上海交通大学：《工程力学实验》课程教学资源（实验讲义）4.5.2 高速自转陀螺的规则进动

4.5.2高速自转陀螺的规则进动 陀螺绕自身对称轴0z'的转动称为自转，该对称轴又称为自转轴。自转轴绕空间固定轴 0z的转动称为进动，该固定轴又称为进动轴。自转角速度（而，）大小不变，进动角速度（而。） 大小、方向都不变，且进动轴与自转轴间夹角保持不变的定点运动称为规则进动。 一.实验现象 图示杠杆陀螺仪，当陀螺仪对称轴不旋转时若杠杆陀螺仪在水平位置静力不平衡，即力 矩∑m,(G,)≠0，则杆AB会在竖直面内绕o点按力矩∑m(G,)转向倾斜倒下。若使陀 螺仪对称轴在水平位置发生高速自转，则杆AB在力矩∑m,(G,)作用下不会在竖直面内倾 斜，而是在水平面内绕0z轴作规则进动，进动方向为自转角速度矢可，以最短途径偏向外力 主矩矢，)的方向。若再加一水平力于杆AB上，企图使它加速进动，结果杆AB却绕0点 沿B端向上方向偏转。 e 二.原理分析 图示转子系统，设0为陀螺自转角速度， 可。为进动角速度，则陀螺的绝对角速度 图4.5.2-1陀螺转子系统 0a=0。+⊙， 0,>0e ∴0。≈0， 陀螺对定点o的动量矩矢工。≈J,而，且与0'轴重合。 又设系统外力主矩为M,,将，视为对称轴o2'上某点的矢径，则该矢径端点速度 i-dL=9（M0=2m,G)=2×G9) dt 当G22>G5时，M.的指向如图所示。 又 i=o。×i。=可。×J0, a。xJo,=@ (4.5.2-1) 58

58 4.5.2 高速自转陀螺的规则进动 陀螺绕自身对称轴oz 的转动称为自转，该对称轴又称为自转轴。自转轴绕空间固定轴 oz 的转动称为进动，该固定轴又称为进动轴。自转角速度（r  ）大小不变，进动角速度（e  ） 大小、方向都不变，且进动轴与自转轴间夹角保持不变的定点运动称为规则进动。 一．实验现象 图示杠杆陀螺仪，当陀螺仪对称轴不旋转时若杠杆陀螺仪在水平位置静力不平衡，即力 矩mo (Gi )  0  ，则杆 AB 会在竖直面内绕o 点按力矩 ( ) mo Gi  转向倾斜倒下。若使陀 螺仪对称轴在水平位置发生高速自转，则杆 AB 在力矩 ( ) mo Gi  作用下不会在竖直面内倾 斜，而是在水平面内绕oz 轴作规则进动，进动方向为自转角速度矢r  以最短途径偏向外力 主矩矢 e Mo  的方向。若再加一水平力于杆 AB 上，企图使它加速进动，结果杆 AB 却绕o 点 沿 B 端向上方向偏转。 二．原理分析 图示转子系统，设r  为陀螺自转角速度， e  为进动角速度,则陀螺的绝对角速度 a  e    r  r  e  a  r     陀螺对定点o 的动量矩矢 o z r L J      且与oz 轴重合。 又设系统外力主矩为 e M o  ，将 Lo  视为对称轴oz 上某点的矢径，则该矢径端点速度 e Mo dt dL u      0 （   e o o i i e M m G r G        ( )    ） 当 2 2 1 1 G r  G r 时， e M o  的指向如图所示。 又 e o e z r u  L  J              e e z r M o J        （4.5.2-1） G1  e Mo  Lo  r e   u  G2  B A z o z 1 r 2 r 图 4.5.2-1 陀螺转子系统

当⊙，大小不变时，刚体作规则进动，进动角速度： M Q.=J:Or (4.5.2-2) 转向：由(4.5.2-1)式按矢量叉乘法则确定。 当沿自转轴进动方向再加一水平力于杆AB时，杆AB沿B端向上的方向偏转，可作 类似分析，不再赘述。由以上两种现象可知，高速自转陀螺的进动发生在与力矩作用面相垂 直的平面内。 三.思考题 1.什么情况下陀螺会发生进动？进动方向与进动角速度大小如何确定？ 2.什么是规则进动？ 59

59 当r  大小不变时，刚体作规则进动，进动角速度：   z r e o e J M     （4.5.2-2） 转向：由（4.5.2-1）式按矢量叉乘法则确定。 当沿自转轴进动方向再加一水平力于杆 AB 时，杆 AB 沿 B 端向上的方向偏转，可作 类似分析，不再赘述。由以上两种现象可知，高速自转陀螺的进动发生在与力矩作用面相垂 直的平面内。 三．思考题 1．什么情况下陀螺会发生进动？进动方向与进动角速度大小如何确定？ 2．什么是规则进动？