§5.4大数定律 ·引子：在第一章统计概率一节中，我们 从大量例子中知道：事件发生的频率具 有稳定性。事实上，第二章引入的重复 独立E中事件A发生的频率稳定性即大量 随机现象的统计规律性的典型表现。这 里应当注意两个事实(1)频率稳定性表征 了事件概率的一种客观存在； ·(2)频率的性质表征了随机事件概率的性 质；
1 §5.4大数定律 • 引子：在第一章统计概率一节中，我们 从大量例子中知道：事件发生的频率具 有稳定性。事实上，第二章引入的重复 独立E中事件A发生的频率稳定性即大量 随机现象的统计规律性的典型表现。这 里应当注意两个事实(1)频率稳定性表征 了 事件概率 的一种 客 观 存在； • ( 2)频率的性质表征了随机事件概率的性 质；
·(充分大时；二者之间有个近似)这是概 率公理化定义的实际背景！直观背景！ ·但是事件的频率稳定性是一种不确切且 仅为一种直观的说法（原因：(A)具有不 确定性)，怎样对频率的稳定性这一直观 背景作一理论阐释呢？初学者常把它理 解为微积分中的变量与极限的关系，这
2 • (n充分大时；二者之间有个近似)这是概 率公理化定义的实际背景！直观背景！ • 但是事件的频率稳定性是一种不确切且 仅为一种直观的说法(原因：fn(A)具有不 确定性)，怎样对频率的稳定性这一直观 背景作一理论阐释呢？初学者常把它理 解为微积分中的变量与极限的关系，这
·是不正确的。由于事件的概率只是某种 平均结果，于是我们亦可把事件的频率 稳定性处理为大量随机现象之平均结果。 在概率论中，这类平均结果的稳定性 Theorem,统称为大数定律。 ·例1.在分析天平上称量一质量为μ的物品， 用X1,X2,.,X表示n次重复测量值
3 • 是不正确的。由于事件的概率只是某种 平均结果，于是我们亦可把事件的频率 稳定性处理为大量随机现象之平均结果。 在概率论中，这类平均结果的稳定性 Theorem，统称为大数定律。 • 例1. 在分析天平上称量一质量为μ的物品， 用X1 ,X2 ,…,Xn表示n次重复测量值
X=12X,X,…X。 n i=l ·为n个rv,当n愈来愈大时，对u偏差愈 小，实际上： ·当n→+o时，在一定收敛意义下 x=1之x,→ i三1 4
4 • 为n个r·v,当n愈来愈大时， 对μ偏差愈 小，实际上： • 当 时， 在一定收敛意义下 = = n i Xi X X n n X 1 1 , , 1 X n → += → = n i Xi n X 1 1
·例2.频率稳定性：在n次复复贝努里E中X 表示第ⅰ次贝努里E成功次数 (i=1,n), L(A),f(A) ·表示事件A出现的频数与频率 4n(0=∑X, =1 f(0=4,(4④=12x n n i=1
5 • 例2.频率稳定性：在n次复复贝努里E中Xi 表示第i 次贝努里E成功次数 • 表示事件A出现的频数与频率 (i 1,n), (A), f (A) = n n = = n i n A Xi 1 ( ) , = = = n i n n Xi n A n f A 1 1 ( ) 1 ( )
·当n→+o时，在一定收敛意义下 .(40=12X,→P4 ni=l ·原因：单个随机现象的行为对大量随机 现象共同产生的总平均效果几乎不发生 影响。（单个随机现象具体实现一偏差相 互作用一随机偏差互相抵消，补偿和拉 平，致使总平均效果趋于稳定) 6
6 • 当 时，在一定收敛意义下 • 原因：单个随机现象的行为对大量随机 现象共同产生的总平均效果几乎不发生 影响。(单个随机现象具体实现—偏差相 互作用—随机偏差互相抵消，补偿和拉 平，致使总平均效果趋于稳定) n → + ( ) 1 ( ) 1 X P A n f A n i n = i → =
·§5.4.1 Tchebysheff Inequality ·Theoren5:.I对yrvX,若方差DX存在， 则对Vε>0有： PIX-EXE&)≤2DX ·Proof.(一)rvX为连续型，其pdf为p(x), dfF (x)
7 • §5.4.1Tchebysheff lnequality • Theoren5.1对 r·vX，若方差DX存在， 则对 有： • Proof:(一)r·vX为连续型，其pdf为 p(x), dfF (x) 0 P X EX DX 2 1 (| | ) −
P(X-EXP)=∫x-ExdF(X) s∫ (x-EX)'dF(x) lX-EXI≥8 &2 ≤点∫x-EX'aF(cx)=DY ·(二)rvX为离散型：证明时把积分号换成
8 • (二)r·vX为离散型：证明时把积分号换成 ∑ (| | ) ( ) P X − EX = |X −EX|dF X ( ) ( ) 2 2 | | dF x x EX X EX − − x EX dF x DX 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 − = + −
·(1)等价形式： 由于P(X-EX≥8)=1-P(X-EXK8) P0X-ExK≥1-↓Dx ·(2)本质：在rX分布未知情况下， 利用EX和DX,对r·X的概率分布进 行估计的一种方法。 9
9 • （1）等价形式： • （2）本质：在 分布未知情况下， 利用 EX 和 DX，对 的概率分布进 行估计的一种方法。 由于P(| X −EX | )=1−P(| X −EX | ) P( X EX ) DX 2 1 | | 1 − − r vXr vX
·例对H6=kDX>0, 4X-xkw)1-D×成-1表 ·当=3时有： PX-ExK3D)小1-g089 ·若X~N(4,o2) P0X-4k3o)=0.9973 ·两式比较：切比晓夫不等式比较粗略， 只利用r·X的EX,DX信息 10
10 • 例 对 • 当k=3时有： • 若 • 两式比较：切比晓夫不等式比较粗略， 只利用 = k DX 0, ( ) 2 2 1 1 1 | | 1 k DX k DX P X − EX k DX − = − ( ) 0.8889 3 1 | | 3 1 2 P X − EX DX − ( ) 2 X ~ N , P(| X − | 3 ) = 0.9973 r vX的EX,DX信息!