《近世代数》 学习辅导 黑龙江广播电视大学 HEILONGUIANG RADIOTELEVISION UNIVERSITY
《近 世 代 数》 ⚫ 学习辅导
第一章 基本概念口 关于集合 学习目标 理解集合的概念，了解元素与集合、 集合与集合之间关系，熟练掌握集合的 并、交、差集运算，掌握有关运算律的 证明方法。 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIO&TELEVISION UNIVERSITY
第一章 ——关于集合 ⚫ 学习目标 ⚫ 理解集合的概念，了解元素与集合、 集合与集合之间关系，熟练掌握集合的 并、交、差集运算，掌握有关运算律的 证明方法
内容提要 ●（一）集合的概念 ·集合：具有某种共同特性的事物的全体 ●元素与集合的关系：如果元素a是集合A的成 员，记作aEA,读作a属于A:如果a不是A的成 员，则记作aEA,读作a不属于A. ● 集合与集合的关系：若Vx∈A,则有x∈B,称 为集合A含于B或B包含A,记作ACB或B一A. 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RAPIOTELEVISION UNIVERSITY
内容提要 ⚫ (一) ⚫ 集合： 具有某种共同特性的事物的全体. ⚫ 元素与集合的关系： 如果元素a是集合A的成 员，记作a∈A，读作a属于A；如果a不是A的成 员，则记作a A，读作a不属于A. ⚫ 集合与集合的关系： 若 x∈A，则有x∈B，称 为集合A含于B或B包含A，记作A B或B A.
●集合相等：如果集合A与B的成员完全相 同，则称A与B相等，记作A=B;否则称A 与B不相等，记作A≠B ·空集：没有成员的集合，记作0.注意， 空集包含于任一集合中，且空集是唯一 的 子集：若集合仁B,则称A为B的子集 若4忙B且AB,称A为B的真子集 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIOSTELEVISION UNIVERSITY
⚫ 集合相等： 如果集合A与B的成员完全相 同，则称A与B相等，记作A=B；否则称A 与B不相等，记作A≠B. ⚫ 空集： 没有成员的集合，记作 .注意， 空集包含于任一集合中，且空集是唯一 的. ⚫ 子集： 若集合A B，则称A为B的子集； 若A B且A≠B，称A为B的真子集.
(二)集合的运算口 并集：AUB={x|x∈A或x∈B} 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 差集（补集）：A-B={x|x∈A但xB} ● 对称差：A△B=(A-B)U(B-A) 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIO&TELEVISION UNIVERSITY
(二) ⚫ 并集： A∪B ={x｜x∈A或x∈B} ⚫ 交集： A∩B ={x｜x∈A且x∈B} ⚫ 差集(补集)： A-B ={x｜x∈A但xB} ⚫ 对称差： A△B=(A-B)∪(B-A)
若A,B,C为集合，则集合的并、交、补满是： ● (I)等幂律：AUA=A,A∩A=A; ● (2)交换律：AUB=BUA,A∩B=B∩A; ● (3)结合律：(AUB)UC=AU(BUC), (A∩B)∩C=A∩(B∩C): ● (4)分配律：(A∩B)UC=(AUC∩(BUC) (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C): (⑤)摩根(De Morgan)律： A-(BUC)=(4-B)0(4-C), 、A-(BnC=(A-B)U(A-C) 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIOTELEVISION UNIVERSITY
若A，B，C为集合，则集合的并、交、补满足： ⚫ ⚫ (1)等幂律： A∪A =A， A∩A =A ⚫ (2)交换律： A∪B =B∪A，A∩B =B∩A； ⚫ (3)结合律： (A∪B)∪C =A∪(B∪C), ⚫ (A∩B)∩C =A∩(B∩C)； ⚫ (4)分配律： (A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C), ⚫ (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)； ⚫ (5)摩根(De Morgan)律： ⚫ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C), ⚫ A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
概念解析 ·集合概念是数学中最基本的概念之一， 在数学中有其独特的作用 ●它是现代数学的重要基础，并且应用于 许多科学技术领域之中.本节介绍的集合 概念和集合运算是本课程的基础，它们 在后续各章节中都有应用.因此，我们在 学习本节内容时应该理解集合的概念 黑龙江广播电视大学 HEILONGUIANG RADIOSTELEVISION UN IVERSITY
概念解析 ⚫ 集合概念是数学中最基本的概念之一， 在数学中有其独特的作用. ⚫ 它是现代数学的重要基础，并且应用于 许多科学技术领域之中. 本节介绍的集合 概念和集合运算是本课程的基础，它们 在后续各章节中都有应用.因此，我们在 学习本节内容时应该理解集合的概念
·了解元素与集合、集合与集合之间关系， 熟练掌握集合的并、交、差集运算； ●掌握有关运算律的证明方法 ·集合是一些具有某种共同特性的、可以 区分的若干事物的全体 集合中的事物称为元素或点 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIO&TELEVISION UNIVERSITY
⚫ 了解元素与集合、集合与集合之间关系， 熟练掌握集合的并、交、差集运算; ⚫ 掌握有关运算律的证明方法. ⚫ 集合是一些具有某种共同特性的、可以 区分的若干事物的全体. ⚫ 集合中的事物称为元素或点
集合有以下三种表示方法： ●列举法一列出集合的所有元素，并用花括号括起来 ●例如N={0,1,2,3,}. ·。描述法一将集合中元素的共同属性描述出来 ·例如Z={是整数；： ·文氏图一用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点 表示集合内的元素！ 。如图1-1所示 黑龙江广播电视大学 HEILONGJIANG RADIOTELEVISION UNIVERSIT
集合有以下三种表示方法： ⚫ 列举法——列出集合的所有元素，并用花括号括起来. ⚫ 例如 N = {0, 1, 2, 3, …}. ⚫ 描述法——将集合中元素的共同属性描述出来. ⚫ 例如Z = {是整数}. ⚫ 文氏图——用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点 表示集合内的元素. ⚫ 如图1-1所示
1,理解集合概念时应该注意： ●(1).集合中的元素是确定的.也就是说， 对集合A,任一元素a或者属于A或者不属 于A,两者必居其一.若元素a属于集合A, 则用aA表示，若不属于A,则用aA表 示 ·(2).集合中的每个元素是可以互相区分 开的.也就是说，在一个集合中不会重复 现和同的元素如失合a6刀 写{a,b,c,d}是一样的 黑龙江广播电视大学 EILONGJIANG RADIOTELEVISION UN IVERSITY
1．理解集合概念时应该注意： ⚫ (1). 集合中的元素是确定的. 也就是说， 对集合A，任一元素a或者属于A或者不属 于A，两者必居其一. 若元素a属于集合A， 则用a A表示，若不属于A，则用a A表 示. ⚫ (2). 集合中的每个元素是可以互相区分 开的. 也就是说，在一个集合中不会重复 出现相同的元素. 例如集合{a,b,b,c,d,d,d } 与{a,b,c,d }是一样的.