang Changsong Yang Quan Mechanical Engineering College,USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT The transversal internal stress distribution in the off-line cold rolled strips sampled for a 1 700 mm cold tandem mill was measured by the modified hole-drilling technique.Based on the conclusions drawn from the experiment,an available method for calculation of the internal stress distribution was established,which can give fairly identical solution with the test.This numerical method for transversal internal stress calculation can be used in the on-line automatic flatness control. KEY WORDS cold rolled strip.stress analysis/a modified hole-drilling technique,finite seapler slip method,flatness control 在建立轧制时，带钢横向压下量分布和轧后带钢中横向内应力分布之间的数学关系，一 直是冷轧板形控制模型研究中一个悬而未决的难点·任何一个以带钢内应力为控制对象的板 形控制系统，都需要建立一个以此数学关系为基础的内应力生成模型.目前所使用的模型有 两种，一是数值解法，其求解时间太长，无法在线使用；另一种传统有限纤维条法，其方法 简单但结果偏大严重，往往大过屈服极限，无法和生产实际相统一·鉴于此，本文以小孔松 弛法对冷轧后带钢内应力进行实测研究，并试图据此结果对传统的有限纤维条原理内应力计 算方法做关键性的修改，建立一个新的模型· 1实验原理山，刘 1994-03-01收稿 第一作者男29岁博士

第 16 卷 增刊 1 9 9 4 年 1 1 月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ u m a l o f U n i v e rs i r y o f S e i e n ce a n d T eC h n o l o g y B e ij i n g V沈 1 6 N vo . 1 9 9 4 冷轧宽带钢横 向 内应力分布 的实测 与计算 张清东 陈先霖 王 长 松 杨 荃 北 京 科 技大学 机 械 L 程 学 院 , 北 京 1以洲粥 摘 要 采 用 精 确 的 小孔 松弛 法 , 实测 了 某 1 7的 ~ 冷 连轧 机生 产 中 取 样带 钢在 离线状态下 的 横 向内应力分布 . 根 据所 得结论建立一 种 修正 的有限 纤维条 原理 内应力计算模型 , 其计算结果和 实测值较 为吻合 . 关键词 冷轧带钢 , 应力分析 / 小孔松 弛法 , 有 限纤维条法 , 板形控制 中图分类号 T G 335 . 5 , I U 348 2 M e as u rL e l lr flt a dn C a l e ul a t i o n o f T r a ns ve rs a l I n t e r n a l S t r e s s D i s t r i b ut i o n i n t he O f 一 line C o ld R o llde S t r i P Z h a n g Qi n 州on g C h o iX a n li n W a n g C h a n g 及〕 n g aY n g uQ a n M ce ha 而司 E n g n e n n g 肋业g e , U Sm , 玫石哩 1以X) 83 , P R C AB S T R A C T hT e t ar ns v e rs a l i n te m a l s t res s d is itr b u t i o n i n t h e o f 一 lin e co ld or l de s itr P s s a m P lde of r a 1 7 0 m co ld at n d ern 111 1 1 aw s 1l l e a s u 代对 b y t h e om d访de h o le 一 d ir 刀in g t eC h n iq u e . B a s de o n th e co n d us i o ns d ar wn ofr m t h e xe Pe n n 犯 n t , a n a v a ila b l e n 记 t h o d fo r ca lcu l a ti o n o f th e i n t e rn a l s t esr s d is t ir b u t i o n wa s 巴at b ils h ed , hw ihc ca n g ive fa ilr y id e n t ica l s o l u t i o n iw th t h e 此t厂11 1 15 n u l l l e ir 以1 n l e t h o d fo r t ar ns v e sr a l i n et m a l st r 巴 5 ca l cu l a t i o n ca n be 1洲刃 in ht e o n 一 li n e a u t o l l l l t i e fl a t n es s co n t or l . K E Y W O R I万 co ld or lled s t ir P , s t esr s a n a l ys is / a mo d iif ed h o le 一 d ir l ing t eC h n i q ue , n n let ase P ler s l P n r t h o d , afl t n es s co n t or l 在 建立轧 制 时 , 带钢 横 向压下 量分 布和 轧后 带钢 中横 向 内应力 分布 之 间的数学 关系 , 一 直 是冷 轧板形 控制模 型研 究 中一个 悬而 未决 的难 点 . 任 何一 个 以带钢 内应力 为控制 对象 的板 形 控制 系统 , 都需 要建立 一 个 以此 数学 关系 为基 础的 内应力 生成模 型 . 目前所 使用 的模 型有 两 种 , 一是数 值解 法 , 其 求解 时 间太长 , 无 法在 线使 用 ; 另 一种传 统有 限纤 维条法 , 其 方法 简单但 结果偏 大严 重 , 往 往大 过屈服 极 限 , 无法 和 生产 实 际相统 一 . 鉴 于此 , 本文 以小 孔松 弛 法对 冷轧后 带钢 内应力 进行 实测 研究 , 并 试 图据此结 果 对传 统的有 限纤 维条原理 内应力计 算 方法做 关键 性 的修改 , 建立 一个 新 的模型 . 1 实验原 理 1, 2 1 l燮川一 0 3 一 01 收 稿 第一 作者 男 29 岁 博士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. s2. 018

·82· 北京科技大学学报 冷轧带钢离线状态下的内应力实测方法并不多，其中常见的是针对极薄带材的切割条 法，小孔松弛法是在大型焊接件、型钢构件的内应力测定中使用多年的有效方法，后被引 入板材内应力测定中，小孔松弛法也称钻孔 法，其原理是利用电阻应变片测得钻孔时孔周 围的应变释放，进而反算孔周围的原始应力状态， 实验试样是在轧制时任意停机剪下的，所 以可以同时得到带钢在各机架上的人口及出口 厚度分布， 采用小孔松弛法的主方向未知精确算法)， 应变片2 其应变片布置如图1.这种算法能考虑4种实 验因素：应变片位置，孔径大小，孔与孔之间 的影响和钻孔时的应力自动损失，因而结果较 精确.下面直接给出有关公式， 主方向未知，用中表示σ，与X轴夹角， 0G)表示c1与各应变片夹角，aG)表示各应变 片与X轴夹角，中=x(1)-0(1) 净主应力与释放应变关系： εG)·E-△o1 =ka,90-1+g因 (1) 图1第1小孔处应变片布量 其中： Fig.1 Strain gage arrangement of No.i hole k,G》=-1告片-（分0克os290) (2) 32 a(2=k,4,受-9G)/k,8,06) (3) 3=d,5=0+受，B=a1a 式中，d一孔直径；【一应变片距孔距；μ一泊桑比；R,一应变片长度；εG)一第j个应 变片的实测应变值，j=1,2,3表示第i个小孔处的3个应变片，钻孔时的应力自动损失： △a1=·01 4) (由人为估计，一般取0.03.已钻的前i-1个孔对第i个孔的影响应力： Aa.-茗a,E i-1 (5 △k)为实测值. 总主应力： ∫c1=o1+△a 02=Bo1 (⑤ 把以上公式逐个代人，最后得G,表达式： E·e) 01(=0k,(,0G)-(1+Bx(a)+ j=1,2,3 (⑦

· 82 · 北 京 科 技 大 学 学 报 冷轧带钢离 线状态下 的内应 力实 测 方 法 并 不 多 , 其 中常 见 的 是 针 对极 薄 带材 的切 割 条 法 . 小 孔松 弛法是 在大 型焊 接件 、 型 钢构件 的 内应 力 测定 中 使用 多 年 的有 效 方 法 , 后 被 引 人板材 内应 力侧 定 中 . 小 孔 松 弛 法 也 称钻 孔 法 , 其原理是 利 用电 阻应变 片侧 得钻 孔时孔 周 围的应变释放 , 进而反算孔周围的原始应力状态 . 实脸试样是 在轧制时任意停机剪下 的 , 所 以可 以同 时得 到带钢在 各机 架上 的人 口 及 出 口 厚度分 布 . 采用小孔 松弛法 的 主方 向未知 精确算法 12 1, 其应 变 片 布 t 如 图 1 . 这种 算法 能 考 虑 4 种 实 验 因素: 应变片位里 , 孔 径大小 , 孔 与孔之 间 的影 响和 钻孔 时的应 力 自动损 失 , 因而 结果较 精确 . 下 面直接 给出有 关公式 . 主方 向未 知 , 用 价 表 示 。 , 与 x 轴夹角 , e o ) 表示 。 1 与各应变片夹角 , : 6 ) 表 示 各应 变 片与 X 轴夹角 , 价= 以 l) 一 O ( 1) . 净主 应力 与释 放应变 关 系: 可 = 。 G) . E 一 面厂 k r (凡 , e o ) · 【l + 气(又)口」 ( l ) 映(3)2 其 中: 圈 1 第 i 小孔处应变片布工 瑰 . 1 5 加白 甲李 . m 叫笋侧对 过 N ` k : ( ` j , “ 。) 一 辛 、 一 (合: 一 镌奋丝 小 co 8 20 ) a j ( , ,一 k r “ J , 晋 一 “ o , , ` k r “ J , ” 。 , , * 一 d /: , : 一 :。卜 粤 , , 一 2 / · , 式中 , d 一 孔 直 径 ; r J一 应变片距 孔距 ; 拼 一 泊 桑 比; R L 一 应 变 片 长 度 ; 。 0) 一 第 j 个应 变片 的实侧 应变值 , j = l , 2 , 3 表 示第 i 个 小孔处的 3 个应 变 片 . 钻 孔时 的应力 自动 损失 : △。 ; = C · 。 , (4 ) 乙由人为估计 , 一 般取 0 .0 3 . 已 钻 的前 i 一 1 个孔 对第 i 个孔 的影 响应 力: 艺△。 : ( k ) = 艺△。 : ( k ) · E ( 5) 从少) 为 实测值 总主应力: 万 “ ! 一 笠子+ △“ t 仃2 = P a l (6 ) 把以上公 式逐个 代人 , 最后 得 。 : 表达 式 : 、 ., 产一了.` 、 口一= ( l 一 C) · k r (又j , OG) ) · + 刀 “ J ( 又) ) + C (7 )

张清东等：冷轧宽带钢横向内应力分布的实测与计算 ·83· 可见，对于第i个小孔，其3个应变片的εG)可使式(7)成为含有3个未知数a,(1),B的 3个方程组成的方程组.求得σ，0(1)，B后就可以求出第i个孔处x轴方向的内应力分量σ，()： i-1 o,(①)=o1(i)cos2p,+02(i)sim2p:+∑△a.(k) (⑧) 其中i=1,,n,表示沿板宽方向共钻了nk个小孔，可求得n个沿x方向的内应力值 2实验结果与结论 下面给出两个典型试样的实测结果： 试样1：轧前平均板厚H=2.00mm,轧后平均板厚h=1.47mm,板宽B=1025mm,实测轧 后带钢在靠操作侧有单边浪，波浪高R=12.0mm,波浪长L=600mm,波浪宽W=190mm, 其内应力实测结果见图2a中折线所示， 试样2：轧前平均板厚H=1.70mm,轧后平均板厚h=1.39mm,板宽B=1250mm,实测 轧后带钢有中浪，波浪高R=17.0mm,波浪长L=1280mm,波浪宽W=900mm,其内应力 实测结果如图2b中折线所示， 分析实测结果可得： ①翘曲浪形（中浪、边浪等）和带钢中内应力分布形式确有对应关系，有翘曲处呈压 应力状态，平直处呈拉应力状态， ②即使发生翘曲变形后，带钢中的内应力依然比较小，绝对值不超过100MP,据此可 以证明一个假说：在轧制区中带钢沿横向的不均匀压缩△(y).并不完全转化为出口带钢沿 横向的不均匀延伸△ε(y),以及在带钢屈曲及后屈曲变形过程中有内应力损失，此两者造成 同一个结果，使内应力分布趋向均匀·有了这一点结论，就可以解释为什么传统有限纤维条 法计算出的内应力结果偏大严重.本文引入一个系数T。来考虑它们的共同影响， 60 606) 40 30 20 40 20 40 -70 -0.5 -0.3-0.100.1 0.3 -0.6-0.4-0.200.20.40.6 B/m B/m 图2内应力实测及计算结果 Fig 2 Experimental and caloulated intemal stress distribution 3内应力计算理论模型 根据有限纤维条内应力生成理论，内应力是由于各纤维条在整体边界制约下不能自由延 伸而造成的，把带钢沿横向分为N个纤维条，如图3，对于第i纤维条，其自由延伸长度为：

张清东等: 冷轧宽带 钢横 向内应力分布 的实侧 与计算 可 见 , 对于第 i 个小孔 , 其 3 个应变片 的 。 O) 可使式 ( 7) 成 为含 有 3个 未 知 数a : , 0( 1工吞的 3 个方 程组成 的 方程组 . 求得 a . , 0( l) , 刀后 就可 以求出第 i 个孔处 x 轴方 . 向的内应力分量 6 : (:i) 。 : ( i) = a : ( i ) co s ’ 中; + 。 2 ( i ) s in ’ 中。 + Z △。 : ( k ) (8 ) 其 中 i = 1 , … , n , , 表示沿 板 宽方 向共钻 了 n k 个 小孔 , 可 求得 n , 个沿 x 方 向的内应力 值 . 2 实验结 果与结 论 下面 给出 两个典型试样的 实侧结果 : 试样 :l 轧前平均板厚 H = .2 o m l n , 轧后平均板厚 h = 1 . 4 7 1劝or , 板宽 B = 1 O25 n 刀力 , 实测轧 后 带钢 在 靠操 作 侧有单边浪 , 波浪 高 R = 12 .o m m , 波浪 长 L = 6以) n 刀刀 , 波浪 宽 W = 1卯~ , 其 内应力实侧 结 果见 图 a2 中折 线所 示 . 试样 :2 轧前平均板 厚 H 二 l . 70 m m , 轧后平均板厚 h = 1 . 39 m m , 板宽 B = 1 2 50 m m , 实侧 轧 后带钢有 中浪 , 波 浪高 R = 17 .O In m , 波浪长 L = 1 2 80 n 卫n , 波浪宽 W = 引X) n 皿n , 其 内应力 实测结果如 图 Zb 中折线所 示 . 分析 实测结果 可 得 : ① 翘 曲浪 形 (中浪 、 边浪 等) 和带钢 中内应 力 分 布 形 式确 有 对应 关 系 , 有 翘 曲处呈 压 应 力状态 , 平直 处呈 拉应力 状态 . ② 即使发生 翘 曲变形 后 , 带 钢 中的 内应力依 然 比较 小 , 绝 对值不 超 过 l o M aP . 据此 可 以 证明一 个假说: 在 轧制 区 中带钢沿 横向的不均 匀 压 缩曲 ( y ) . 并 不 完 全 转化为 出 口 带钢 沿 横 向的不均 匀延 伸 △。 ( y) , 以 及在 带钢 屈 曲及 后屈 曲变 形过 程 中有 内应 力损失 , 此 两者造 成 同一 个结果 , 使 内应力分布 趋 向均匀 . 有 了这一 点结 论 , 就可 以解释 为什么传统有 限纤 维条 法 计算出的内应 力结 果偏大 严重 . 本 文引人 一个 系数 T 。 来考虑 它们的共同影 响 . 山芝. ù 叉 七 芝 a( ) / 丫爪 l 一 0 . 5 一 0 . 砂 3 一 0 . 1 0 0 . 1 0 . 3 0 . 5 甄 一 公 叮 戈 夕 V B / m B / m 圈 2 内应力实侧及计算结果 瑰J 公脚南. 幽1 . 川 口b 自扭d 如匕.I 】目肥. 二血七心团 3 内应 力计算理论模型 根据 有限纤 维条 内应力 生成 理论 , 内应 力是 由于 各纤 维条 在整 体边 界制 约下 不能 自由延 伸而 造成 的 . 把 带钢 沿横 向分为 N 个纤 维条 , 如 图 3 , 对于 第 i 纤 维条 , 其自由延伸长度为:

·84· 北京科技大学学报 L,(i)=L。·H(i)/h(i) (9) B() 其中H).h)分别为第i条的轧前轧后厚度、 L。为任取的原始平直来料长度，其大小不影 响计算结果， 但是由于各个纤维条变形后要形成统一的 直线边界(L,L),使第i条的真实延伸长度 为L,(),那么它将被迫多延伸L(①)-L,(),山 此造成第i条的拉伸内应力： 0,(①)=E·L)-L,(①) L1(i) (10) y(i) L,①=00L。-LW+L y)-y(1) i=1,,N (11) LLB由整体平衡条件求得： Eo(i) ∑0，(i)·S,(i)=0 (12) 立a.0s.·y=0 (13) 图3有限纤维条模型 其中S,()为第i条的横截面面积. Fig.3 Finite seapler slip method model 但根据前述的实验结论，实际上第i条的自由延伸长度是L(),这样式(10)变为： o,(i)=E[L,(i)-L(i)]/L'(i) (14) L()的确定就需考虑修正系数T。: 第i纤维条的理想自由延伸率： e(i)=H(i)/h(i) (15) 第i纤维条的实际自由延伸率： =T0+1宫0 (16) 第i纤维条的实际自由延伸长度： L(i)=e,(i)·Lo(i) (17) 这样由式(11)到式(17)构成了新的修正有限纤维条内应力模型.其算法过程如下： ①根据已知的H(i)、h(i)计算eo(i),i=1,…,N; ②计算e(i)及L(i),i=1,,: ③将式(11)代人式(15)； ④由式(12)、(13)、(14)联列求解o.(i)La和Lg ⑤结束· 将以上算法过程编程在微机上运行.为了减少实测值H(i)和h(i)中的随机误差、对其进 行了平滑

· 84 · 北 京 科 技 大 学 学 报 L I ( i) = L 。 · H ( i ) / h ( i ) (9 ) 其 中 H ( i ) 、 h (i) 分 别 为第 i 条 的轧 前 轧 后 厚 度 , L 。 为 任 取 的 原 始 平 直 来 料 长 度 , 其 大 小 不 影 响计算结 果 . 但是 由于 各个 纤 维条变 形后 要形 成统一 的 直 线边界 ( L A , L s) , 使第 i 条 的真实 延伸长 度 为 L Z ( i ) , 那 么 它将 被 迫 多 延 伸 L Z ( i) 一 L ; (i ) , 山 此造 成第 i 条 的拉 伸 内应力 : 歹 。 、 ( i) = E · L Z (i) 一 L : ( i ) ( 10 ) y ( i ) L Z ( i ) = y (i ) 一 y ( l ) y (坤 一 y ( l ) L , ( i ) 伍 , ’ B 一 L刁+ L A, 署县会 二 , N ( 1 1 ) L ^ , BL 由整体 平衡 条件 求得 : 工久 ( i) · s 、 ( i ) = o 1 1 } . 、 “ _ 夔止 夕今 · 、 ” 工 。 、 ( i) · s 、 ( i ) · y ( i ) = 其 中 S : ( i) 为第 i 条 的横截 面面积 . ( 12 ) 0 ( 13 ) 、 不之二二忿 、 、 ~ - 一 ’ 图 3 有 限 纤维条 模型 f l抽扭 粉口已 当p n州血闭 . 洲帕 卜卿 6)5) 了.、口、 、 、 但根 据前 述 的实验结 论 , 实 际上第 i 条 的 自由延伸 长度是 ’L, i() , 这 样式 ( 10) 久 ( i ) = E 【L Z ( i ) 一 L ;( i )』/ L 犷( i ) ’L, i() 的确定 就需 考虑修正 系数 T 。 . 第 i纤维 条 的理 想 自由延 伸率: ￡。 ( i ) = H ( i ) / h ( i ) 第 i 纤维 条 的实 际 自由延 伸率 : 变为 : ( 14 ) 。 : ( i ) = T 。。。 ( i ) + l 一 T o N 艺 。。 (i ) 第 i 纤维 条 的实际 自由延 伸长 度 : L {( i ) = “ ! ( i ) · L 。 ( i ) ( 17) 这样 由式 ( 1 1) 到 式 ( 17 ) 构成 了新 的修正有 限纤 维条 内应力模 型 . 其算 法过 程如 下 : ① 根 据 已 知 的 H ( i ) 、 h ( i )计 算 。。 ( i ) , i = l , … , N ; ② 计算 。 1 ( i ) 及 L {( i ) , i = l , … , N : ③ 将 式 ( 1 1) 代 人式 ( 15 ) : ④ 由式 ( 12 ) 、 ( 1 3 ) 、 ( 14 ) 联列 求解 a 、 ( i ) 、 L A 和 L s ; ⑤ 结束 . 将 以 上算 法过 程编 程在 微机 上运 行 . 为 了减 少实测值 H ( i) 和 h( i) 中的随机误 差 , 对其进 行 了平滑

张清东等：冷轧宽带钢横向内应力分布的实测与计算 ·85· 4理论模型的实验考核 首先对曾实测了内应力的两个试样，再计算其内应力，图2中两条光滑曲线所示就是 取T。=01时的计算结果，两者的分布规律十分吻合，此外还进行了大量的实测试样考核， 都给出了和实测板形状况一致的结果， 5结语 (1)采用小孔松弛法测量了冷轧带钢离线状态下的内应力分布值· (2)在实验基础上建立了新的内应力计算模型，模型简单，精度高，完全可以用于在 线闭环板形控制· 参考文献 1张清东.冷轧带钢在线板形的变形分析：[硕士论文」北京科技大学，1989 2 Nawwar A M,et al.The Measurement of Residual Stress Distribution Due to Edge Dimpling.Experimental Mechanics,1984,9:252~256 (上接80页) 标上干扰激起的系统对应阶振动振型，特征向量则不一定描述系统对应阶振型·但反过来， 系统对应阶振型总与对应阶某个特征向量线性相关· 参考文献 1 Rayleigh L.Theory of Sound.New York:Dover Publications,1945 2 Caughey T K.Classical normal modes in damped linear dynamic systems.J Appl Mech.1960.27 3郑兆昌·多自由度复模态理论的摄动方法（一）一级摄动·见：信号处理在振动工程中应用学术会 议论文，南京，1983 4 Foss K A.Coordinates which uncouple the equation of damped linear dynamic systems.J Appl Mech,1958.25 5张阿舟，朱德懋，阻尼系统的振动分析，见：信号处理在振动工程中应用学术会议论文.南京，1983 6房殿军.复模态理论及其在轧钢机扭振中的应用：【硕士论文」，北京科技大学，1985 7 Fanzy I,Bishop R E D.On the dynamics of linear non-conservation system.In:Proc Roy Soc.Ser A,1976.352 8胡海昌·多自由度线性阻尼系统的振动问题.固体力学学报，1980(1) 9方同.多自由度线性阻尼系统的模态分析法.固体力学学报、1981(3) 10高尔腊伊AR,瓦特桑GA著，唐焕文译，矩阵特征问题的计算方法.上海：上海科学技术出 版社，1980 11韩二中.复模态现象的实质.见：信号处理在工程中应用学术会议论文·南京，1983 12黄汉舟.机械振动分析方法与轧钢机扭振的研究：[硕士论文】.北京科技大学，1986

张 清东等 : 冷轧宽带钢横 向 内应力分 布的 实 测 与计算 · 85 · 4 理论模型 的实验考核 首先 对曾实测 了 内应力 的两 个 试 样 , 再计 算 其 内 应 力 . 图 2 中两 条 光 滑 曲 线所 示 就 是 取 0T 二 0 . 1 时的计算 结果 . 两者 的分 布规律 十分 吻 合 . 此 外 还 进 行 了大 量 的实 测 试 样 考 核 , 都给 出了 和实测板 形状 况一致 的结 果 . 5 结语 ( l) 采 用小孔 松弛法 测量 了冷 轧带 钢离 线状态 下 的 内应 力分布 值 . ( 2) 在 实验基 础上建 立 了新 的 内应 力计算 模型 , 模 型简单 , 精 度高 , 完 全可 以 用 于 在 线闭环板形 控制 . 参 考 文 献 1 张清东 . 冷轧带钢在线板形的变形 分析: 【硕士论文 ] . 北 京科 技大 学 , 1989 Z Na 叭用转u . A M , et al . 刀犯 M 邸 切民n 笼泊 t of R es id 回 S t l亡弱 D is tir biut on D ue ot dE ge D i I 11 P 1in g . xE pe nm en alt M ec 抽画汤 , 19斜 , :9 25 2 一 256 4 卜4 卜今卜今卜今卜今卜喇卜喇卜 令卜叫 洲冲洲 扣屹冷峨砖加 嘱 补令卜 侧械加叫共 知 州和卜 “ 扣卜 .拭 卜吠玲 《 卜 .械 卜 令补 .械 》 吠玲 侧 材 , 侧 羚 今卜碱 羚 .树 . ( 上接 80 页 ) 标 上 干扰激起 的系 统对应 阶振动 振型 , 特征 向量 则不一 定描 述 系统 对 应 阶 振 型 . 但 反 过 来 , 系 统对应阶振 型总 与对应 阶某个 特征 向量线 性相 关 . 参 考 文 献 1 R a y k 吵 L 厂11长幻 yr of so un d . N e w yo :kr 】) 〕二 r uP b il ca iot ns , 194 5 2 aC l l g l r y T K . (油阴 i G al on l l l砚 1 111 刃。 in da m 户幻 lj l l 习 f d” 祖 n 刀 c s姿 t e n ` . J AP P I M ce h , 19 6〕 , 27 3 郑 兆 昌 . 多 自由度复模态理论的摄动方法 (一 ) 一 级摄 动 . 见 : 信 号处 理在 振 动 工 程 中应用 学术 会 议论文 . 南京 , 1983 4 F 。 洛 K -A 。 0 川丘以 比 w hj ch ~ 叩le hte 叫au iot n of da 团详劝 h n 已灯 d卵a n 刃 c s ” 掀比巧 . J AP IP M ce h , 1958 , 25 5 张阿舟 , 朱德悬 . 阻尼 系统的振动分析 . 见 : 信号处理在振 动工 程 中应用 学术 会议论文 . 南 京 , 1983 6 房殿军 . 复模态理论及 其在轧钢机扭振中的 应用 : !硕 士论 文 ] . 北京科技大学 , 1985 7 F 朗卿 I , B `比p R E n . On 此 dyr 印刊。 o f li n 巴ir no n 一 co nsemr iot n s ” emt . hi : p or c R o y s oc , eS r A, 197 6 . 352 8 胡海昌 . 多 自由度线性阻尼 系统的振动问题 . 固体 力学学报 , 19 80 ( l) 9 方 同 . 多 自由度线性阻 尼 系统的模态分析法 . 固体力学学报 , 1981 ( 3) ro 高尔腊伊 A R , 瓦特 桑 G A 著 , 唐焕文译 . 矩 阵特 征问题 的计算方 法 . 上 海 : 上 海 科 学 技 术 出 版社 , 19 8() 1 韩二 中 . 复模态现象的实质 . 见: 信号 处理 在工程 中应 用学术 会议论文 . 南京 , 1983 12 黄汉 舟 . 机械振动分析方法 与 轧钢机扭振的研究 : 【硕士 论文 ] . 北京科技大学 , 1986