哈尔滨工业大学 课件 多维随机变量及其分布_概率论与数理统计第四章

·第4章多维随机向量及其分布 ·§4.1多维随机变量及其分布函数、边 缘分布函数 ·引言：在概率论的实际应用中，对同一随机试 验，被测量的量不是一个而是两个或两个以上。 ·例1.假设Eo是一随机试验，有r种可能的结局 A1,A,它们出现概率分别为P1..P,其中 P>0, ∑P=1用X(i=1,r)

1 • 第4章 多维随机向量及其分布 • §4.1 多维随机变量及其分布函数﹑边 缘分布函数 • 引言：在概率论的实际应用中，对同一随机试 验，被测量的量不是一个而是两个或两个以上。 • 例1．假设E0是一随机试验，有r种可能的结局 A1，…Ar，它们出现概率分别为P1…Pr，其中 Pi>0，  = = r i Pi 1 1用 Xi(i=1,r)

·表示A,出现次数，它们都是E产生的r 例2.用X=(X,…X,)表示对某物理量的 n次随机测量的结果，则(X，…Xn)是同 一E产生的n个r·v。 ·例3.掷一对均匀称骰子一次E,X,Y分 别表示两枚骰子出现的点数，于是E结果 可表为(X,Y)。 2

2 • 表示Ai出现次数，它们都是E0产生的r·v； • 例3．掷一对均匀称骰子一次E，X，Y分 别表示两枚骰子出现的点数，于是E结果 可表为（X，Y）。 例 2．用 ( , ) X = X1 Xn 表示对某物理量的 n 次随机测量的结果，则( , ) X1 Xn 是同 一 E 产生的 n 个 r·v

·例4.检测钢成分E:(含C量，含S量， 含P量) ·例5.检测人的生理情况：(H,W,S, V ·例6.考弹落点位置E:(X,Y,Z) ·显然，在研究同一随机试验所产生的y 的概率特布时，除每个v的概率特征外， 3

3 • 例4．检测钢成分E：（含C量，含S量， 含P量） • 例5．检测人的生理情况：（H，W，S， V） • 例6．考 弹落点位置E：（X，Y，Z） • 显然，在研究同一随机试验所产生的r·v 的概率特布时，除每个r·v的概率特征外

·还要研究它们的联合概率特征：后者可 完全决定前者，但是前者一般不能完全 决定后者。因此，我们必须研究随机向 量，利于整体而全面研究随机现象！ ·Definition1.若X(e),X(e),,X(e)定义同 一个样本空间S上的n个rv,Ve∈S,则 它们构成的n维向量(X(e),X(e),…,X(e) 称为n维随机向量，或称为n维随机变量

4 • 还要研究它们的联合概率特征：后者可 完全决定前者，但是前者一般不能完全 决定后者。因此，我们必须研究随机向 量，利于整体而全面研究随机现象！ • Definition1．若X1 (e),X2 (e),…,Xn (e)定义同 一个样本空间S上的n个r·v， ，则 它们构成的n维向量(X1 (e),X2 (e),…,Xn (e)) 称为n维随机向量,或称为n维随机变量 eS

·简记为(X1X2…,X),n=1为第三章情形， 我们讨论n=2情形， 二维随机向量 (X,Y),主要研究三方面问题： ·(1)二维随机向量(X,Y)的概率分布； ·(2)联合分布与边缘分布之间关系； ·(3)二维随机向量(X,Y)函数分布

5 • 简记为(X1 X2 …,Xn ), n=1为第三章情形， 我们讨论n=2情形， 二维随机向量 （X，Y），主要研究三方面问题： • （1）二维随机向量（X，Y）的概率分布； • （2）联合分布与边缘分布之间关系； • （3）二维随机向量（X，Y）函数分布

·Definition2.设(X,Y)为二维rv, x,y∈R,则二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) ·称为二维v,(X,Y)的分布函数，或称 为X和Y的联合分布函数。 ·二维rv(X,Y)的分布函数F(X,Y)几 何解释： 6

6 • Definition 2．设（X，Y）为二维r·v， • 称为二维r·v，（X，Y）的分布函数，或称 为X和Y的联合分布函数。 • 二维r·v（X，Y）的分布函数F（X，Y）几 何解释： x, y R ，则二元函数 F(x, y) = P(X  x,Y  y)

·(X,Y)一随机点之坐标， x,y∈R,F(x,y)一表示随机点 (X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下 方无穷矩形域内的概率。 y (x,y)

7 • （X，Y）——随机点之坐标， • ，F（x,y）——表示随机点 （X，Y）落在以点（x,y）为顶点的左下 方无穷矩形域内的概率。 x, y R x O y (x,y)

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) ·Question:对Vx,<x2,y,<y2求事件 ·“x,<X≤x2y,<Y≤y,”概率利用二维 rv(X,)的dFx,y)在(x1y1),(x1y2),(x2y1) ·与x2y2)四点上取值求之。 8

8 • Question: • 概率利用二维 r·v(X,Y)的dfF(x,y)在(x1 ,y1 )，(x1 ,y2 )，(x2 ,y1 ) • 与(x2 ,y2 )四点上取值求之。 F(x, y) = P(X  x,Y  y) 对 1 2 1 2 x  x , y  y 求事件 “ 1 2 1 2 x  X  x , y  Y  y

(x1,y2) (x2,y2) X1,y1 x y) X 9

9 (x1，y1) (x1，y2) (x2，y2) (x2，y1) O x

P(x<X≤x2,<Y≤2) =P(x<X≤x2)∩(Y≤2)-(Y≤) =P(x<X≤x2)∩(Y≤y2) -P(:<X≤x∩(Y≤) =PX≤x)-(X≤xJnY≤2》 -PX≤x)-(X≤xn≤y)D =F(x2,y2)-F(x1,2)+F(x,y)-F(x2,y)

10 (( ) ( )) (( ) ( )) 1 2 1 1 2 2   P x X x Y y P x X x Y y −    =    ( , ) 1 2 1 2 P x  X  x y Y  y (( ) (( ) ( ))) 1 2 2 1 = P x  X  x  Y  y − Y  y ( ( ) ( )) ((( ) ( ) ( ))) 2 1 1 2 1 2 ( ) P X x X x Y y P X x X x Y y −  −   =  −     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 = F x , y − F x , y + F x , y − F x , y