上海交通大学：《工程力学实验》课程教学资源（实验讲义）4.1 单自由度系统自由振动

第四章理论力学实验 4.1单自由度系统自由振动 一.实验目的 1.理解与掌握单自由度系统自由衰减振动的基本知识 2.记录单自由度系统的自由衰减振动曲线，通过动态分析仪测量系统的固有频率⊙。、 相对阻尼系数二、等效质量m和等效刚度k等振动参数 3.初步了解振动测试的仪器设备和工程实验建模方法 二.仪器、设备及装置 简支梁系统（如图4.1-1所示），动态电阻应变仪(YD-15),动态分析仪(DASP),砝 码，百分表，橡皮锤。 YD-15 DASP 0 图4.1-1 三，实验原理与方法 1.理论知识 在工程实际中经常使用简化的方法，把复杂结构 m 简化成简单力学模型，从而解决实际问题。把简支梁 可以看成一个单自由度系统，有质量、弹簧和阻尼器 组成，相应的参数为质量m、刚度k和阻尼C,如图 4.1-2所示。 图4.1-2 以静平衡位置为原点建立坐标，由牛顿定律得到 系统的运动微分方程： m+x=0 (4.1-1) a,2=k,26=9 (4.1-2) m 3

34 第四章 理论力学实验 4.1 单自由度系统自由振动 一．实验目的 1．理解与掌握单自由度系统自由衰减振动的基本知识 2．记录单自由度系统的自由衰减振动曲线，通过动态分析仪测量系统的固有频率0 、 相对阻尼系数 、等效质量m 和等效刚度k 等振动参数 3．初步了解振动测试的仪器设备和工程实验建模方法 二．仪器、设备及装置 简支梁系统（如图 4.1-1 所示），动态电阻应变仪（YD-15），动态分析仪（DASP），砝 码，百分表，橡皮锤。 图 4.1-1 三．实验原理与方法 1．理论知识 在工程实际中经常使用简化的方法，把复杂结构 简化成简单力学模型，从而解决实际问题。把简支梁 可以看成一个单自由度系统，有质量、弹簧和阻尼器 组成，相应的参数为质量m 、刚度 k 和阻尼 C，如图 4.1-2 所示。 以静平衡位置为原点建立坐标，由牛顿定律得到 系统的运动微分方程： mx  cx  kx  0 （4.1-1） 令 2 0 k m   ， 2 c m   （4.1-2） DASP YD-15 x x m k C m kx cx 图 4.1-2

其中6称为阻尼系数，单位为1/s:⊙。是相应的无阻尼的固有频率，式（4.1-1)可以写成 元+2δx+02x=0 (4.1-3) 令： 5= (4.1-4) 00 其中6称为阻尼系数，二称为相对阻尼系数（或称阻尼比），则式(4.1-3)可写成 求+250ox+02x=0 (4.1-5) 当5<1，这时阻尼较小称为欠阻尼状态。系统振幅按指数规律衰减的振动，也称为衰减振 动，可令 x=Ae-5'sin(oat+0) (4.1-6) 其中A1和0分别称为是衰减振动的振幅和初相角。如图4.1-3所示。 其中⊙，为有阻尼固有频率 0=0.V1-52 (4.1-7) 图4.1-3 其中减缩系数门： n4=de Au Ae-su)=esh (4.1-8) 有阻尼时的振动周期T,和固有频率O:: 2π2π Ta=- .a,Vi-g-方 (4.1-9) 35

35 其中 称为阻尼系数，单位为 1/s；0 是相应的无阻尼的固有频率，式（4.1-1）可以写成 2 0   x x x    2 0   （4.1-3） 令： 0 δ = ω  （4.1-4） 其中 称为阻尼系数， 称为相对阻尼系数（或称阻尼比），则式（4.1-3）可写成 2 0 0   x x x     2 0   （4.1-5） 当 1，这时阻尼较小称为欠阻尼状态。系统振幅按指数规律衰减的振动，也称为衰减振 动，可令 d sin( ) t x Ae t       （4.1-6） 其中 t Ae 和 分别称为是衰减振动的振幅和初相角。如图 4.1-3 所示。 其中d 为有阻尼固有频率 2 d n     1 （4.1-7） 其中减缩系数 ： d d ( ) 1 i i t i T t T i A Ae e A Ae            （4.1-8） 有阻尼时的振动周期Td 和固有频率d ： d 2 d d 0 2 2 1 1 T f          （4.1-9） Ai Ai+K tK t 图 4.1-3

4=2= 2π (4.1-10) 00= 2 2π (4.1-11) V1-52V-52TvV1-52 对数减缩系数A: A=Inn=In-4-=67= 2π5 (4.1-12) Ai 1-52 其中对数减缩系数A进行多次平均，得到 、4 (4.1-13) K Ak 由式(4.1-12)得到 1=- 2π5 (4.1-14) 1-52 当5<0.2时，式(4.1-14)可近似为 5 (4.1-15) 从而由式(4.1-10)和式(4.1-14)得到系统的固有频率⊙：和阻尼比5。 2.实验方法 1)等效刚度的测定 由于梁在弹性范围内的挠度与梁所受载荷成正比，因此只要在简支梁的跨中点加载，同 时用百分表读出该点的挠度值，即可测出简支梁跨中的等效刚度。 2)自由衰减曲线记录与系统固有频率和阻尼比等参数分析 在简支梁跨度中点贴电阻应变片的作用是使梁在振动时该点的应变量变化转化成电阻 量的变化，再将电阻应变片按半桥接法接到动态应变仪上，把电阻量的变化信号放大，并转 化成电压量的变化信号，输出到示波器或分析仪，这样即可观察和记录改变化的波形。测试 系统框图如图4.1-4所示。 AR AU 应变片 动态应变仪 动态分析仪 图4.1-4 应变振动信号ε()是简支梁的随振动时梁伸长量的变化规律，也反映了系统的振动 36

36 d d d 2 2 f T      （4.1-10） d d 0 2 2 2 d 2 2 1 1 1 f T              （4.1-11） 对数减缩系数 ： d 2 1 2 ln ln 1 i i A T A             （4.1-12） 其中对数减缩系数 进行多次平均，得到 1 ln i i k A K A    （4.1-13） 由式（4.1-12）得到 2 2 1       （4.1-14） 当  0.2 时，式（4.1-14）可近似为 2     （4.1-15） 从而由式（4.1-10）和式（4.1-14）得到系统的固有频率d 和阻尼比 。 2．实验方法 1）等效刚度的测定 由于梁在弹性范围内的挠度与梁所受载荷成正比，因此只要在简支梁的跨中点加载，同 时用百分表读出该点的挠度值，即可测出简支梁跨中的等效刚度。 2）自由衰减曲线记录与系统固有频率和阻尼比等参数分析 在简支梁跨度中点贴电阻应变片的作用是使梁在振动时该点的应变量变化转化成电阻 量的变化，再将电阻应变片按半桥接法接到动态应变仪上，把电阻量的变化信号放大，并转 化成电压量的变化信号，输出到示波器或分析仪，这样即可观察和记录改变化的波形。测试 系统框图如图 4.1-4 所示。 应变振动信号 (t) 是简支梁的随振动时梁伸长量的变化规律，也反映了系统的振动 R U 应变片 动态应变仪 动态分析仪  图 4.1-4

x(t)的规律，从而实验验中我们可以用ε(t)来代替x(t)的测量来研究系统的振动规律。 3)等效质量的测定 在原来的简支梁上附加一个已知质量△m,假定附加前后简支梁系统的刚度不变，即 k=mo=(m+△m)o6A (4.1-16) 其中： m为附加前系统等效质量，⊙，为附加前系统的固有频率，m+△m为附加后系统等效 质量，⊙4为附加后系统的固有频率。 在小阻尼情况下5<1,0.=0V1-52≈0,0a=0AV1-52≈0a,由式 (4.1-10)可得： mof=(m+△m)oi (4.1-17) i m+Am-1+Am (4.1-18) Wi (2-其=1+ (4.1-19) (2a了fa m 由式(4.1-18)可得，简支梁的等效质量m为 △m m= (4.1-20) Ja-1 四.实验步骤 1.等效刚度k测定 在简支梁跨中点处用砝码加载(1=1,2，…，5)，同时用百分表读出该点相对应的挠度 值，在表4.1-1中记录下数据，并计算出等效刚度k。 2.自由衰减曲线记录与系统固有频率和阻尼比等参数分析 1)启动动态分析仪 打开计算机电源，进入WindowsXP系统，点击分析桌面图标Coinv Dasp2O05标准版 选择虚拟仪器库，点击单通道，分析仪进入采集与分析状态。 2)进入分析仪主窗口 进入分析仪主窗口后，选择波谱双显，分析窗口同时显示时域波形和频谱图。 3)屏幕参数设置 采样通道：1； 37

37 x(t) 的规律，从而实验验中我们可以用 (t)来代替 x(t) 的测量来研究系统的振动规律。 3）等效质量的测定 在原来的简支梁上附加一个已知质量m ，假定附加前后简支梁系统的刚度不变，即 2 2 0 0 k m m m    ( )     （4.1-16） 其中： m 为附加前系统等效质量，0 为附加前系统的固有频率，m m   为附加后系统等效 质量，0 为附加后系统的固有频率。 在小阻尼情况下  1 ， 2 d 0 0        1 ， 2 0 0 0 1           ，由式 （4.1-10）可得： 2 2 d d m m m    ( )    （4.1-17） 2 d 2 d 1 m m m m m          （4.1-18）     2 2 d d 2 2 2 1 2 f f m f f m       dΔ dΔ （4.1-19） 由式（4.1-18）可得，简支梁的等效质量m 为 2 d 2 1 m m f f    dΔ （4.1-20） 四．实验步骤 1．等效刚度k 测定 在简支梁跨中点处用砝码加载（i = 1, 2, …., 5），同时用百分表读出该点相对应的挠度 值，在表 4.1-1 中记录下数据，并计算出等效刚度k 。 2．自由衰减曲线记录与系统固有频率和阻尼比等参数分析 1）启动动态分析仪 打开计算机电源，进入 WindowsXP 系统，点击分析桌面图标 Coinv Dasp 2005 标准版， 选择虚拟仪器库，点击单通道，分析仪进入采集与分析状态。 2）进入分析仪主窗口 进入分析仪主窗口后，选择波谱双显，分析窗口同时显示时域波形和频谱图。 3）屏幕参数设置 采样通道：1；

平均方式：单次不平均： 纵轴尺度：固定： 频谱形式：幅值谱peak: 加窗函数：矩形窗： 频谱坐标：线性 4)示波与调零 ⅰ点击棌样参数按钮后，设置采样参数如下： 采样频率：1kHz 采样点数：1k 程控倍数：1 采样方式：自由触发 ⅱ点击开始按钮，开始示波。 ⅲ对动态电阻应变仪进行调零：拨动按钮放置予档，调节口，使指针尽量靠近0，然 后拨动按钮放置静档，调节电位器尽，使指针尽量靠近0，同时观察分析仪时域波形靠 近0线，调零结束。 ⅳ用橡皮锤轻轻敲击简支梁跨中，屏幕上显示振动曲线，调节敲击力，确保曲线幅度 大小 5)曲线记录与数据保存 i整采样参数，点击棌样参数按钮，改变采样方式为触发方式，触发电平为l00mv,滞 后点数为32。 ⅱ点击开始按钮，等待触发采样，轻敲简支梁跨中，振动曲线显示在屏幕上。 ⅲ点击保存按钮，保存数据文件。 6)数据分析与报告输出 ⅰ调用己保存的数据文件或分析当前振动曲线，并显示在屏幕上。 ⅱ求固有频率和阻尼比 先进行波形收数，收取11个极值数据操作。把自动收取极值项选中，将时域波形的 读数光标定位到要收取的位置，然后按收数按钮，自动收取距离当前光标位置最近 的的极值点。依次收取11个极值数据，按例表按钮，屏幕上显示所有列表数据，在 表4.1-2中记录下所有的极值数据，按照给定公式计算出系统的频率1和阻尼2。按 下时域算阻尼按钮，在表4.1-3中记录下DASP自动计算阻尼3，作为验算之用。如 需重新收数，按情除按钮。并在表4.1-3中记录下DASP自动计算主峰值的频率4。 3.等效质量的测定 1)测量附加前的系统固有频率∫，按照步骤2进行操作，并把数据记入表4.1-4中： 2)测量附加后的系统固有频率∫a。 38

38 平均方式：单次不平均； 纵轴尺度：固定； 频谱形式：幅值谱 peak； 加窗函数：矩形窗； 频谱坐标：线性 4）示波与调零 i 点击采样参数按钮后，设置采样参数如下： 采样频率：1kHz 采样点数：1k 程控倍数：1 采样方式：自由触发 ii 点击开始按钮，开始示波。 iii 对动态电阻应变仪进行调零：拨动按钮放置予档，调节 C，使指针尽量靠近 0，然 后拨动按钮放置静档，调节电位器 R，使指针尽量靠近 0，同时观察分析仪时域波形靠 近 0 线，调零结束。 iv 用橡皮锤轻轻敲击简支梁跨中，屏幕上显示振动曲线，调节敲击力，确保曲线幅度 大小 5）曲线记录与数据保存 i 整采样参数，点击采样参数按钮，改变采样方式为触发方式，触发电平为 100mv，滞 后点数为 32。 ii 点击开始按钮，等待触发采样，轻敲简支梁跨中，振动曲线显示在屏幕上。 iii 点击保存按钮，保存数据文件。 6）数据分析与报告输出 i 调用已保存的数据文件或分析当前振动曲线，并显示在屏幕上。 ii 求固有频率和阻尼比 先进行波形收数，收取 11 个极值数据操作。把自动收取极值项选中，将时域波形的 读数光标定位到要收取的位置，然后按收数按钮，自动收取距离当前光标位置最近 的的极值点。依次收取 11 个极值数据，按列表按钮，屏幕上显示所有列表数据，在 表 4.1-2 中记录下所有的极值数据，按照给定公式计算出系统的频率 1和阻尼 2。按 下时域算阻尼按钮，在表 4.1-3 中记录下 DASP 自动计算阻尼 3，作为验算之用。如 需重新收数，按清除按钮。并在表 4.1-3 中记录下 DASP 自动计算主峰值的频率 4。 3．等效质量的测定 1）测量附加前的系统固有频率 d f ，按照步骤 2 进行操作，并把数据记入表 4.1-4 中； 2）测量附加后的系统固有频率 f dΔ

首先将附加质量m+△m放在简支梁跨中，然后对动态电阻应变仪进行重新调零，并按 照步骤2进行操作，得到的数据记入表4中。 四.实验数据处理 1.等效刚度，表4.1-1 序号 P(N) △P=P-P- (m) AY,=Y,-Y- AP A Y. 1 2 3 4 5 等效刚度：k=1户A卫 i=1,2,3.N (N/m) 2.固有频率和阻尼，表4.1-2 序号 时间(S) 幅值(mV) △L(S) 1 一 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39

39 首先将附加质量m m   放在简支梁跨中，然后对动态电阻应变仪进行重新调零，并按 照步骤 2 进行操作，得到的数据记入表 4 中。 四．实验数据处理 1．等效刚度，表 4.1-1 序号 Pi (N) Pi  Pi  Pi1 Yi（m） Yi  Yi Yi1 i i Y P   1 —— —— —— 2 3 4 5 等效刚度： i N Y P N k N i i i 1,2,3..... 1      （N/m） 2．固有频率和阻尼，表 4.1-2 序号 时间(s) 幅值(mV) i t (s) 1 — 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 — d d 1 f T  ， 10 d 1 1 10 i i T t     2     ， i k i X X K   ln 1 

3.计算值与DASP自动测量值对照，表4.1-3 有阻尼固有频率方 有阻尼固有频率⊙： 相对阻尼系数5 (Hz) (rad/s) (%) 计算值 2 DASP值 4 3 误差分析 0:=2j 4.等效质量，表4.1-4 固有频率f(Hz) 附加质量前，m 附加质量后，m+△m 等效质量：m= △m (kg) 了a 五.实验报告 实验前做好理论背景知识、测试方法的预习。 实验报告内容包括：实验目的、实验原理、实验装置和设备框图、实验数据处理与结果 分析，实验体会等。 六.思考题 1.分别根据衰减法k=m0,2和加载法，求出系统的等效刚度，试分析比较。 2.改变附加质量在简支梁上的位置，试分析附加质量位置与系统固有频率之间的关系。 40

40 3．计算值与 DASP 自动测量值对照，表 4.1-3 有阻尼固有频率 d f （Hz） 有阻尼固有频率d （rad/s） 相对阻尼系数 （%） 计算值 1 2 DASP 值 4 3 误差分析 —— d d   2 f 4．等效质量，表 4.1-4 固有频率 d f （Hz） 附加质量前，m 附加质量后，m m   等效质量： 2 d 2 1 m m f f    dΔ （kg） 五．实验报告 实验前做好理论背景知识、测试方法的预习。 实验报告内容包括：实验目的、实验原理、实验装置和设备框图、实验数据处理与结果 分析，实验体会等。 六．思考题 1．分别根据衰减法 2 0 k m  和加载法，求出系统的等效刚度，试分析比较。 2．改变附加质量在简支梁上的位置，试分析附加质量位置与系统固有频率之间的关系