第二章 条件概率与独立性
条件概率与独立性 第二章
第一讲条件概率、乘法公式 一、条件概率 1.条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息（条件）下求事件的概率 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(AB). 一般P(AB)卡PA
第一讲 条件概率、乘法公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点}， B=掷出偶数点}，P(A)=1/6,P(AB)=? 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B, B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(AB)=1/3. 容易看到 11/6P(AB) PAB)=336 P(B)
P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B， 于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 容易看到 ( ) ( ) 3 6 1 6 3 1 P B P AB P(A|B) = = =
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}，B={取到正品} P(A)=3/10, 33/10 P(AB) P(AB)= 7/10 P(B)
P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}，B={取到正品} P(A|B) ( ) ( ) 7 10 3 10 7 3 P B P AB = = =
A=取到一等品}，B={取到正品} PA)=3/10,PA4B)=3/7 本例中，计算PA)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例， 计算P(AB)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件， 这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题
P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题
2.条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P(AB)= P(AB (1) P(B) 为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率. 若事件B已发生，则为 使A也发生，试验结果必 须是既在B中又在A中的样 本点，即此点必属于AB. S 由于我们已经知道B已发生， 故B变成了新的样本空间， 于是有(1)
若事件B已发生, 则为 使 A也发生 , 试验结果必 须是既在 B 中又在A中的样 本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间, 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = S B ABA 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率
同理可证： P(AB) P(BA)= P(A) 其中PA)>O 为在事件A发生的条件下， 事件B的条件概率
同理可证： ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A = 其中Ｐ(A) > 0 为在事件A发生的条件下， 事件B的条件概率
3.条件概率的性质（自行验证） 设B是一事件，且P(B)>0,则 1.对任一事件A,0≤P(AB)≤1； 2.P(S|B)=1; 3.设AyAm…互不相容，则 P[A+.+An…)1BI=PAB)+..+P(AnB).… 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率， 请自行写出
3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P (S | B) =1 ； 3.设A1 ,…,An…互不相容，则 P[(A1+…+An…)| B] = P(A1 |B)+ …+P(An |B)… 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 请自行写出
4.条件概率的计算 1)用定义计算： P(AB)= P(AB) P(B)>0 P(B) 2)从加入条件后改变了的情况去算 掷骰子 例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点} P(AB) B发生后的 在缩减样本空间 缩减样本空间 中A所含样本点 所含样本点总数 个数
2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: , ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = P(B)>0 掷骰子 例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点} P(A|B）= 3 1 B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1掷两颗均匀骰子，已知第一颗掷出6点，问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少？ 解：设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 解法1： P(AB)= P(AB) 3/36 1 P(B) 6/36 解法2：P(A|B)= 31 62 在B发生后的 缩减样本空间 中计算
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 解法2: 2 1 6 3 P(A| B) = = 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 2 1 6 36 3 36 = = 解：