
第四讲 几何概率 早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型.由此形成了确定概率的另 一方法一几何方法. 请看演示 几何概率
第四讲 几何概率 早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 请看演示 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 几何概率

一.定义:设有一个可度量区域$(这个区域可以是 直线区域、平面区域或空间区域),向 区域内任意掷一质点M,此点落于S内任 一位置是等可能的,且落在$内任何子区 域A上的可能性与A的度量(如长度,面 积,.)成正比,而与A的位置和形状 无关,则这个试验称为几何概型试验; 并定义M落在A中的概率P(A)为: A的几何度量L(A) P(A)=S的几何度量L(S)
一.定义: 设有一个可度量区域S(这个区域可以是 直线区域、平面区域或空间区域),向 区域内任意掷一质点M,此点落于S内任 一位置是等可能的,且落在S内任何子区 域A上的可能性与A的度量(如长度,面 积,…)成正比,而与A的位置和形状 无关,则这个试验称为几何概型试验; 并定义M落在A中的概率P(A)为: ( ) ( ) 的几何度量 的几何度量 L S L A S A P( A) = =

例1.(约会问题)甲、乙两人约定在6点到7点之间在 某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率。 解: 以x,y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间,则 两人能够会面的充要条件是:x一y15.在平面 上建立直角坐标系,如图 y 则(x,y)的所有可能结果是边 60 长为60的正方形,图中阴影表示 -x=15 可会面的时间。 15 设A=两人能会面,则 P(A)= 4_602-453 7 Ss 602 16 015 60
例1.(约会问题)甲、乙两人约定在6点到7点之间在 某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率。 以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间,则 两人能够会面的充要条件是:|x-y|≤15. 在平面 上建立直角坐标系,如图 则(x, y)的所有可能结果是边 长为60的正方形,图中阴影表示 可会面的时间。 设A=两人能会面,则 16 7 60 60 45 2 2 2 = − = = S A S S P( A) 解: 0 15 15 60 60 y x

例2.甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车,这段时间内有4班公共汽车,发车时间分别 为1:15,1:30,1:45,2:00。如果规定见车就 上,求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 解:设甲、乙到达车站的时间分别为x,y则1≤x≤2, 2 1≤y≤2,确定平面S, 如图正方形,设A=两人 乘同一辆公共汽车,则: 1.5 A发生的充要条件是: 两人到达时间x,y在同一 发车区间,即阴影部分。 故P(A)=4/16=1/4。 0
例2.甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公 共汽车,这段时间内有4班公共汽车,发车时间分别 为1:15,1:30,1:45,2:00。如果规定见车就 上,求两个人乘同一辆公共汽车的概率。 设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则1≤x≤2, 1≤y≤2, 确定平面S, 如图正方形,设A=两人 乘同一辆公共汽车,则: A发生的充要条件是: 两人到达时间x, y在同一 发车区间,即阴影部分。 故 P(A)=4/16=1/4。 0 1 1 2 2 y 1.5 x 1.5 解:

二.性质: 1.对任意事件A,有0≤P(A)≤1; 2.P(S)=1; 3.若A,A2,…An互斥,则: P(A1+A2+…+An)=P(A+P(A2)+…P(An》 古典概率的其他性质对几何概率也同样成立
二. 性质: 3.若 A1 ,A2 , An 互斥,则: ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 + A2 ++ An = P A1 + P A2 +P An 古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。 1.对任意事件A,有0≤P(A)≤1; 2.P(S)=1;

法国科学家蒲丰于1777年发现了随机 投针的概率与圆周率π之间的关系,提供 了早期学者们用随机试验求π值的范例。 请看演示 蒲圭投针试验
蒲丰投针试验 法国科学家蒲丰于1777年发现了随机 投针的概率与圆周率π之间的关系,提供 了早期学者们用随机试验求π 值的范例. 请看演示

第五讲 统计概率 下面我们从几个试验入手,揭示随机 事件一个极其重要的特征: 频率稳定性
第五讲 统计概率 下面我们从几个试验入手,揭示随机 事件一个极其重要的特征: 频率稳定性

频率 概率 频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小.尽管每进行一连串(n次)试 验,所得到的频率可以各不相同,但只要 n相当大,频率与概率是会非常接近的, 因此,概率是可以通过频率来“测量” 的,频率是概率的一个近似
频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串(n次)试 验,所得到的频率可以各不相同,但只要 n相当大,频率与概率是会非常接近的. 因此,概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似

统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的,下面先介绍事件频率的概念。 一.频率定义:设A为联系于某一试验的事件,将 试验在相同的条件下重复进行次, 用m表示A出现的次数,则比值 m/n称为事件A的相对频率, 记为fn(A),即 f(A)=m n n 一般情况下:f(A)≠f(A),只有当充分大 时,频率才呈现出稳定性
统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的,下面先介绍事件频率的概念。 一.频率定义:设A为联系于某一试验的事件,将 试验在相同的条件下重复进行n次, 用m表示A出现的次数,则比值 m/n称为事件A的相对频率, 记为fn(A),即 n m f n ( A) = 一般情况下: ,只有当n充分大 时,频率才呈现出稳定性。 f ( A) f ( A) 1 2

二.统计概率:在一组固定条件下,重复做次试验 如果当n增大时,事件A出现的频 率fn(A)围绕着某一个常数p摆动;而 且一般说来,随着的增大,这种摆 动的幅度越来越小,则称常数p为事 件A的概率,即P(A)=p。 此定义适合于一切类型的试验, 当充分大时,频率作为概率的近似值,即 Sn(A)=mP(A) ,足以满足实际需要
二. 统计概率: 在一组固定条件下,重复做n次试验, 如果当n增大时,事件A出现的频 率fn(A)围绕着某一个常数p摆动;而 且一般说来,随着n的增大,这种摆 动的幅度越来越小,则称常数p为事 件A的概率,即P(A)=p。 此定义适合于一切类型的试验, 当n充分大时,频率作为概率的近似值,即 ,足以满足实际需要。 ( ) P( A) n m fn A =