高等数学基础第四意典型例题解析 一、填空题 1函数y=1-)的单调增加区间是 解：y=+。当天>0时y0时，)>0，所烈x=0是商数@)=言+：门的帐小值点 二、单选题 1函数少=x2+1在区间【-2,2]上是（) A)单调增加 B)单调减少 C)先单调增加再单调减少 D)先单调减少再单调增加 解：选择D y=2,当x0时，"闭>0，所以在区间【-2,2]1上 函数y=产+1先单调液少再弹调增加。 2.若函数y=f(满足条件（)，则在(a,)内至少存在一点a<<),使得 f"白=f-a b-a 成立。 A)在(a.)内连续 B)在(a,b)内可导：
高等数学基础第四章典型例题解析 一、填空题 1.函数 的单调增加区间是 . 解： ，当 时 .故函数的单调增加区间是 . 2.极限 . 解：由洛必达法则 3.函数 的极小值点为 。 解： ，令 ，解得驻点 ，又 时， ； 时， ，所以 是函数 的极小值点。 二、单选题 1.函数 在区间 上是（ ） A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加 解：选择D ，当 时， ；当 时， ；所以在区间 上 函数 先单调减少再单调增加。 2. 若函数 满足条件（ ），则在 内至少存在一点 ，使得 成立。 A）在 内连续； B）在 内可导；
C)在a,内连续，在口，内可导：D)在a,创内连续，在a,》内可号。 解：选D。 由拉格朗日定理条件，两数)在口，创内连铁，在a,)内可导，所以选邦D正确。 3满足方程()=0的点是函数y=田的《)。 A)极值点 B)拐点 C)驻点 D)间断点 解：选择C。 依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。 4设通数f团在口，)内连铁，∈a,),且)=了)=0，则函数在 x二0处( A)取得极大值 B)取得极小值 C)一定有拐点(/(》 D)可能有极值，也可能有拐点 解：选择D 函数的一阶导数为零，说明0可能是函数的极值点：函数的二阶导数为零，说明·可 能是函数的拐点，所以选择D。 三、解答题 1计算题 求函数少=X一(1+为的单调区间！ 解：函数y=X-1+为的定义区间为《1，+o）,由于 产 令”=0，解得x=0,这样可以将定义区间分成(-1,0和(0，+网两个区间来讨论。 当-10 由此得出，数=-1+力在10内单调递减。在0@内单调增加。 2.应用题 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？ 解：设底边边长为x,高为力，所用材料为y
C）在 内连续，在 内可导； D）在 内连续，在 内可导。 解：选择D。 由拉格朗日定理条件，函数 在 内连续，在 内可导，所以选择D正确。 3. 满足方程 的点是函数 的（ ）。 A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。 依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。 4.设函数 在 内连续， ，且 ，则函数在 处（ ）。 A）取得极大值 B）取得极小值 C）一定有拐点 D）可能有极值，也可能有拐点 解：选择D 函数的一阶导数为零，说明 可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明 可 能是函数的拐点，所以选择D。 三、解答题 1.计算题 求函数 的单调区间。 解：函数 的定义区间为 ，由于 令 ，解得 ，这样可以将定义区间分成 和 两个区间来讨论。 当 时， ；当 是， 。 由此得出，函数 在 内单调递减，在 内单调增加。 2.应用题 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？ 解：设底边边长为 ，高为 ，所用材料为
且 4=10隐方-9 y=x2+4x4 =x2+410-x2+432 2+操2 令=0得2x2-210=0=x=6 且因为x>6y>0,x1时，证明不等式 e">xe 证设函数()=血x,因为f(x)在(0，+o)上连续可导，所以f(x)在[1，)上满足 拉格朗日中值定理条件，有公式可得 f(x)-f0=f"e)x-1) 其中11时，有不等式 e*xe 成立
且 令 得 ， 且因为 ，所以 为最小值.此时 。 于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。 3．证明题：当 时，证明不等式 证 设函数 ，因为 在 上连续可导，所以 在 上满足 拉格朗日中值定理条件，有公式可得 其中 ，即 又由于 ，有 故有 两边同时取以 为底的指数，有 即 所以当 时，有不等式 成立