上海交通大学：《工程力学实验》课程教学资源（实验讲义）4.5.1 陀螺仪

4.5动力学综合演示 一，实验目的 演示实验是把工程中较复杂的力学现象，用简单的力学模型显示出来。通过简单的理 论分析，使同学理解力学的基本原理在工程中的应用。进一步激发同学学习力学的兴趣， 应用力学基本概念去认识和探索未知的力学世界。 二.仪器、设备及装置 陀螺仪，高速自转陀螺的规则进动，惯性主轴，相对运动中的哥氏惯性力，动力消振器， 弦振动的振型。 三.实验报告 1.完成各演示实验思考题 2.谈谈对演示实验的收获和体会 54

54 4.5 动力学综合演示 一．实验目的 演示实验是把工程中较复杂的力学现象，用简单的力学模型显示出来。通过简单的理 论分析，使同学理解力学的基本原理在工程中的应用。进一步激发同学学习力学的兴趣， 应用力学基本概念去认识和探索未知的力学世界。 二．仪器、设备及装置 陀螺仪，高速自转陀螺的规则进动，惯性主轴，相对运动中的哥氏惯性力，动力消振器， 弦振动的振型。 三．实验报告 1．完成各演示实验思考题 2．谈谈对演示实验的收获和体会

4.5.1 陀螺仪 一.自由陀螺的定轴性 工程上将具有一个固定点，并绕自身对称轴高速转动的刚 体称为陀螺，无外力矩作用的陀螺称为自由陀螺。 1.实验现象 当任意改变陀螺仪固定圆环的方向时，自由陀螺保持自身 对称轴在惯性参考系中的方位不变。 2.原理分析 图4.5.1-1所示系统重心与固定点重合，轴承磨擦和空气阻 力忽略不计，所以陀螺所受外力主矩M©)=0，为自由陀螺。 图4.5.1-1 根据动量矩定理 =8=0,i。=J0,=恒矢量 d 因高速自转陀螺动量矩矢工方向与自转轴oz'重合，所以工，方向不变，也就是对称轴方位 保持不变。 3.应用实例 陀螺的定轴性可用于惯性导航等。若将自由陀螺仪装在航海、航空或航天器等载体上， 并让其自转轴指向某个恒星，则当载体的姿态产生变化时，陀螺装置系统即可对其进行测量 和控制。 二.高速自转陀螺的进动 陀螺绕自身对称轴的转动称为自转。对称轴绕空间固定轴的转动称为进动。 1.实验现象 陀螺受力矩作用，当力矩矢与对称轴不重合时，对称轴将进动。对称轴的进动不是发生 在力矩作用面，而是发生在与力矩作用面相垂直的平面内。 现象1 图4.5.1-2所示系统，对称轴oz'水平，内环与中环所在平面 正交，转轮逆时针急转时，力F作用于内环a轴端部，α端不向 下倾却引起α轴与中环以逆时针方向绕oz轴作进动。 分析1 设o,为陀螺自转角速，o。为进动角速度，则陀螺的绝对角 速度 图4.5.1-2 55

55 4.5.1 陀螺仪 一．自由陀螺的定轴性 工程上将具有一个固定点，并绕自身对称轴高速转动的刚 体称为陀螺，无外力矩作用的陀螺称为自由陀螺。 1．实验现象 当任意改变陀螺仪固定圆环的方向时，自由陀螺保持自身 对称轴在惯性参考系中的方位不变。 2．原理分析 图 4.5.1-1 所示系统重心与固定点重合，轴承磨擦和空气阻 力忽略不计，所以陀螺所受外力主矩 e M o   0，为自由陀螺。 根据动量矩定理 e O o M dt dL     0， Lo  J z r    恒矢量 因高速自转陀螺动量矩矢 Lo  方向与自转轴oz 重合，所以 Lo  方向不变，也就是对称轴方位 保持不变。 3．应用实例 陀螺的定轴性可用于惯性导航等。若将自由陀螺仪装在航海、航空或航天器等载体上， 并让其自转轴指向某个恒星，则当载体的姿态产生变化时，陀螺装置系统即可对其进行测量 和控制。 二．高速自转陀螺的进动 陀螺绕自身对称轴的转动称为自转。对称轴绕空间固定轴的转动称为进动。 1．实验现象 陀螺受力矩作用，当力矩矢与对称轴不重合时，对称轴将进动。对称轴的进动不是发生 在力矩作用面，而是发生在与力矩作用面相垂直的平面内。 现象 1 图 4.5.1-2 所示系统，对称轴oz 水平，内环与中环所在平面 正交，转轮逆时针急转时，力 F  作用于内环a 轴端部，a 端不向 下倾却引起a 轴与中环以逆时针方向绕oz 轴作进动。 分析 1 设r  为陀螺自转角速，e  为进动角速度，则陀螺的绝对角 速度 z  r  Lo  z o 图 4.5.1-1 z b b a a u  e  F  r  Lo  r  z o 图 4.5.1-2 ( ) e Mo 

可。=而。+0， 0,>0e ∴0n≈0n 陀螺对定点0的动量矩矢 。≈J0,且与02轴重合。 又设系统外力主矩为M,,将工，视为对称轴o2'上a点的矢径，则该矢径端点速度 i=d机=（图451-2中M9=F×F) 又i=可。×L。=而。×J,而， a。xJ,o,=e) 由该式可确定⊙。是逆时针转动，其大小 0。= J0, 若力F作用方向改变180°，类似地可分析出0。为顺时针转向。 现象2 若力F作用于中环，如图4.5.1-3所示，则转轮连内环一起 将绕bb'轴翻转(a'端向下) 分析2 ,@=F×F 由o。×J,o,=M0 图4.5.1-3 可判断⊙。指向。若力F指向改变180°，则可。指向也改变 180°。 2.工程实例 海轮在航行时，受到海浪拍打，船体绕铅垂轴摆动，使装在船上的汽轮机高速转子对称 轴绕同一轴发生强迫进动。根据陀螺对称轴进动与所受力矩的关系可知，轴承对转子对称轴 的力矩作用面必在竖直面内。同时轴承也会在同一平面内受到转子对称轴的反作用力矩。这 56

56 a  e    r  r  e  a  r     陀螺对定点o 的动量矩矢 o z r L J      且与oz 轴重合。 又设系统外力主矩为 e M o  ，将 Lo  视为对称轴oz 上 a 点的矢径，则该矢径端点速度 e Mo dt dL u      0 （图 4.5.1-2 中 e M o  r F     ） 又 e o e z r u  L  J             e   e z r M o J     由该式可确定e 是逆时针转动，其大小 e o e z r M J    若力 F  作用方向改变  180 ，类似地可分析出e 为顺时针转向。 现象 2 若力 F  作用于中环，如图 4.5.1-3 所示，则转轮连内环一起 将绕bb 轴翻转（a端向下） 分析 2   M r F e o      由 e e z r M o J        可判断e 指向。若力 F  指向改变  180 ，则e  指向也改变  180 。 2．工程实例 海轮在航行时，受到海浪拍打，船体绕铅垂轴摆动，使装在船上的汽轮机高速转子对称 轴绕同一轴发生强迫进动。根据陀螺对称轴进动与所受力矩的关系可知，轴承对转子对称轴 的力矩作用面必在竖直面内。同时轴承也会在同一平面内受到转子对称轴的反作用力矩。这 图 4.5.1-3 r  b z b a a e  e Mo  F  r  z o

一力矩称为陀螺力矩。船体在陀螺力矩作用下会绕水平横轴作俯仰摇摆。对称轴被迫进动时 产生陀螺力矩的现象则称为陀螺效应。 三.思考题 1.什么是自由陀螺？为什么自由陀螺具有定轴性？ 2.试举出自由陀螺定轴性在工程实际中的一个应用实例。 3.陀螺进动与外力矩是什么关系？进动方向如何确定？ 4.单螺旋桨或喷气涡轮发动机飞机，其转子高速右旋转动，当飞机作机动飞行，例如 左转弯，将会产生什么现象？ 57

57 一力矩称为陀螺力矩。船体在陀螺力矩作用下会绕水平横轴作俯仰摇摆。对称轴被迫进动时 产生陀螺力矩的现象则称为陀螺效应。 三．思考题 1．什么是自由陀螺？为什么自由陀螺具有定轴性？ 2．试举出自由陀螺定轴性在工程实际中的一个应用实例。 3．陀螺进动与外力矩是什么关系？进动方向如何确定？ 4．单螺旋桨或喷气涡轮发动机飞机，其转子高速右旋转动，当飞机作机动飞行，例如 左转弯，将会产生什么现象？