第二章条件概率与独立性 §2-1条件概率乘法原理 引子：直到现在，我们计算事件的概率 是在样本空间已知的情况下进行的，即 除了样本空间（一组固有条件）外得不 到其它试验信息。但是，有时知道一个 事件H发生了。当陈述与之有关另一事件 A的结果时，怎样使用这个信息呢？ 2023/7/17
2023/7/17 1 第二章 条件概率与独立性 §2-1条件概率 乘法原理 引子：直到现在，我们计算事件的概率 是在样本空间已知的情况下进行的，即 除了样本空间（一组固有条件）外得不 到其它试验信息。但是，有时知道一个 事件H发生了。当陈述与之有关另一事件 A的结果时，怎样使用这个信息呢？
例1考虑有两个孩子的家庭，假设男女 出生率一样，则两孩子性别（依大小排 列)S-{(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}且每一个 基本事件发生是等可能的。若任选一家 庭至少有一个女孩子事件H发生了。求此 家庭有一男一女事件A的概率。 23 解：P4-4， P(H P(AH)= PUV)-2=P(AID)>P(A)=2 3 P(H 2023/7/17
2023/7/17 2 例1 考虑有两个孩子的家庭，假设男女 出生率一样，则两孩子性别（依大小排 列）S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}且每一个 基本事件发生是等可能的。若任选一家 庭至少有一个女孩子事件H发生了。求此 家庭有一男一女事件A的概率。 解：P(A)= ， P(H)= P(A|H) = 4 2 4 3 4 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 = P A = P H P AH 4 2 , P(AH) =
例2.设甲袋中装了4个白球2个黑球，乙 袋中装了4个黑球，2个白球。掷一枚质 量均匀硬币，若正面朝上(H),便从甲 袋中随机取一个球；否则(T)从乙袋中 随机地取一球。设E表示取出黑球事件， 若已知H信息条件下，求E发生的概率。 解：S={HW11,HW12,HW13,HW14,Hb11,Hb12, TW21,TW22,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24} 2023/7/17
2023/7/17 3 例2．设甲袋中装了4个白球2个黑球，乙 袋中装了4个黑球，2个白球。掷一枚质 量均匀硬币，若正面朝上（H），便从甲 袋中随机取一个球；否则（T）从乙袋中 随机地取一球。设E0表示取出黑球事件, 若已知H信息条件下，求E0发生的概率。 解：S={HW11,HW12,HW13,HW14,Hb11,Hb12, TW21 ,TW22,Tb21,Tb22,Tb23,Tb24}
6 P(E0)=P{H611,Hb122Tb21T6222 T623,T624}=12 ·P(H0F2 ·P(HEo)=P{Hb1,Hb12}=2/12 2 P(E,1H)=2-2-PE0<P(E,)=6-=) 61P(H) 122 ·Note:对于Ve,∈sP(e,)=这样才满足古典概 型E条件；不难构造反例（只需把例2两袋球对 称结构破坏即可！) 2023/7/17
2023/7/17 4 • P(E0 )=P{Hb11,Hb12,Tb21, Tb22,Tb23,Tb24}= • P(H)= • P(HE0 )=P{Hb11,Hb12}=2/12 • Note：对于 ， 这样才满足古典概 型E条件；不难构造反例（只需把例2两袋球对 称结构破坏即可！） e s i n P ei 1 ( ) = 12 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 12 6 2 1 12 2 6 2 | 0 0 0 = = = P E = = P H P E H P E H 2 1
例3.考虑E:向有界区域(S)内均匀地掷随机点， 事件A表示随机点落在区域A中，事件B表示随 机点落在区域B中，这是几何概型随机试验E。一求 P(AB) B ·解：P(A)=L(A)/L(S) P(B)=L(B)/L(S) P(AB)=L(AB)/L(S) 2023/7/17
2023/7/17 5 例3．考虑E：向有界区域（S）内均匀地掷随机点， 事件A表示随机点落在区域A中，事件B表示随 机点落在区域B中,这是几何概型随机试验E。求 P(A|B) • 解：P(A)=L(A)/L(S) • P(B)=L(B)/L(S) • P(AB)=L(AB)/L(S) A B S
L(AB)L(B) ·P(AB)=L(AB)VL(B)= L(S)L(S) =P(AB)/P(B) ·Note:上述古典概型和几何概型例中适 用规律在一般情况下不能用纯数学逻辑 推导出来，我们需要用此比值P(AB)作为 条件概率定义。（例统计条件概率） ·定义1(P(B)>O)设A、B为任意两个事件， 且P(B)>O,则称比值P(AB)/P(B)为事件A 在事件B发生的条件下的条件概率，记为 41B) 6
2023/7/17 6 • P(A|B)=L(AB)/L(B)= • =P(AB)/P(B) • Note：上述古典概型和几何概型例中适 用规律在一般情况下不能用纯数学逻辑 推导出来，我们需要用此比值P(A|B)作为 条件概率定义。（例统计条件概率） • 定义1 (P(B)>0)设A、B为任意两个事件， 且P(B)>0，则称比值P(AB)/P(B)为事件A 在事件B发生的条件下的条件概率，记为 P(A|B) ( ) ( ) / ( ) ( ) L S L B L S L AB
由事件发生的频率概念亦可类似地 引出条件频率，从而与第一章方法与思 路类似，我们引入概率的三条公理。 ·定理1，条件概率P(AB)=P(AB)/P(B) ·(P(B)>0)满足公理1~3。 ·(1)1≥P(AB)= P(AB)≥0 P(B) ·(2)P(SIB)=P(SB)/P(B)=1 2023/7/17 7
2023/7/17 7 • 由事件发生的频率概念亦可类似地 引出条件频率，从而与第一章方法与思 路类似，我们引入概率的三条公理。 • 定理1，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B) • (P(B)>0)满足公理1~3 。 • (1) 1≥P(A|B)= • (2) P(S|B)=P(SB)/P(B)=1 0 ( ) ( ) P B P AB
·(3)设A1,A2,互不相容，则AB,A2B,, AnB,也互不相容，因此 ·P{(A1+A2十..+An+..)B}=P{(A+..+An+.)B}/P(B) ·=P(AB+A2B++AnB+.…/P(B) ·=P(A1lB)+P(A2B)+. ·Note:条件概率如同（典·何）概率一祥满足 ·(4) P(A|B)=1-P(A|B) 2023/7/17
2023/7/17 8 • (3) 设A1，A2， …互不相容，则A1B，A2B，…， AnB，…也互不相容，因此 • P{(A1+A2+…+An+…)|B} =P{(A1+…+An+…)B}/P(B) • =P(A1B+A2B+…+AnB+…)/P(B) • =P(A1 |B)+P(A2 |B)+… • Note：条件概率如同（古典、几何）概率一样满足： • (4) P(A| B) =1− P(A| B)
·(5)P(Φ|B)=0 ·(6)若A1CA2则P(A1|B)P(A2B) .P((A2-AB))=P(A2B)-P(A B) ·(7)P(AUAB) .=P(A B)+P(A,B)-P(AA,B) ·当B=S时P(AS)=P(A) ·关系：条件概率可当作无条件概率的一般 形式，事件概率有条件！ ·下面观察公式：P4 B)=P(AB) (P(B)>O) P(B) 2023/7/17
2023/7/17 9 • (5) P • (6) 若A1 A2则P(A1 |B)≤P(A2 |B) • P((A2－A1 )|B))= P(A2 |B) － P(A1 |B) • (7) P(A1∪A2 |B) • = P(A1 |B) + P(A2 |B)－P(A1A2 |B) • 当B=S时 P(A|S)=P(A) • 关系：条件概率可当作无条件概率的一般 形式，事件概率有条件！ • 下面观察公式：P(A|B)= (P(B)>0) ( | B) = 0 ( ) ( ) P B P AB
P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)0) ·具有重要理论与实际意义 ·定理2（乘法原理）若A,B为两个事件， ·P(A)>0,P(B)>0 ·则 P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)>0) P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) 2023/7/17 10
2023/7/17 10 • P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0) • P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0) • 具有重要理论与实际意义 • 定理2（乘法原理）若A，B为两个事件， • P(A)>0, P(B)>0 • 则 • P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0) • P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0)