3.3流体运动的微分方程 1.理想液体的运动方程式 流体微元 ap + F=ma (p-Op Ay △ )△x△z-(p+ a2)AxAx2+p△Azf,=pAx△yA-0 化简后得到ay=Jyp ay
3.3 流体运动的微分方程 化简后得到 y p a f y y = − 1 1.理想液体的运动方程式 y y x z x y zf x y za y y p x z p y y p p + = − + − ) 2 ) ( 2 ( F = ma 2 p dx p x − dz dx dy z y x o p 2 p dx p x + fx 流体微元
同理可得a=-19 I ap 欧拉运动方程式 a=f 2.实际液体的运动方程式 I a 02u f∫ p 02u +v( pay f2 +v(-2
z p a f y p a f x p a f z z y y x x = − = − = − 1 1 1 同理可得 欧拉运动方程式 2.实际液体的运动方程式 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u z p a f z u y u x u y p a f z u y u x u x p a f y y y z z y y y y y x x x x x + + + = − + + + = − + + + = −
3.5伯努利方程 一.理想流体恒定流沿流线的能量方程式 p+ F=ma u=u(s) du du ds dz dt ds dt dsds 2 pdA-(p+dp)dA+ pdAdsf pdadsa )=-gc0s6 1φcz1a g 对不可压缩流体p=cost (z++2)=0 ds pg 28 xg
3.5 伯努利方程 一.理想流体恒定流沿流线的能量方程式 ds dz g ds s p + dp p dA F = ma pdA−( p + dp)dA+ dAdsfs = dAdsa u = u(s) ds dp a f s 1 = − ) 2 ( 2 u ds d ds du u dt ds ds du dt du a = = = = ds dp ds dz g ds dp g u ds d 1 1 ) cos 2 ( 2 = − − = − − ) 0 2 ( 2 + + = g u g p z ds d C g u g p z + + = 2 2 对不可压缩流体 = cost
理想流体能量方程式的物理意义 pg 2g 理意义 几何意义 z单位重流体的重力势能位置水头 总水头线 单位重流体的压强势能压力水头 2g 2 pg Ⅱ单位重流体的动能流速水头 pg S 2g 2 z+-+ 恿机械能 恿水头 基准面 pg 2g 沿流线机械能守恒(η)定常流动;(2)理想流体; 适用条件: (3)不可压缩流体;(4)质量力只有重力
z 单位重流体的重力势能 位置水头 p g 单位重流体的压强势能 压力水头 2 2 u g 2 2 p u z g g + + 总机械能 总水头 物理意义 几何意义 单位重流体的动能 流速水头 s z p g 2 2 u g 2 2 u g p g z 基准面 总水头线 2 2 p u z C g g 理想流体能量方程式的物理意义 + + = 沿流线机械能守恒 适用条件： (1) 定常流动； (2) 理想流体； (3) 不可压缩流体； (4)质量力只有重力；
二压强沿流线法血的变化 f dz 向心加速度:a f∫=-gcos=-g c1φp g dr p dr 当曲率半径r很大, 0 沿着流线的法向r有: C pg
二 压强沿流线法向的变化 2 r u a r = − 当曲率半径 r 很大， p z C g 沿着流线的法向 + = r 有： 向心加速度: dr dp a f r r 1 = − dr dz f r = −g cos = −g dr dp dr dz g r u 1 2 − = − − ( ) 2 p gz dr dz r u = + 0 2 → r u dz dr g u s p+dp r p
三均勺流,渐变流,急变流 均匀流和渐变流的过水断面上,动水压强分布规律于静水压 强相同,即同一过水新面上各点的测压管水头为常数: z pg 四.狸想流体恿流的伯努利方程 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流, 由多个微元流束组成。 假设A1、A2是缓变流截面,对于微元流束: 2 p8 23 g pg 2g Pgu dA=pgu,,=pgd
三 均匀流,渐变流,急变流 均匀流和渐变流的过水断面上,动水压强分布规律于静水压 强相同,即同一过水断面上各点的测压管水头为常数： p z C g + = 四.理想流体总流的伯努利方程 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流， 由多个微元流束组成。 假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束： 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 p u p u z z g g g g + + = + + A1 A2 dA1 dA2 u1 u2 gu1 dA1 = gu2 dA2 = gdQ
(1+1+)pQ=(x2+12+32)gd 2 pg 28 pg 28 通过断面1和2的能量 (1++2)2g0=(=2++2)g pg 28 pg 28 其中∫(=+PMQ=(=+2)=(=+B A g g g 2 二1 +C1 2 g g
gdQ g u g p gdQ z g u g p z ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + A1 A2 dA1 dA2 u1 u2 + + = + + 1 2 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 A A gdQ g u g p gdQ z g u g p z 通过断面1和2的能量 Q g p dQ z g p dQ z g p z A A ( ) ( ) ( ) + = + = + 其中 Q g V dQ g V dQ g u A A 2 2 2 2 2 2 1 2 = = V A u dA 3 3 = g V g p z g V g p z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + + = + +
五.实际流体的伯努利方程 沿流线1+11+>x2+2+ 82g g pg 28 u 1+-+ h pg 2 g 2 g 2 2 2.对于总流 21+ z,+22+c 28 g g 3-6伯努利方程应用半例 z0+ 0 21++c1 pg pg 0 h g
3-6 伯努利方程应用举例 2 0 0 1 0 1 1 2 p p V z z g g g + = + + h 0 1 p 0 p 0 z z h 0 1 − = 1 1 V gh 1 = 2 五.实际流体的伯努利方程 1.沿流线 g u g p z g u g p z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + + + ' 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 hw g u g p z g u g p z + + = + + + 2.对于总流 hw g V g p z g V g p z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
例水深1.5m,大截面开口水箱,箱 底接一长2m的开口坚直管,假设 管中流动定常,求坚直管中2-2截 5m 面上的压强。 1.0 解考虑缓变流截面1-1、2-2和3-3,取 1.0m 0 把基准面OO取在3-3上,对1-1和3-3 写出总流的伯努利方程 二+2 V3=√2(=1-z3)=8285m/s Pg↑ pg 2g P1=13=Pa
例 水深 1.5 m，大截面开口水箱，箱 底接一长 2 m的开口竖直管，假设 管中流动定常，求竖直管中 2-2截 面上的压强。 1 V 0 解 考虑缓变流截面1-1、2-2和3-3，取 2 3 = = a 1 把基准面O-O取在3-3上，对1-1和3-3 写出总流的伯努利方程 1 3 a p p p = = O O 1 1 2 2 1.5m 1.0m 1.0m 3 3 g V g p z g p z 2 2 2 2 2 1 1 + = + + V 2g(z z ) 8.285m/s 3 = 1 − 3 =
对22和3-3写出总流的伯努利方程 2 2 pg 28 g 0 V=v P2=(=3-2)=-9806 1.01 应用条件: 注意点 (1)恒定(定常) (1)所选过流断面为均匀流或渐变流 (2)不可压流体 (2)基准面选取任意统一 (3)重力场 (3)压强项可取绝对相对统 (4)无其它能量的输入或输出(4)计算断面测压管水头时可选断面任一点 (5)总流量沿程不变 (5)动能修正系数,般可取为1
对2-2和3-3写出总流的伯努利方程 O O 1 1 2 2 1.5m 1.0m 1.0m 3 3 应用条件: (1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入或输出 (5)总流量沿程不变 注意点: (1)所选过流断面为均匀流或渐变流 (2)基准面选取任意,统一 (3)压强项可取绝对,相对,统一 (4)计算断面测压管水头时,可选断面任一点 (5)动能修正系数,一般可取为1 g V z g V g p z 2 2 2 3 3 2 2 2 2 + + = + V2 =V3 p2 = g(z3 − z2 ) = −9806