第四讲 几何概率 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合，人们 引入了几何概型.由此形成了确定概率的另 一方法一几何方法. 请看演示 几何概率
第四讲 几何概率 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 请看演示 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 几何概率
一.定义：设有一个可度量区域$（这个区域可以是 直线区域、平面区域或空间区域)，向 区域内任意掷一质点M,此点落于S内任 一位置是等可能的，且落在$内任何子区 域A上的可能性与A的度量（如长度，面 积，.)成正比，而与A的位置和形状 无关，则这个试验称为几何概型试验； 并定义M落在A中的概率P（A)为： A的几何度量L(A) P(A)=S的几何度量L(S)
一.定义: 设有一个可度量区域S（这个区域可以是 直线区域、平面区域或空间区域），向 区域内任意掷一质点M，此点落于S内任 一位置是等可能的，且落在S内任何子区 域A上的可能性与A的度量（如长度，面 积，…）成正比，而与A的位置和形状 无关，则这个试验称为几何概型试验； 并定义M落在A中的概率P（A）为： （ ） （ ） 的几何度量 的几何度量 L S L A S A P( A) = =
例1.（约会问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在 某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率。 解： 以x,y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则 两人能够会面的充要条件是：x一y15.在平面 上建立直角坐标系，如图 y 则(x,y)的所有可能结果是边 60 长为60的正方形，图中阴影表示 -x=15 可会面的时间。 15 设A=两人能会面，则 P(A)= 4_602-453 7 Ss 602 16 015 60
例1．（约会问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在 某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率。 以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则 两人能够会面的充要条件是：|x－y|≤15. 在平面 上建立直角坐标系，如图 则（x, y）的所有可能结果是边 长为60的正方形，图中阴影表示 可会面的时间。 设A=两人能会面，则 16 7 60 60 45 2 2 2 = − = = S A S S P( A) 解： 0 15 15 60 60 y x
例2.甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别 为1：15,1：30,1：45,2：00。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 解：设甲、乙到达车站的时间分别为x,y则1≤x≤2， 2 1≤y≤2，确定平面S, 如图正方形，设A=两人 乘同一辆公共汽车，则： 1.5 A发生的充要条件是： 两人到达时间x,y在同一 发车区间，即阴影部分。 故P(A)=4/16=1/4。 0
例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别 为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就 上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则1≤x≤2, 1≤y≤2, 确定平面S， 如图正方形，设A=两人 乘同一辆公共汽车，则： A发生的充要条件是： 两人到达时间x, y在同一 发车区间，即阴影部分。 故 P（A）=4/16=1/4。 0 1 1 2 2 y 1.5 x 1.5 解：
二.性质： 1.对任意事件A,有0≤P(A)≤1； 2.P(S)=1; 3.若A,A2,…An互斥，则： P(A1+A2+…+An)=P(A+P(A2)+…P(An》 古典概率的其他性质对几何概率也同样成立
二. 性质: 3．若 A1 ,A2 , An 互斥，则： ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 + A2 ++ An = P A1 + P A2 +P An 古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。 1．对任意事件A，有0≤P（A）≤1； 2．P（S）=1；
法国科学家蒲丰于1777年发现了随机 投针的概率与圆周率π之间的关系，提供 了早期学者们用随机试验求π值的范例。 请看演示 蒲圭投针试验
蒲丰投针试验 法国科学家蒲丰于1777年发现了随机 投针的概率与圆周率π之间的关系，提供 了早期学者们用随机试验求π 值的范例. 请看演示
第五讲 统计概率 下面我们从几个试验入手，揭示随机 事件一个极其重要的特征： 频率稳定性
第五讲 统计概率 下面我们从几个试验入手，揭示随机 事件一个极其重要的特征： 频率稳定性
频率 概率 频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小.尽管每进行一连串（n次)试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的， 因此，概率是可以通过频率来“测量” 的，频率是概率的一个近似
频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似
统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的，下面先介绍事件频率的概念。 一.频率定义：设A为联系于某一试验的事件，将 试验在相同的条件下重复进行次， 用m表示A出现的次数，则比值 m/n称为事件A的相对频率， 记为fn(A),即 f(A)=m n n 一般情况下：f(A)≠f(A),只有当充分大 时，频率才呈现出稳定性
统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的，下面先介绍事件频率的概念。 一.频率定义：设A为联系于某一试验的事件，将 试验在相同的条件下重复进行n次， 用m表示A出现的次数，则比值 m/n称为事件A的相对频率， 记为fn(A),即 n m f n ( A) = 一般情况下： ，只有当n充分大 时，频率才呈现出稳定性。 f ( A) f ( A) 1 2
二.统计概率：在一组固定条件下，重复做次试验 如果当n增大时，事件A出现的频 率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而 且一般说来，随着的增大，这种摆 动的幅度越来越小，则称常数p为事 件A的概率，即P(A)=p。 此定义适合于一切类型的试验， 当充分大时，频率作为概率的近似值，即 Sn(A)=mP(A) ，足以满足实际需要
二. 统计概率: 在一组固定条件下，重复做n次试验， 如果当n增大时，事件A出现的频 率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而 且一般说来，随着n的增大，这种摆 动的幅度越来越小，则称常数p为事 件A的概率，即P（A）=p。 此定义适合于一切类型的试验， 当n充分大时，频率作为概率的近似值，即 ，足以满足实际需要。 ( ) P( A) n m fn A =