哈尔滨工业大学 课件 随机变量的分布函数_概率论与数理统计第三章

第三讲1 随机变量的 分布函数 一、定义：设X是一个rv,称 F(x)=P(X≤x)(-0<x<+∞) 为X的分布函数.记作X~Fx)或Fxx): X≤x 如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数Fx)的值就表示X落在区间(-o,x]的概率

———|——> X  x x  一、定义： 设 X 是一个 r.v，称 F(x) = P(X  x) (−  x  +) 为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX (x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间(−, x]的概率. 第三讲 随机变量的 分布函数

F(x)=P(X≤x), -00<X<0 问：在上式中，Xx皆为变量.二者有什 么区别？x起什么作用？Fx)是不是概率？ X是随机变量，x是参变量， Fx)是rvX取值不大于x的概率

问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？ X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. F(x) = P(X  x), −   x  

F(x)=P(X≤x), -00<X<00 由定义，对任意实数xx2,随机点落 在区间（x1,x2]的概率为： P{x<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x} =F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函 数，它的统计特性就可以得到全面的描述

由定义，对任意实数x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2 )-F(x1 )    因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. F(x) = P(X  x), −   x  

F(x)=P(X≤x), -0<X<0 分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究随机变量

分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量. F(x) = P(X  x), −   x  

二、离散型rv的分布函数 设离散型：X的概率分布列是 P(X=xk}=Pk, k=1,2,3, 则Fx)=PX≤x)=∑P 由于Fx)是X取≤X的诸值x的概率之和， 故又称Fx)为累积概率函数

二、离散型 r.v的分布函数 设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…  x x k k 则 F(x) = P p (X  x) = 由于F(x)是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.  x

离散型随机变量分布函数的计算举例

离散型随机变量分布函数的计算举例

12 例1. ,求F). P 11 6 2 解： Fx)=PX≤x) 当 <0时，{X≤x}=中，故F)=0 当 0≤x<1时， Fx)=PX≤x)=PX=0)=3

当 x<0 时，{ X  x } =  ， 故 F(x) =0 例1. ，求 F(x). 当 0 x < 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =  3 1  解: F(x) = P(X  x) X 0 1 2 P 2 1 6 1 3 1

X 0 2 例1. 1 1 1 ,求Fx) 6 2 解： F)=P(X≤x) 当 1≤x<2时， 1,11 FW=PX-0)+PX=I)=3+6=2 当 x≥2时， F)=PX=0)+P(X=1)+PX=2)=1

当 1 x < 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =  3 1 6 1 2 1 当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1  例1. ，求 F(x). 解 F(x) = P(X  x) : X 0 1 2 P 2 1 6 1 3 1

故 0, x<0 注意右连续 1 0≤x<1 F(x)= 1 2 1≤x<2 x≥2 下面我们从图形上来看一下

故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下.                = 1, 2 , 1 2 2 1 , 0 1 3 1 0, 0 ( ) x x x x F x

三、分布函数的性质 (1)0sFx)s1,-00<x<+oo; (2)F-oo）=1imFx)=0 F(+oo)=lim F(x)=1 (3)F非降，即若x,≤x2,则Fx≤Fc; (4)Fx)右连续，即limF(x)=F(xo) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个vX的分布函数.也就是说，性质(1)-(4)是 鉴别一个函数是否是某：的分布函数的充分 必要条件

三、分布函数的性质 (3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1 ) F(x2  ) ; (2) F( ) = −  F(x) = 0 x→− lim (4) F(x) 右连续，即 lim ( ) ( ) 0 0 F x F x x x = → + 如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是 鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分 必要条件. F( ) = + F(x) = 1 x→+ lim (1) 0≤F(x)≤1, －∞<x<+∞;