基于XFEM的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究

工程科学学报，第39卷.第10期：1470-1476,2017年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.10:1470-1476,October 2017 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2017.10.002;http://journals.ustb.edu.cn 基于XFEM的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 邓青林12)四，赵国彦)，谭彪)，邹玉良)，李夕兵2) 1)核工业西南勘察设计研究院有限公司，成都6100612)中南大学资源与安全工程学院，长沙410083 3)同济大学土木工程学院，上海200092 ☒通信作者，E-mail:nicekenny@126.com 摘要地下和边坡工程开挖常涉及岩体卸荷问题，采用ABAQUS软件中的扩展有限单元法(extended finite element method,. XFEM)对开挖卸荷过程岩体内部裂纹的起裂扩展进行了模拟，通过计算裂纹尖端应力强度因子研究了其起裂特征，并探讨了 起裂影响因素，通过记录裂纹扩展形态研究了其动态演化模式.结果表明，卸荷过程中卸荷速率越快，裂纹长度越长，倾角越 大，其起裂越容易：并且裂纹面受到的正应力不断减小，剪应力不断增大，裂纹扩展主要由剪应力控制，这与理论分析结果一 致.裂纹最终扩展演化形态也与物理试验相近，充分表明运用扩展有限单元法研究岩体裂纹问题的可靠性 关键词岩体卸荷：裂纹；起裂扩展；扩展有限单元法 分类号TU457 Study on crack initiation and propagation in rock mass during unloading based on XFEM DENG Qing-lin)ZHAO Guo-yan?),TAN Biao,ZOU Yu-liang?,LI Xi-bing?) 1)Southwest Geotechnical Design Institute of China Nuclear Industry Co.Ltd.,Chengdu 610061,China 2)School of Resources and Safety Engineering,Central South University,Changsha 410083,China 3)School of Civil Engineering,Tongji University,Shanghai 200092.China Corresponding author,E-mail:nicekenny@126.com ABSTRACT Rock-mass unloading often occurs during underground and slope engineering excavations.Here,rock-mass crack initi- ation and propagation during the excavation unloading progress was simulated using the extended finite element method(XFEM)in ABAQUS.Crack propagation and its influencing factors were studied and discussed after calculating the stress intensity factors at the crack tips,and by recording the crack's shape a dynamic evolution model was produced.The results show that the faster the unloading rate,the longer the crack,and the greater the crack dip angle,the easier the crack initiates.The normal stress on a crack surface de- creases while shear stress increases during unloading,and that crack propagation is mainly controlled by shear stress.This is consist- ent with the theoretical analysis.The final shape of the modeled crack was also close to the result of the physical experiments,indica- ting the reliability of this study. KEY WORDS rock-mass unloading;crack;initiation and propagation;extended finite element method 进入21世纪以来，随着国民经济的飞速发展，我愈来愈多的传统矿山被迫进入超千米深井开采阶 国基础建设得以迅速推进，各类大型土木工程相继兴 段]，其复杂多变的高应力环境，导致一系列片帮冒 建，各种资源能源被大量消耗，随之带来了各种复杂的 顶、岩爆等灾害，严重威胁工作人员的生命财产安全， 岩石力学工程问题.例如在地下硬岩采矿工程方面， 需要研究找到更为理想的支护措施.另外一些大型的 收稿日期：2016-11-02 基金项目：国家自然科学基金面上资助项目(51374244)

工程科学学报,第 39 卷,第 10 期:1470鄄鄄1476,2017 年 10 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 39, No. 10: 1470鄄鄄1476, October 2017 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2017. 10. 002; http: / / journals. ustb. edu. cn 基于 XFEM 的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 邓青林1,2) 苣 , 赵国彦2) , 谭 彪3) , 邹玉良2) , 李夕兵2) 1)核工业西南勘察设计研究院有限公司, 成都 610061 2)中南大学资源与安全工程学院, 长沙 410083 3)同济大学土木工程学院, 上海 200092 苣通信作者, E鄄mail: nicekenny@ 126. com 摘 要 地下和边坡工程开挖常涉及岩体卸荷问题,采用 ABAQUS 软件中的扩展有限单元法( extended finite element method, XFEM)对开挖卸荷过程岩体内部裂纹的起裂扩展进行了模拟,通过计算裂纹尖端应力强度因子研究了其起裂特征,并探讨了 起裂影响因素,通过记录裂纹扩展形态研究了其动态演化模式. 结果表明,卸荷过程中卸荷速率越快,裂纹长度越长,倾角越 大,其起裂越容易;并且裂纹面受到的正应力不断减小,剪应力不断增大,裂纹扩展主要由剪应力控制,这与理论分析结果一 致. 裂纹最终扩展演化形态也与物理试验相近,充分表明运用扩展有限单元法研究岩体裂纹问题的可靠性. 关键词 岩体卸荷; 裂纹; 起裂扩展; 扩展有限单元法 分类号 TU457 Study on crack initiation and propagation in rock mass during unloading based on XFEM DENG Qing鄄lin 1,2) 苣 , ZHAO Guo鄄yan 2) , TAN Biao 3) , ZOU Yu鄄liang 2) , LI Xi鄄bing 2) 1) Southwest Geotechnical & Design Institute of China Nuclear Industry Co. Ltd. , Chengdu 610061, China 2) School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China 3) School of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China 苣Corresponding author, E鄄mail:nicekenny@ 126. com ABSTRACT Rock鄄mass unloading often occurs during underground and slope engineering excavations. Here, rock鄄mass crack initi鄄 ation and propagation during the excavation unloading progress was simulated using the extended finite element method (XFEM) in ABAQUS. Crack propagation and its influencing factors were studied and discussed after calculating the stress intensity factors at the crack tips, and by recording the crack爷s shape a dynamic evolution model was produced. The results show that the faster the unloading rate,the longer the crack,and the greater the crack dip angle, the easier the crack initiates. The normal stress on a crack surface de鄄 creases while shear stress increases during unloading, and that crack propagation is mainly controlled by shear stress. This is consist鄄 ent with the theoretical analysis. The final shape of the modeled crack was also close to the result of the physical experiments, indica鄄 ting the reliability of this study. KEY WORDS rock鄄mass unloading; crack; initiation and propagation; extended finite element method 收稿日期: 2016鄄鄄11鄄鄄02 基金项目: 国家自然科学基金面上资助项目(51374244) 进入 21 世纪以来,随着国民经济的飞速发展,我 国基础建设得以迅速推进,各类大型土木工程相继兴 建,各种资源能源被大量消耗,随之带来了各种复杂的 岩石力学工程问题. 例如在地下硬岩采矿工程方面, 愈来愈多的传统矿山被迫进入超千米深井开采阶 段[1鄄鄄2] ,其复杂多变的高应力环境,导致一系列片帮冒 顶、岩爆等灾害,严重威胁工作人员的生命财产安全, 需要研究找到更为理想的支护措施. 另外一些大型的

邓青林等：基于XFEM的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 ·1471· 水利水电工程，隧道工程以及边坡工程等，大埋深、高 陡坡和复杂地质的情形屡见不鲜，也急需解决各种边 1 坡与隧洞等岩体稳定性问题[)] (3) 解决上述岩体工程问题首先需要摸清岩体本身的 式中，(r,0)为以裂纹尖端为原点的极坐标系，0=0表 性质及其所处的受力状态.从岩体本身的性质来看， 示裂纹尖端的切线方向. 以下结论已经为各路学者达成共识，即天然岩体是含 ABAQUS自6.9版本起，引入了扩展有限单元法， 大量节理裂隙等缺陷的非均质体，岩体强度受控于这 至今已更新多个版本，应用较为成熟[).在该软件 些不连续面，而工程实践更是表明岩体的失稳破坏与 中，提供了两种用于扩展有限单元法的裂纹初始化及 其内部裂隙发育和演化贯通密切相关[4-].从岩体所 扩展方法，其中一种基于牵引-分离的黏性行为，另一 处受力状态看，基础工程多为受压岩体，边坡工程与地 种则基于线弹性断裂力学.他们均使用虚拟节点描述 下工程由于开挖而产生卸荷作用，岩体既受压也可能 裂纹单元的不连续性，只是节点分离准则不同，且都可 受拉[6]，故此，有必要区分加载和卸载时岩体的力学性 模拟任意路径的起裂及扩展过程，并且不必考虑裂纹 质，从而更准确对岩体工程变形做出预测，并采取必要 尖端渐进奇异性，只需关注穿过含裂纹单元的位移跳 及时的加固措施.本文针对卸荷过程中岩体内部裂隙 跃.因此，裂纹一次扩展需穿过一个完整单元，以避免 演化问题进行研究，力求为岩体工程稳定性预测及支 建模时考虑应力奇异 护提供理论依据. 在ABAQUS中使用扩展有限元法模拟时，除常规 对于岩石断裂问题的研究，除理论上的发展外，主 建模方法外，需要指定一些特定项目，如裂纹扩展区 要包括试验和数值模拟两种方式，其中数值模拟因能 域，扩展路径（一般为任意与解相关路径）以及裂纹初 有效解决时间、费用及尺寸问题而备受推崇，岩土工程 始位置等.采用最大主应力准则产生初始损伤 数值模拟方法主要包括有限单元法、有限差分法、边界 =2 (4) 元法、离散元法等等，其中有限单元法在处理连续介质 问题方面已得到各行各业广泛认可，但在处理不连续 式中，σ为临界最大主应力，符号〈〉表示纯压缩不会 问题时，其受限于网格划分而具有诸多不便之处，近年 产生初始损伤，当式中比例值达到某一特定临界值时， 来引入间断形函数的扩展有限单元法(XFEM)解决了 开始产生初始损伤 裂尖扩展网格重划分复杂的问题，并且保持了传统有 2岩体卸荷过程裂隙扩展模拟方案 限单元法的全部优良特性？)]，因此可作为模拟岩体 不连续问题的上佳选择 采用黄达与黄润秋[)的物理模型试验B方案，研 究开挖卸荷作用下岩体裂隙扩展演化规律.建立尺寸 1扩展有限单元法 为100mm×100mm×100mm岩体三维模型，内置裂纹 扩展有限单元法于1999年被美国西北大学Be- 长度为50mm,如图1所示.模型下部和左端添加法向 lytschko课题组首次提出[o],可视作有限单元法的扩 位移约束，上部施加的竖直压应力，右端施加σ3= 展和延伸，其利用单位分解法的思想，将有限元形函数 1.05MPa的水平压应力，分别代表围岩体自重应力和 水平应力 视作单位分解函数，而不连续位移则引入加强函数来 描述，因此，扩展有限元不仅解决了裂纹扩展时网格重 材料及力学参数：试样由多种材料混合而成，质 量配比为重晶石：石英砂：水泥：石膏：水=50：20：5：2： 划分难的问题，并且继承了常规有限元的优点，在解决 不连续问题上具有非常大的优势).其位移模式可 y 用下式表达 式中，N,(x)为节点位移形函数，u:表示有限元求解 的连续部分，a:与b:表示节点自由度扩展向量， H(x)为沿裂纹面间断跳跃函数，仅对被裂纹内部 品 面 切开的单元有效，F。(x)表示裂纹尖端应力渐进函 数，仅对被裂纹尖端切开的单元有效，它们的表达 式为 8A点石点点&7 裂纹一侧； 图1岩体开挖卸荷三维模型 H(x)= 裂纹另一侧. (2) Fig.1 Model of rock-mass excavation unloading

邓青林等: 基于 XFEM 的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 水利水电工程,隧道工程以及边坡工程等,大埋深、高 陡坡和复杂地质的情形屡见不鲜,也急需解决各种边 坡与隧洞等岩体稳定性问题[3] . 解决上述岩体工程问题首先需要摸清岩体本身的 性质及其所处的受力状态. 从岩体本身的性质来看, 以下结论已经为各路学者达成共识,即天然岩体是含 大量节理裂隙等缺陷的非均质体,岩体强度受控于这 些不连续面,而工程实践更是表明岩体的失稳破坏与 其内部裂隙发育和演化贯通密切相关[4鄄鄄5] . 从岩体所 处受力状态看,基础工程多为受压岩体,边坡工程与地 下工程由于开挖而产生卸荷作用,岩体既受压也可能 受拉[6] ,故此,有必要区分加载和卸载时岩体的力学性 质,从而更准确对岩体工程变形做出预测,并采取必要 及时的加固措施. 本文针对卸荷过程中岩体内部裂隙 演化问题进行研究,力求为岩体工程稳定性预测及支 护提供理论依据. 对于岩石断裂问题的研究,除理论上的发展外,主 要包括试验和数值模拟两种方式,其中数值模拟因能 有效解决时间、费用及尺寸问题而备受推崇,岩土工程 数值模拟方法主要包括有限单元法、有限差分法、边界 元法、离散元法等等,其中有限单元法在处理连续介质 问题方面已得到各行各业广泛认可,但在处理不连续 问题时,其受限于网格划分而具有诸多不便之处,近年 来引入间断形函数的扩展有限单元法(XFEM)解决了 裂尖扩展网格重划分复杂的问题,并且保持了传统有 限单元法的全部优良特性[7鄄鄄9] ,因此可作为模拟岩体 不连续问题的上佳选择. 1 扩展有限单元法 扩展有限单元法于 1999 年被美国西北大学 Be鄄 lytschko 课题组首次提出[10] ,可视作有限单元法的扩 展和延伸,其利用单位分解法的思想,将有限元形函数 视作单位分解函数,而不连续位移则引入加强函数来 描述,因此,扩展有限元不仅解决了裂纹扩展时网格重 划分难的问题,并且继承了常规有限元的优点,在解决 不连续问题上具有非常大的优势[11] . 其位移模式可 用下式表达 u = 移 N i = 1 Ni(x) [ ui + H(x)ai + 移 4 茁 = 1 F茁 (x)b 茁 i ]. (1) 式中,Ni( x) 为节点位移形函数,ui 表示有限元求解 的连续 部 分, ai 与 bi 表 示 节 点 自 由 度 扩 展 向 量, H( x) 为沿裂纹面间断跳跃函数,仅对被裂纹内部 切开的单元有效,F茁 ( x) 表示裂纹尖端应力渐进函 数,仅对被裂纹尖端切开的单元有效,它们的表达 式为 H(x) = 1, 裂纹一侧; { - 1, 裂纹另一侧. (2) F茁 (x) = r [ sin 兹 2 ,cos 兹 2 ,sin 兹sin 兹 2 ,sin 兹cos 兹 ] 2 . (3) 式中,(r,兹)为以裂纹尖端为原点的极坐标系,兹 = 0 表 示裂纹尖端的切线方向. ABAQUS 自 6郾 9 版本起,引入了扩展有限单元法, 至今已更新多个版本,应用较为成熟[12] . 在该软件 中,提供了两种用于扩展有限单元法的裂纹初始化及 扩展方法,其中一种基于牵引鄄鄄 分离的黏性行为,另一 种则基于线弹性断裂力学. 他们均使用虚拟节点描述 裂纹单元的不连续性,只是节点分离准则不同,且都可 模拟任意路径的起裂及扩展过程,并且不必考虑裂纹 尖端渐进奇异性,只需关注穿过含裂纹单元的位移跳 跃. 因此,裂纹一次扩展需穿过一个完整单元,以避免 建模时考虑应力奇异. 在 ABAQUS 中使用扩展有限元法模拟时,除常规 建模方法外,需要指定一些特定项目,如裂纹扩展区 域,扩展路径(一般为任意与解相关路径)以及裂纹初 始位置等. 采用最大主应力准则产生初始损伤 f = { 掖滓max业 滓 o m } ax . (4) 式中,滓 o max为临界最大主应力,符号掖 业表示纯压缩不会 产生初始损伤,当式中比例值达到某一特定临界值时, 开始产生初始损伤. 2 岩体卸荷过程裂隙扩展模拟方案 采用黄达与黄润秋[13]的物理模型试验 B 方案,研 究开挖卸荷作用下岩体裂隙扩展演化规律. 建立尺寸 为 100 mm 伊 100 mm 伊 100 mm 岩体三维模型,内置裂纹 长度为 50 mm,如图 1 所示. 模型下部和左端添加法向 位移约束,上部施加的竖直压应力,右端施加 滓3 = 1郾 05 MPa 的水平压应力,分别代表围岩体自重应力和 水平应力. 图 1 岩体开挖卸荷三维模型 Fig. 1 Model of rock鄄mass excavation unloading 材料及力学参数:试样由多种材料混合而成,质 量配比为重晶石颐 石英砂颐 水泥颐 石膏颐 水 = 50颐 20颐 5颐 2颐 ·1471·

·1472· 工程科学学报，第39卷，第10期 6,力学参数如表1所示 对上式稍作变形有 表1岩体力学参数 .=[a,1+ms(2a)+a,1-m(2a)】. Table 1 Mechanical parameters of the rock mass (6) 密度/ 泊松比，弹性模量，内摩擦角， 黏聚力， (m3) E/GPa p/() c/MPa 开挖卸荷时，σ3不断减小，易知在σ，和α保持不 2.30 0.19 3.45 46.54 0.51 变的情况下，裂隙面上的正应力σ将不断减小，而剪 应力？则不断增大，加之拉应力T的影响，可知卸荷时 试验方案：将水平应力和竖向应力升高至设计水 岩体内部裂隙是因拉剪复合作用而扩展的 平，保持竖向应力不变，水平应力以每级0.15MPa的 岩体开始进行开挖时，卸荷量较小，因而差异变形 速率卸荷，表示岩体开挖应力释放过程：若试样在卸荷 产生的拉应力T较小，正应力σ则相对较大，因此裂 至零之前未破坏，则增大σ，直至其破坏. 隙附近岩体主要受到压应力作用，但卸荷作用将引起 含裂纹问题的求解是一个非线性不连续问题，因 剪应力？增大，这可能促使裂纹尖端出现一定方向的 此需要在ABAQUS分析步中打开非线性开关，在求解 微小拉裂隙：当卸荷量不断加大时，正应力σ进一步 控制器中指定为不连续分析.为观察裂纹动态扩展， 减小，剪应力？进一步增大，而拉应力T也将明显增 在接触设置里勾上允许裂纹扩展选项，在场输出中选 大，这必将导致裂隙扩展方向的偏离，偏离影响程度与 上输出水平集值(level set value phi,PHISM)以及允许 拉应力T在垂直裂隙方向的分量Tsina相关，亦即与 查看扩展有限单元法状态(STATUSXFEM).同时为提 裂隙的倾角α相关.简单来说，倾角较大时，上述影响 高模型求解收敛性，可作一些相关设置，如提高最大增 较大，倾角较小时的影响较小 量步数与迭代次数等 由式(5)可知，在σ，和σ，保持恒定的条件下，随 3模拟结果对比分析 着裂隙面与卸荷方向的夹角α增大，裂隙面上作用的 正应力σ将不断减小，而剪应力？将不断增大，即裂 3.1理论分析 隙的起裂变得越容易. 以图2所示的二维含裂隙岩体模型分析卸荷作用 当保持其他条件不变时，改变岩体开挖卸荷速率 下岩体的受力变形机理.岩体受到竖向应力σ，作用， 将对裂隙起裂产生影响.随着卸荷速率的改变，必将 开挖卸荷面受法向应力σ，作用，裂隙倾角为α. 引起裂隙两侧岩体差异回弹变形量的改变，进而导致 拉应力T发生变化，结合上述分析可知，卸荷速率越 大，越容易导致裂隙的起裂，反之，裂隙起裂越困难 3.2裂隙起裂特征分析 3.2.1卸荷作用下裂纹扩展演化模式 分别记录30°和60倾角下裂纹的演化扩展过程， d 并将裂纹最终扩展形态与物理模型试验做了对比，如 图3和图4所示.由图可看出，开始施加压应力的时 时 候，并未使得裂纹发生开裂，只是裂隙被压密，并在裂 尖出现应力集中.裂隙倾角为30时，卸荷结束并未使 RRRRR A高 得裂隙起裂，起裂发生在再次加载后（第6步）：而裂 图2岩体御荷受力机理分析图 Fig.2 Mechanical analysis of rock-mass unloading 隙倾角为60时，在卸荷过程中裂隙就出现了起裂（第 40步).对15°、45°和75倾角的裂隙也作了相同条件 实践表明，卸荷将引起岩体不同位置的变形差异， 距离卸荷自由面（即图2右侧面）越远的岩体，其产生 下的模拟，发现15时裂隙起裂发生在再次加载过程 中（第22步），45°和75°分别发生在卸荷第98和14 的差异回弹变形量越小，即位于裂隙两侧的岩体变形 不同，这将导致裂隙附近岩体形成与卸荷面垂直的拉 步，说明裂隙倾角越大，岩体卸荷过程中裂隙起裂越容 应力T,见图2. 易，该结论验证了上节理论分析结果 根据弹性力学相关知识，裂隙面上作用的正应力 随着卸荷的进行，裂尖应力集中程度越来越高，最 0与剪应力r公式为4] 终达到岩体开裂强度临界值，从而使得裂纹起裂并以 一定的扩展角扩展，其整体偏向于与卸荷面平行的方 .=2[(a,+,)+(,-,)s(2)], 向，由于差异回弹变形产生拉应力T,裂隙扩展方向与 (5) 1 开挖卸荷方向（拉应力方向）并不垂直，而是呈一定的 7=2（1-o3）sin(2a). 角度.倾角越大，其偏离程度也越大，这与上节的理论

工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 6,力学参数如表 1 所示. 表 1 岩体力学参数 Table 1 Mechanical parameters of the rock mass 密度/ (t·m - 3 ) 泊松比, v 弹性模量, E/ GPa 内摩擦角, 渍/ (毅) 黏聚力, c/ MPa 2郾 30 0郾 19 3郾 45 46郾 54 0郾 51 试验方案:将水平应力和竖向应力升高至设计水 平,保持竖向应力不变,水平应力以每级 0郾 15 MPa 的 速率卸荷,表示岩体开挖应力释放过程;若试样在卸荷 至零之前未破坏,则增大 滓1 直至其破坏. 含裂纹问题的求解是一个非线性不连续问题,因 此需要在 ABAQUS 分析步中打开非线性开关,在求解 控制器中指定为不连续分析. 为观察裂纹动态扩展, 在接触设置里勾上允许裂纹扩展选项,在场输出中选 上输出水平集值(level set value phi,PHISM)以及允许 查看扩展有限单元法状态( STATUSXFEM). 同时为提 高模型求解收敛性,可作一些相关设置,如提高最大增 量步数与迭代次数等. 3 模拟结果对比分析 3郾 1 理论分析 以图 2 所示的二维含裂隙岩体模型分析卸荷作用 下岩体的受力变形机理. 岩体受到竖向应力 滓1作用, 开挖卸荷面受法向应力 滓3作用,裂隙倾角为 琢. 图 2 岩体卸荷受力机理分析图 Fig. 2 Mechanical analysis of rock鄄mass unloading 实践表明,卸荷将引起岩体不同位置的变形差异, 距离卸荷自由面(即图 2 右侧面)越远的岩体,其产生 的差异回弹变形量越小,即位于裂隙两侧的岩体变形 不同,这将导致裂隙附近岩体形成与卸荷面垂直的拉 应力 T,见图 2. 根据弹性力学相关知识,裂隙面上作用的正应力 滓n与剪应力 子 公式为[14] 滓n = 1 2 [(滓1 + 滓3 ) + (滓1 - 滓3 )·cos (2琢)], 子 = 1 2 (滓1 - 滓3 )·sin (2琢) ì î í ï ï ï ï . (5) 对上式稍作变形有 滓n = 1 2 [滓1 (1 + cos (2琢)) + 滓3 (1 - cos (2琢))]. (6) 开挖卸荷时,滓3不断减小,易知在 滓1 和 琢 保持不 变的情况下,裂隙面上的正应力 滓n将不断减小,而剪 应力 子 则不断增大,加之拉应力 T 的影响,可知卸荷时 岩体内部裂隙是因拉剪复合作用而扩展的. 岩体开始进行开挖时,卸荷量较小,因而差异变形 产生的拉应力 T 较小,正应力 滓n则相对较大,因此裂 隙附近岩体主要受到压应力作用,但卸荷作用将引起 剪应力 子 增大,这可能促使裂纹尖端出现一定方向的 微小拉裂隙;当卸荷量不断加大时,正应力 滓n进一步 减小,剪应力 子 进一步增大,而拉应力 T 也将明显增 大,这必将导致裂隙扩展方向的偏离,偏离影响程度与 拉应力 T 在垂直裂隙方向的分量 Tsin琢 相关,亦即与 裂隙的倾角 琢 相关. 简单来说,倾角较大时,上述影响 较大,倾角较小时的影响较小. 由式(5)可知,在 滓1和 滓3保持恒定的条件下,随 着裂隙面与卸荷方向的夹角 琢 增大,裂隙面上作用的 正应力 滓n将不断减小,而剪应力 子 将不断增大,即裂 隙的起裂变得越容易. 当保持其他条件不变时,改变岩体开挖卸荷速率 将对裂隙起裂产生影响. 随着卸荷速率的改变,必将 引起裂隙两侧岩体差异回弹变形量的改变,进而导致 拉应力 T 发生变化,结合上述分析可知,卸荷速率越 大,越容易导致裂隙的起裂,反之,裂隙起裂越困难. 3郾 2 裂隙起裂特征分析 3郾 2郾 1 卸荷作用下裂纹扩展演化模式 分别记录 30毅和 60毅倾角下裂纹的演化扩展过程, 并将裂纹最终扩展形态与物理模型试验做了对比,如 图 3 和图 4 所示. 由图可看出,开始施加压应力的时 候,并未使得裂纹发生开裂,只是裂隙被压密,并在裂 尖出现应力集中. 裂隙倾角为 30毅时,卸荷结束并未使 得裂隙起裂,起裂发生在再次加载后(第 6 步);而裂 隙倾角为 60毅时,在卸荷过程中裂隙就出现了起裂(第 40 步). 对 15毅、45毅和 75毅倾角的裂隙也作了相同条件 下的模拟,发现 15毅时裂隙起裂发生在再次加载过程 中(第 22 步),45毅和 75毅分别发生在卸荷第 98 和 14 步,说明裂隙倾角越大,岩体卸荷过程中裂隙起裂越容 易,该结论验证了上节理论分析结果. 随着卸荷的进行,裂尖应力集中程度越来越高,最 终达到岩体开裂强度临界值,从而使得裂纹起裂并以 一定的扩展角扩展,其整体偏向于与卸荷面平行的方 向,由于差异回弹变形产生拉应力 T,裂隙扩展方向与 开挖卸荷方向(拉应力方向)并不垂直,而是呈一定的 角度. 倾角越大,其偏离程度也越大,这与上节的理论 ·1472·

邓青林等：基于X℉EM的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 .1473· d 图3岩体卸荷30°倾角裂纹扩展演化规律.(a)加载结束：(b)卸荷结束：(c)加载第6步：(d)加载第20步：（©）试验结果 Fig.3 Crack propagation in unloading rock mass (crack angle=30):(a)the end of loading;(b)the end of unloading;(e)Step 6 of loading;(d) Step 20 of loading;(e)test result a h e 图4岩体卸荷60°倾角裂纹扩展演化规律.(a)加载结束：(b)卸荷第40步：(c)卸荷第80步：(d)卸荷第452步：(c)试验结果 Fig.4 Crack propagation in unloading rock mass (crack angle=60):(a)the end of loading;(b)Step 40 of loading;;(c)Step 80 of loading;(d) Step 452 of loading;(e)test result 分析也是一致的.最后裂隙贯通整个模型使其发生断 式为： 裂.裂纹扩展演化最终形态与物理模型相近，如图3 [KR=K1/KR, 所示，充分说明了模拟的可靠性和有效性 KR =K1/KR, (7) 3.2.2卸荷全过程裂尖应力强度因子分布变化规律 在软件的分析步中将非线性关闭，同时将允许裂 KR=K/KR 纹扩展的勾去掉，即设置为含静态裂纹模型.在历史 式中：K,K,和K分别为I、Ⅱ和Ⅲ型应力强度因子， 输出中对裂纹设置围道积分，围道数为5，选择最大切 K{、K:和K:分别为量纲一的I、Ⅱ和Ⅲ型应力强度 向应力准则，以后四项平均数计算裂尖应力强度因子， 因子，K的表达式如下. 积分点沿着裂纹上端z轴方向。为了方便对比分析， K.=g。√ma/[1+1.464(a/b)T.(8) 将应力强度因子K量纲一，根据相关文献[]，其公 式中，a和b分别为椭圆裂隙长短轴长度.本文将分别

邓青林等: 基于 XFEM 的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 图 3 岩体卸荷 30毅倾角裂纹扩展演化规律. (a)加载结束;(b)卸荷结束;(c)加载第 6 步;(d) 加载第 20 步;(e)试验结果 Fig. 3 Crack propagation in unloading rock mass (crack angle = 30毅):(a)the end of loading;(b)the end of unloading;(c) Step 6 of loading;( d) Step 20 of loading;(e)test result 图 4 岩体卸荷 60毅倾角裂纹扩展演化规律. (a)加载结束;(b)卸荷第 40 步;(c) 卸荷第 80 步;(d) 卸荷第 452 步;(e)试验结果 Fig. 4 Crack propagation in unloading rock mass (crack angle = 60毅):(a)the end of loading;(b)Step 40 of loading;;(c)Step 80 of loading;( d) Step 452 of loading;(e)test result 分析也是一致的. 最后裂隙贯通整个模型使其发生断 裂. 裂纹扩展演化最终形态与物理模型相近,如图 3 所示,充分说明了模拟的可靠性和有效性. 3郾 2郾 2 卸荷全过程裂尖应力强度因子分布变化规律 在软件的分析步中将非线性关闭,同时将允许裂 纹扩展的勾去掉,即设置为含静态裂纹模型. 在历史 输出中对裂纹设置围道积分,围道数为 5,选择最大切 向应力准则,以后四项平均数计算裂尖应力强度因子, 积分点沿着裂纹上端 z 轴方向. 为了方便对比分析, 将应力强度因子 K 量纲一,根据相关文献[15] ,其公 式为: K 玉 R = K玉 / KR , K 域 R = K域 / KR , K 芋 R = K芋 / KR ì î í ïï ïï . (7) 式中:K玉 、K域 和 K芋 分别为玉、域和芋型应力强度因子, K 玉 R 、K 域 R 和 K 芋 R 分别为量纲一的玉、域和芋型应力强度 因子,KR 的表达式如下. KR = 滓n 仔a / [1 + 1郾 464 (a / b) 1郾 65 ]. (8) 式中,a 和 b 分别为椭圆裂隙长短轴长度. 本文将分别 ·1473·

·1474· 工程科学学报，第39卷，第10期 用裂纹长宽L和W代替之 I型应力强度因子值随着试验进行其绝对值不断减 以含60°倾角裂纹岩体为例，计算每一步卸荷时 小，这是模型受压应力的原因.Ⅱ型应力强度因子则 裂纹尖端的应力强度因子，并用量纲一方法求得最终 不断增大，而Ⅲ型应力强度因子呈旋转对称分布状，每 结果，说明卸荷全过程裂尖应力强度因子的分布变化 一点的绝对值均沿正向不断增大 规律. 由此可得出，在开挖卸荷过程中，I型应力强 将60倾角裂纹岩体卸荷全过程裂尖I、Ⅱ和Ⅲ 度因子对岩体裂纹扩展的控制增强，Ⅱ和Ⅲ型尤其 型应力强度因子分布变化规律分别绘于图5(a)~(c) 是Ⅱ型应力强度因子的控制作用也增大，即卸荷过 中，可见它们的变化特征均非常明显.I型应力强度 程中裂纹扩展主要由剪应力控制，裂纹面受到的正 因子与Ⅱ型应力强度因子均沿z轴方向以裂尖中点为 应力不断减小，剪应力不断增大，这与理论分析是 中心对称分布，最大值基本都出现在两端，不同的是， 相符的 -0.2 0.60 一加载 一加截 -0.3 ,·第一步卸荷 0.55 ·第一步卸荷 第二步卸荷 第二步卸荷 4人44十无第三步辄 0.50 零第三步卸荷 ◆第四步卸荷 4←44◆第四步卸荷 0.5人◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆十第五步御荷 0.45 ◆第五步卸荷 一第六步卸荷 第六步卸荷 -0.6平◆第七步御荷 从学甲平平甲学氧”书七步印问 0.40 0.7 A山小小小小山山山4 0.35 -0.8 0.30 华春。路电 0.0246810214161820224 0.2502468101214161820224 积分点 积分点 (a ) 0.15m 一加线 ·第一步卸荷 0.12 +第二步卸荷 0.09 第三步御荷 ◆第四步卸荷 0.06 ←第五步卸荷 0.03 第六步卸荷 ◆第七步卸荷 0 -0.03 -0.06 -0.09 -0.12 -0.15024681012141618202224 积分点 (c) 图5卸荷60°倾角裂纹I(a)、Ⅱ(b)和Ⅲ(c)型应力强度因子分布规律 Fig.5 Distribution of stress intensity factor I(a)、Ⅱ(b)andⅢ(e)ofa60°crack 3.2.3不同长度裂纹对应力强度因子的影响 后大的趋势 仍以60°倾角裂纹为研究对象，保持上述卸荷速 综合以上分析，可得出结论：当裂纹倾角保持不变 率，分别改变裂纹长度为30、40和60mm,计算相应裂 时，裂纹长度对卸荷条件下裂纹起裂扩展具有较大的 尖应力强度因子 影响，即裂纹越长，其达到起裂的强度越小，裂纹越容 因不同长度下应力强度因子分布规律与50mm时 易发生扩展 类似，故此处仅以每个卸荷步最大值进行比较，分别将 3.2.4不同卸荷速率对岩体裂纹起裂的影响 四种长度下I、Ⅱ和Ⅲ型应力强度因子的变化绘于图 仍以60倾角裂纹为研究对象，裂纹长度50mm, 6(a)~(c)中，其中横坐标表示各个卸荷步.可以看 分别改变每步卸荷量为0.21、0.35和1.05MPa,即分 出，裂纹长度越长，I型应力强度因子绝对值越大，且 别以5次、3次和1次完成卸荷.计算每种卸荷方式下 在卸荷过程中，均不断减小，最终值相差不大，即越长 裂尖的I、Ⅱ和Ⅲ型应力强度因子随御荷步的值，取其 的裂纹下降速度越快.Ⅱ型应力强度因子随着裂纹长 中每一步的最大值，分别绘于图7(a)~(c)中. 度的增加而不断加大，相邻长度裂纹差值保持一个微 由于是求的静态不扩展下的应力强度因子值，因 小的变化.而Ⅲ型应力强度因子随长度加大呈现先小 此其最终强度值相等.由这三图可以看出，由于相同

工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 用裂纹长宽 L 和 W 代替之. 以含 60毅倾角裂纹岩体为例,计算每一步卸荷时 裂纹尖端的应力强度因子,并用量纲一方法求得最终 结果,说明卸荷全过程裂尖应力强度因子的分布变化 规律. 将 60毅倾角裂纹岩体卸荷全过程裂尖玉、域和芋 型应力强度因子分布变化规律分别绘于图 5(a) ~ (c) 中,可见它们的变化特征均非常明显. 玉型应力强度 因子与域型应力强度因子均沿 z 轴方向以裂尖中点为 中心对称分布,最大值基本都出现在两端,不同的是, 玉型应力强度因子值随着试验进行其绝对值不断减 小,这是模型受压应力的原因. 域型应力强度因子则 不断增大,而芋型应力强度因子呈旋转对称分布状,每 一点的绝对值均沿正向不断增大. 由此可得出,在开挖卸荷过程中,玉型应力强 度因子对岩体裂纹扩展的控制增强,域和芋型尤其 是域型应力强度因子的控制作用也增大,即卸荷过 程中裂纹扩展主要由剪应力控制,裂纹面受到的正 应力不断减小,剪应力不断增大,这与理论分析是 相符的. 图 5 卸荷 60毅倾角裂纹玉(a)、域(b)和芋(c)型应力强度因子分布规律 Fig. 5 Distribution of stress intensity factor 玉(a)、域(b) and 芋(c) of a 60毅 crack 3郾 2郾 3 不同长度裂纹对应力强度因子的影响 仍以 60毅倾角裂纹为研究对象,保持上述卸荷速 率,分别改变裂纹长度为 30、40 和 60 mm,计算相应裂 尖应力强度因子. 因不同长度下应力强度因子分布规律与 50 mm 时 类似,故此处仅以每个卸荷步最大值进行比较,分别将 四种长度下玉、域和芋型应力强度因子的变化绘于图 6(a) ~ ( c)中,其中横坐标表示各个卸荷步. 可以看 出,裂纹长度越长,玉型应力强度因子绝对值越大,且 在卸荷过程中,均不断减小,最终值相差不大,即越长 的裂纹下降速度越快. 域型应力强度因子随着裂纹长 度的增加而不断加大,相邻长度裂纹差值保持一个微 小的变化. 而芋型应力强度因子随长度加大呈现先小 后大的趋势. 综合以上分析,可得出结论:当裂纹倾角保持不变 时,裂纹长度对卸荷条件下裂纹起裂扩展具有较大的 影响,即裂纹越长,其达到起裂的强度越小,裂纹越容 易发生扩展. 3郾 2郾 4 不同卸荷速率对岩体裂纹起裂的影响 仍以 60毅倾角裂纹为研究对象,裂纹长度 50 mm, 分别改变每步卸荷量为 0郾 21、0郾 35 和 1郾 05 MPa,即分 别以 5 次、3 次和 1 次完成卸荷. 计算每种卸荷方式下 裂尖的玉、域和芋型应力强度因子随卸荷步的值,取其 中每一步的最大值,分别绘于图 7(a) ~ (c)中. 由于是求的静态不扩展下的应力强度因子值,因 此其最终强度值相等. 由这三图可以看出,由于相同 ·1474·

邓青林等：基于XFEM的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 ·1475· 02[ -0.2 --30mm (b) -量-30mm ◆40mm ◆-40mmi 50 mm ▲50mm -0.4 60 mm -0.4 60 mm -0.6 0.6 -0.8 -0.8 10 -1.0 78 6 78 卸荷步 卸荷步 03d 量-30mm ◆40mm 0.2 -50 mm 60 mm 0.1 -0.1 020 345678 卸荷步 图6不同长度裂纹I(a)、Ⅱ(b)和Ⅲ(c)型应力强度因子随卸荷步变化规律 Fig.6 Variationin stress intensity factors I(a）、Ⅱ(b）andⅢ(c)of different crack lengths along with unloading steps 倾角裂纹起裂强度一定，每步卸荷量越大，越先达到起 deep mining engineering.Chin Rock Mech Eng,2005,24 裂的临界值，即卸荷速率越快，越容易造成裂纹起裂 (16):2803 该结论与3.1节的分析也是一致的. (何满潮，谢和平，彭苏萍，等.深部开采岩体力学研究.岩石 力学与工程学报，2005,24(16)：2803) 4结论 [2]Li X B.Yao JR.Gong FQ.Dynamic problems in deep exploita- tion of hard rock metal mines.Chin J Nonferr Metal,2011,21 本文采用扩展有限元方法模拟研究了岩体卸荷过 (10):2551 程裂隙的起裂扩展，得出以下结论 (李夕兵，姚金蕊，官凤强.硬岩金属矿山深部开采中的动力 (1)通过记录不同倾角裂隙演化状况，发现倾角 学问题.中国有色金属学报，2011,21(10)：2551) 越大，岩体卸荷过程中裂隙起裂越容易，裂隙最终演化 [3]Zhang S R,Tan Y S,Wang C,et al.Research on deformation 状态符合理论分析结果，并与物理模型试验结果接近， failure mechanism and stability of slope rock masscontaining multi- 说明了模拟的可靠性 weak interlayers.Rock Soil Mech,2014,35(6):1695 (张社荣，谭尧升，王超，等.多层软弱夹层边坡岩体破坏机 (2)通过计算60°倾角时每一步卸荷时的应力强 制与稳定性研究.岩土力学，2014,35(6)：1695) 度因子，发现在开挖卸荷过程中，I型应力强度因子对 [4]Li Q Y,Dong L J,Li X B,et al.Effects of sonic speed on loca- 岩体裂纹扩展的控制减弱，Ⅱ和Ⅲ型尤其是Ⅱ型应力 tion accuracy of acoustic emission source in rocks.Trans Nonfer- 强度因子的控制作用则增大，即卸荷过程中裂纹扩展 rous Met Soc China,2011,21(12):2719 主要由剪应力控制，裂纹面受到的正应力不断减小，剪 [5] Gong F Q,Li X B.A distance discriminant analysis method for 应力不断增大，这与理论分析是相符的. prediction of possibility and classification of rock burst and its ap- (3)通过计算研究了60°倾角时不同长度、卸荷速 plication.Chin J Rock Mech Eng,2007,26(5):1012 (宫凤强，李夕兵.岩爆发生和烈度分级预测的距离判别方法 率的应力强度因子随卸荷步的变化，发现裂隙长度越 及应用.岩石力学与工程学报，2007,26(5)：1012) 长，卸荷速率越快，起裂越容易 [6]Zhou X P,Zhang Y X.Unloading Rock Mass Constitutire Theory and Its Application.Beijing:Science Press,2007 参考文献 (周小平，张永兴.卸荷岩体本构理论及其应用.北京：科学 [1]He M C,Xie H P,Peng S P,et al.Study on rock mechanies in 出版社，2007)

邓青林等: 基于 XFEM 的岩体卸荷过程裂纹起裂扩展规律研究 图 6 不同长度裂纹玉(a)、域(b)和芋(c)型应力强度因子随卸荷步变化规律 Fig. 6 Variationin stress intensity factors玉(a)、域(b) and 芋(c) of different crack lengths along with unloading steps 倾角裂纹起裂强度一定,每步卸荷量越大,越先达到起 裂的临界值,即卸荷速率越快,越容易造成裂纹起裂. 该结论与 3郾 1 节的分析也是一致的. 4 结论 本文采用扩展有限元方法模拟研究了岩体卸荷过 程裂隙的起裂扩展,得出以下结论. (1)通过记录不同倾角裂隙演化状况,发现倾角 越大,岩体卸荷过程中裂隙起裂越容易,裂隙最终演化 状态符合理论分析结果,并与物理模型试验结果接近, 说明了模拟的可靠性. (2)通过计算 60毅倾角时每一步卸荷时的应力强 度因子,发现在开挖卸荷过程中,玉型应力强度因子对 岩体裂纹扩展的控制减弱,域和芋型尤其是域型应力 强度因子的控制作用则增大,即卸荷过程中裂纹扩展 主要由剪应力控制,裂纹面受到的正应力不断减小,剪 应力不断增大,这与理论分析是相符的. (3)通过计算研究了 60毅倾角时不同长度、卸荷速 率的应力强度因子随卸荷步的变化,发现裂隙长度越 长,卸荷速率越快,起裂越容易. 参 考 文 献 [1] He M C, Xie H P, Peng S P, et al. Study on rock mechanics in deep mining engineering. Chin J Rock Mech Eng, 2005, 24 (16): 2803 (何满潮,谢和平,彭苏萍,等. 深部开采岩体力学研究. 岩石 力学与工程学报, 2005, 24(16): 2803) [2] Li X B, Yao J R, Gong F Q. Dynamic problems in deep exploita鄄 tion of hard rock metal mines. Chin J Nonferr Metal, 2011, 21 (10): 2551 (李夕兵,姚金蕊,宫凤强. 硬岩金属矿山深部开采中的动力 学问题. 中国有色金属学报, 2011, 21(10): 2551) [3] Zhang S R, Tan Y S, Wang C, et al. Research on deformation failure mechanism and stability of slope rock masscontaining multi鄄 weak interlayers. Rock Soil Mech, 2014, 35(6): 1695 (张社荣, 谭尧升, 王超, 等. 多层软弱夹层边坡岩体破坏机 制与稳定性研究. 岩土力学, 2014, 35(6): 1695) [4] Li Q Y, Dong L J, Li X B, et al. Effects of sonic speed on loca鄄 tion accuracy of acoustic emission source in rocks. Trans Nonfer鄄 rous Met Soc China, 2011, 21(12): 2719 [5] Gong F Q, Li X B. A distance discriminant analysis method for prediction of possibility and classification of rock burst and its ap鄄 plication. Chin J Rock Mech Eng, 2007, 26(5): 1012 (宫凤强,李夕兵. 岩爆发生和烈度分级预测的距离判别方法 及应用. 岩石力学与工程学报, 2007, 26(5): 1012) [6] Zhou X P, Zhang Y X. Unloading Rock Mass Constitutive Theory and Its Application. Beijing: Science Press, 2007 (周小平, 张永兴. 卸荷岩体本构理论及其应用. 北京: 科学 出版社, 2007) ·1475·

·1476· 工程科学学报，第39卷，第10期 02 0.60m (b) 0.3 0.55 -0.4 0.50 -05 0.45 -0.6 0.40 -0.15MPa -0.15MPa 0.7 ◆-0.21MPa 0.35 --0.21 MPa 4-0.35MPa ▲-0.35MPa 0.8 -1.05MPa 0.30 -1.05MPa 090 4 5678 0.256 1 2 345 678 卸荷步 卸荷步 0.14[⊙T 012 0.10 0.08 0.06 思 0.04 --0.15MPa 0.02 --0.21 MPa 04 ▲-0.35MPa -1.05MPa -0.02 0.046 12345678 卸荷步 图7不同卸荷速率【()、Ⅱ(b)和Ⅲ(c)型应力强度因子随卸荷步变化规律 Fig.7 Variation in stress intensity factors I (a)(b)and(c)of different unloading velocities along with unloading steps [7]Zhuang X Y,Chun J W,Zhu HH.A comparative study on un- [12]SIMULIA.Abaqus 6.14 Documentation.EB/OL].http:// filled and filled crack propagation for rock-like brittle material. wufengyun.com:888/.2015 Theor Appl Fract Mech,2014,72:110 [13]Huang D,Huang R Q.Physical model test on deformation failure [8]Yu T T.The extended finite element method (XFEM)for discon- and crack propagation evolvement of fissured rocks under unloa- tinuous rock masses.Eng Computation,2011,28(3):340 ding.Chin J Rock Mech Eng,2010,29(3):502 [9]Deb D,Das K C.Extended finite element method for the analysis (黄达.黄润秋.卸荷条件下裂隙岩体变形破坏及裂纹扩展演化 of discontinuities in rock masses.Geotech Geol Eng,2010,28 的物理模型试验.岩石力学与工程学报.2010,29(3)：502) (5):643 [14]Xu Z L.Elastic Mechanics Biref Tutorial.4th Ed.Beijing: [10]Belytschko T,Black T.Elastic crack growth in finite elements Higher Education Press,2013 with minimal remeshing.Int Num Method Eng,1999,45(5): (徐芝纶.弹性力学简明教程.4版.北京：高等教育出版 601 社，2013) [11]Moes N,Dolbow J,Belytschko T.A finite element method for [15]Ayhan A 0.Mixed mode stress intensity factors for deflected and crack growth without remeshing.Int Num Method Eng,1999, inclined corner cracks in finite-thickness plates.Int/Fatigue, 46(1):131 2007,29(2):305

工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 图 7 不同卸荷速率玉(a)、域(b)和芋(c)型应力强度因子随卸荷步变化规律 Fig. 7 Variation in stress intensity factors玉(a)、域(b) and 芋(c) of different unloading velocities along with unloading steps [7] Zhuang X Y, Chun J W, Zhu H H. A comparative study on un鄄 filled and filled crack propagation for rock鄄like brittle material. Theor Appl Fract Mech, 2014, 72: 110 [8] Yu T T. The extended finite element method (XFEM) for discon鄄 tinuous rock masses. Eng Computation, 2011, 28(3): 340 [9] Deb D, Das K C. Extended finite element method for the analysis of discontinuities in rock masses. Geotech Geol Eng, 2010, 28 (5): 643 [10] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. Int J Num Method Eng, 1999, 45(5): 601 [11] Moes N, Dolbow J, Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing. Int J Num Method Eng, 1999, 46(1): 131 [12] SIMULIA. Abaqus 6郾 14 Documentation. [ EB/ OL ]. http: / / wufengyun. com:888 / . 2015 [13] Huang D, Huang R Q. Physical model test on deformation failure and crack propagation evolvement of fissured rocks under unloa鄄 ding. Chin J Rock Mech Eng, 2010, 29(3): 502 (黄达, 黄润秋. 卸荷条件下裂隙岩体变形破坏及裂纹扩展演化 的物理模型试验. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(3): 502) [14] Xu Z L. Elastic Mechanics Biref Tutorial. 4th Ed. Beijing: Higher Education Press, 2013 (徐芝纶. 弹性力学简明教程. 4 版. 北京: 高等教育出版 社, 2013) [15] Ayhan A O. Mixed mode stress intensity factors for deflected and inclined corner cracks in finite鄄thickness plates. Int J Fatigue, 2007, 29(2): 305 ·1476·