第七章万有引力与宇宙航行 、选择题 1.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示,E和F是椭圆轨道的两个焦点,行星在A点的 速度比在B点的速度大,则太阳位于() B 2.(多选)人类发展空间技术的最终目的是开发太空资源,宇航员在围绕地球做匀速圆周运 动的航天飞机中,会处于完全失重状态,下列说法正确的是 A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡; C.重力正好为向心力 D.宇航员不受任何力作用 3.关于人造卫星所受的向心力F、线速度、角速度O、周期T与轨道半径r的关系,下 列说法中正确的是() A.由F=Gmm 可知,向心力与P2成反比 B由F=m”2 可知,02与r成正比 C.由F=mP2r可知,O2与r成反比 4π2 D.由F=mr可知,与r成反比 4.(多选)关于第一宇宙速度,下面说法正确的是()
第七章 万有引力与宇宙航行 一、选择题 1．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，E 和 F 是椭圆轨道的两个焦点，行星在 A 点的 速度比在 B 点的速度大，则太阳位于( )。 A．F； B．A； C．B； D．E。 2．(多选)人类发展空间技术的最终目的是开发太空资源，宇航员在围绕地球做匀速圆周运 动的航天飞机中，会处于完全失重状态，下列说法正确的是( )。 A．宇航员仍受重力的作用； B．宇航员受力平衡； C．重力正好为向心力； D．宇航员不受任何力作用。 3．关于人造卫星所受的向心力 F、线速度 、角速度 、周期 T 与轨道半径 r 的关系，下 列说法中正确的是( )。 A．由 F＝ 2 1 2 r m m G 可知，向心力与 r²成反比； B．由 F＝ 2 m r v 可知， ²与 r 成正比； C．由 F＝m ²r 可知， ²与 r 成反比； D．由 F＝ 2 2 4 m r T 可知，T²与 r 成反比。 4．(多选)关于第一宇宙速度，下面说法正确的是( )
A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度 C.它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D.它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度。 5.(多选)关于地球的同步卫星,下列说法正确的是()。 A.它处于平衡状态,且具有一定的高度 B.它的加速度小于9.8m/s2 C.它的周期是24小时,且轨道平面与赤道平面重合; D.它绕行的速度小于7.9km/s 6.(多选)把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动,则离太阳系越远的行星() A.周期越小 B.线速度越小;C.角速度越小 D.加速度越小。 7.若已知行星绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T,万有引力常量为G,则由此可求 A.某行星的质量:B.太阳的质量 C.某行星的密度;D.太阳的密度。 8.设地球表面的重力加速度为g0,物体在距地心4R(R为地球半径)处,由于地球的作用而 产生的重力加速度为g,则g':g为()。 A.1:16 C.1:4 D.1:1。 地球的第一宇宙速度约为8km/s,某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍。 该行星上的第一宇宙速度约() A. 16 km/s B. 32 km/s C. 46 km/s D. 2 km/s
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度； B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度； C．它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度； D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度。 5．(多选)关于地球的同步卫星，下列说法正确的是( )。 A．它处于平衡状态，且具有一定的高度； B．它的加速度小于 9.8 m/s²； C．它的周期是 24 小时，且轨道平面与赤道平面重合； D．它绕行的速度小于 7.9 km/s。 6．(多选)把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳系越远的行星( )。 A．周期越小； B．线速度越小； C．角速度越小； D．加速度越小。 7．若已知行星绕太阳公转的半径为 r，公转的周期为 T，万有引力常量为 G，则由此可求 出( )。 A．某行星的质量； B．太阳的质量； C．某行星的密度； D．太阳的密度。 8．设地球表面的重力加速度为 g0，物体在距地心 4R(R 为地球半径)处，由于地球的作用而 产生的重力加速度为 g'，则 g'∶g0 为( )。 A．1∶16； B．4∶1； C．1∶4； D．1∶1。 9．地球的第一宇宙速度约为 8 km/s，某行星的质量是地球的 6 倍，半径是地球的 1.5 倍。 该行星上的第一宇宙速度约( )。 A．16 km/s； B．32 km/s； C．46 km/s； D．2 km/s
10.(多选)2010年10月26日21时27分,北京航天飞行控制中心对嫦娥二号卫星实施了 降轨控制,卫星成功由轨道半径为a、周期为T1的极月圆轨道进入远月点距离为a、周期为T2 的椭圆轨道,为在月球虹湾区拍摄图像做好准备,轨道如图所示,则嫦娥二号()。 A.在圆轨道上运行的周期T1大于它在椭圆轨道上运行的周期T2 极月圆轨道 椭圆轨 B.经过圆轨道上B点时的速率大于它经过椭圆轨道上A点时的速率; C.在圆轨道上经过B点和在椭圆轨道上经过A点时的加速度大小相等:娥二号 D.经过圆轨道上B点时的速率小于它经过椭圆轨道上A点时的速率。 1.如图,地球赤道上的山丘e,近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆 周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为1、"2、3,向心加速度分别为a、a2、a,则()。 A.71>72> B.v1a2>a3 、填空题 12.两行星A和B是两个均匀球体,行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期为Ta;行星B 的卫星b沿轨道运行的周期为Tb。设两卫星均为各自中心星体的近地卫星,而且T:Tb=1:4, 行星A和行星B的半径之比为RA:RB=1:2,则行星A和行星B的密度之比pA:PB= 星表面的重力加速度之比gA:gB 13.一颗中子星的质量大约与太阳的质量相等,为2×100kg,但是它的半径才不过10km 此中子星表面的自由落体加速度为:贴近中子星表面,沿圆轨道运动的小卫星的速度为 (G取6.67×101N·m2/kg2)
10．(多选)2010 年 10 月 26 日 21 时 27 分，北京航天飞行控制中心对嫦娥二号卫星实施了 降轨控制，卫星成功由轨道半径为 a、周期为 T1 的极月圆轨道进入远月点距离为 a、周期为 T2 的椭圆轨道，为在月球虹湾区拍摄图像做好准备，轨道如图所示，则嫦娥二号( )。 A．在圆轨道上运行的周期 T1 大于它在椭圆轨道上运行的周期 T2； B．经过圆轨道上 B 点时的速率大于它经过椭圆轨道上 A 点时的速率； C．在圆轨道上经过 B 点和在椭圆轨道上经过 A 点时的加速度大小相等； D．经过圆轨道上 B 点时的速率小于它经过椭圆轨道上 A 点时的速率。 11．如图，地球赤道上的山丘 e，近地卫星 p 和同步卫星 q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆 周运动。设 e、p、q 的圆周运动速率分别为 1、 2、 3，向心加速度分别为 a1、a2、a3，则( )。 A． 1＞ 2＞ 3； B． 1＜ 2＜ 3； C．a1＞a2＞a3； D．a1＜a3＜a2。 二、填空题 12．两行星 A 和 B 是两个均匀球体，行星 A 的卫星 a 沿圆轨道运行的周期为 Ta；行星 B 的卫星 b 沿轨道运行的周期为 Tb。设两卫星均为各自中心星体的近地卫星，而且 Ta∶Tb＝1∶4， 行星A和行星B的半径之比为RA∶RB＝1∶2，则行星A和行星B的密度之比 A ∶ B ＝______， 行星表面的重力加速度之比 gA∶gB＝_______。 13．一颗中子星的质量大约与太阳的质量相等，为 2× 30 10 kg，但是它的半径才不过 10km， 此中子星表面的自由落体加速度为______；贴近中子星表面，沿圆轨道运动的小卫星的速度为 __________。（G 取 6.67× 11 10− N·m2/ kg2）
三、解答题 14.已知地球质量m地=5.97×1024kg,半径R=6370km,万有引力常量G=6.67× 10uN·m2/kg2,求在1000km的高空沿圆形轨道运行的人造卫星的速度和周期 15.我国研制的神舟六号载人飞船在运载两名宇航员绕地球飞行5天后,安全降落在内蒙 古中部指定地区,请回答有关载人航天飞行问题: (1)地球的半径R=6400km,地球表面的重力加速度g=9.8m/s2,若使航天飞船在无动力 作用的情况下在离地面高h=340km的圆轨道上绕地球运行,飞船的速度为多大? (2)飞船发射时舱内宇航员将处于失重还是超重状态?当飞船在轨道上运行时舱内的宇航 员将处于失重还是超重状态? 16.移居火星是人类的梦想。已知火星质量约是地球质量的十分之一,火星半径约是地球 半径的二分之一,地球表面的重力加速度取10m/s2;不久的将来设想在火星城举行宇宙奥运会, “地球国”将派出在08年8月19日北京奥运会跳高比赛中,以2.36m的成绩夺冠的俄罗斯选 手安德瑞·斯林诺夫(身高是1.98m)参赛。设他在火星城上起跳的速度与在地球上起跳的速度 相同,请估算他在宇宙奥运会上的跳高成绩
三、解答题 14．已知地球质量 m 地＝5.97×1024 kg，半径 R＝6 370 km，万有引力常量 G＝6.67× 10-11 N·m2/ kg2，求在 1 000 km 的高空沿圆形轨道运行的人造卫星的速度和周期。 15．我国研制的神舟六号载人飞船在运载两名宇航员绕地球飞行 5 天后，安全降落在内蒙 古中部指定地区，请回答有关载人航天飞行问题： (1)地球的半径 R＝6 400 km，地球表面的重力加速度 g＝9.8 m/s 2，若使航天飞船在无动力 作用的情况下在离地面高 h＝340 km 的圆轨道上绕地球运行，飞船的速度为多大？ (2)飞船发射时舱内宇航员将处于失重还是超重状态？当飞船在轨道上运行时舱内的宇航 员将处于失重还是超重状态？ 16．移居火星是人类的梦想。已知火星质量约是地球质量的十分之一，火星半径约是地球 半径的二分之一，地球表面的重力加速度取 10 m/s 2；不久的将来设想在火星城举行宇宙奥运会， “地球国”将派出在 08 年 8 月 19 日北京奥运会跳高比赛中，以 2.36 m 的成绩夺冠的俄罗斯选 手安德瑞·斯林诺夫(身高是 1.98 m)参赛。设他在火星城上起跳的速度与在地球上起跳的速度 相同，请估算他在宇宙奥运会上的跳高成绩
参考答案 、选择题 解析:行星在A点的速度比在B点的速度大,说明A点为近地点,所以太阳位于E点。 2. AC 解析:宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重状态,此时宇航员仍 受重力的作用,而且宇航员受到的重力正好充当向心力,故A、C正确,D错误:宇航员受到 的重力正好充当向心力,产生向心加速度,并不是处于平衡状态,故B错误 解析:由F=Gmm可知,向心力F与严成反比,故A正确。 解析:物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫做第一宇宙速度,在地面附近发射 飞行器,如果速度大于79km/s,而小于11.2km/s,它绕地球飞行的轨迹就不是圆,而是椭圆。 它是人造地球卫星在近地圆轨道上的运行速度,故B正确:是绕地球做圆周运动的最大速度, 故A错误:也是卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度,故C正确:卫星在椭圆轨道上运行时 的速度大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度,故D错误。 解析:地球同步卫星,是相对于地面静止的,并不是处于平衡状态,这种卫星位于赤道上 方某一高度的稳定轨道上,且绕地球运动的周期等于地球的自转周期,即T=24h,离地面高度 恒定,故A错误:地球表面向心加速度a 98m/s2,设同步卫星离地面高度为h,则
参考答案 一、选择题 1．D 解析：行星在 A 点的速度比在 B 点的速度大，说明 A 点为近地点，所以太阳位于 E 点。 2．AC 解析：宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重状态，此时宇航员仍 受重力的作用，而且宇航员受到的重力正好充当向心力，故 A、C 正确，D 错误；宇航员受到 的重力正好充当向心力，产生向心加速度，并不是处于平衡状态，故 B 错误。 3．A 解析：由 F＝ 2 1 2 r m m G 可知，向心力 F 与 r 2 成反比，故 A 正确。 4．BC 解析：物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫做第一宇宙速度，在地面附近发射 飞行器，如果速度大于 7.9 km/s，而小于 11.2 km/s，它绕地球飞行的轨迹就不是圆，而是椭圆。 它是人造地球卫星在近地圆轨道上的运行速度，故 B 正确；是绕地球做圆周运动的最大速度， 故 A 错误；也是卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度，故 C 正确；卫星在椭圆轨道上运行时 的速度大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度，故 D 错误。 5．BCD 解析：地球同步卫星，是相对于地面静止的，并不是处于平衡状态，这种卫星位于赤道上 方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即 T＝24 h，离地面高度 恒定，故 A 错误；地球表面向心加速度 a＝ 2 Gm R 地 ＝9.8 m/s²，设同步卫星离地面高度为 h，则
0(R+)29.8m/s,故B正确;同步卫星运行轨道位于地球赤道平面上圆形轨道,与赤道 平面重合,故C正确;同步卫星在轨道上的绕行速度约3.1km/s,小于 7.9km/s,故D正确。 6. BCD 解析:根据Gmm=m4r=m=mo}r=m可知,r越大,周期越大,线速度越 小,角速度越小,加速度越小,所以A错误,B、C、D正确。 7.B 解析:根据题意不能求出行星的质量,故A错误;研究行星绕太阳做匀速圆周运动,根据万 有引力提供向心力可得Gm=m4r,则m=4x ,所以能求出太阳的质量,故B正确 不清楚行星的质量和体积,所以不能求出行星的密度,故C错误;不知道太阳的体积,所以不能 求出太阳的密度,故D错误 解析;由重力等于万有引力可以得到G"y=m,则重力加速度g=y,所以地球表 面处的重力加速度80-R2 离地心距离4R处的重力加速度 8(4R) 所以g':g=1:16,故选择A。 解析:第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,根据牛顿第二定律可得G"mm=m",则有 R,R为星球半径。行星上的第一字宙速度与地球上的第一字宙速度之比e:口 R 他=2:1,所以该行星的第一宇宙速度约为16km/s。故A正确
a＝ 2 ( ) Gm R h + 地 ＜9.8 m/s²，故 B 正确；同步卫星运行轨道位于地球赤道平面上圆形轨道，与赤道 平面重合，故 C 正确；同步卫星在轨道上的绕行速度约 3.1 km/s，小于 7.9 km/s，故 D 正确。 6．BCD 解析：根据 2 m m G r 太 ＝ 2 2 4 m r T ＝ 2 m r v ＝ m r 2 ＝ma 可知，r 越大，周期越大，线速度越 小，角速度越小，加速度越小，所以 A 错误，B、C、D 正确。 7．B 解析：根据题意不能求出行星的质量，故A错误；研究行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万 有引力提供向心力可得 2 m m G r 太 ＝ 2 2 4 m r T ，则m太＝ 2 3 2 4 r GT ，所以能求出太阳的质量，故B正确； 不清楚行星的质量和体积，所以不能求出行星的密度，故C错误；不知道太阳的体积，所以不能 求出太阳的密度，故D错误。 8．A 解析：由重力等于万有引力可以得到 2 m m G r 地 ＝mg，则重力加速度 g＝ 2 Gm r 地 ，所以地球表 面处的重力加速度 g0＝ 2 Gm R 地 ，离地心距离 4R 处的重力加速度 g'＝ 2 (4 ) Gm R 地 ＝ 2 1 16 Gm R 地 ＝ 1 16 g0， 所以 g'∶g0＝1∶16，故选择 A。 9．A 解析：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律可得 2 mm G R ＝ 2 m R v ，则有 ＝ Gm R ，R 为星球半径。行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比 行∶ 地＝ Gm R 行 行 ∶ Gm R 地 地 ＝2∶1，所以该行星的第一宇宙速度约为 16 km/s。故 A 正确
10. ABC 解析:根据开普勒第三定律r=k,k与中心天体有关。由于圆轨道的半径大于椭圆轨道半 径,所以卫星在圆轨道上运行的周期T大于它在椭圆轨道上运行的周期T2,故A正确。要实现 变轨就必须使所需向心力小于万有引力,所以卫星经过圆轨道上B点时的速率大于它经过椭圆 轨道上A点时的速率,故B正确、D错误。嫦娥二号卫星变轨前沿圆轨道运动只有万有引力来 提供向心力,即满足Gn=ma,变轨后通过椭圆轨道远地点时也是只有万有引力来提供向心 力,所以卫星在圆轨道上经过B点和在椭圆轨道上经过A点时的加速度大小相等,故C正确 解析:山丘e和同步卫星q具有共同的角速度,山丘e与近地卫星p具有相同的万有引力, 但支持力不同,近地卫星p只受万有引力,而山丘e还受地面的支持力。同步卫星与近地卫星 都是万有引力全部提供向心力。由于山丘e和同步卫星q具有共同的角速度,所以有1,所以答 案B错误。由于山丘e和同步卫星q具有共同的角速度,所以根据a=r,得到半径越大,加 速度越大,即a1a3,答案D正确。 、填空题 12.16:1,8:1 解析:由Gmmn4x2 4R3x2 又由P ,所以P、3x 由mg=GR2,得Gm=gR2,所以P()16B2B8 R
10．ABC 解析：根据开普勒第三定律 3 2 r T ＝k，k 与中心天体有关。由于圆轨道的半径大于椭圆轨道半 径，所以卫星在圆轨道上运行的周期 T1 大于它在椭圆轨道上运行的周期 T2，故 A 正确。要实现 变轨就必须使所需向心力小于万有引力，所以卫星经过圆轨道上 B 点时的速率大于它经过椭圆 轨道上 A 点时的速率，故 B 正确、D 错误。 嫦娥二号卫星变轨前沿圆轨道运动只有万有引力来 提供向心力，即满足 2 m m G r 月 ＝ma，变轨后通过椭圆轨道远地点时也是只有万有引力来提供向心 力，所以卫星在圆轨道上经过 B 点和在椭圆轨道上经过 A 点时的加速度大小相等，故 C 正确。 11．D 解析：山丘 e 和同步卫星 q 具有共同的角速度，山丘 e 与近地卫星 p 具有相同的万有引力， 但支持力不同，近地卫星 p 只受万有引力，而山丘 e 还受地面的支持力。同步卫星与近地卫星 都是万有引力全部提供向心力。由于山丘 e 和同步卫星 q 具有共同的角速度，所以有 1＜ 3， 答案 A 错误。又由于同步卫星与近地卫星都是万有引力全部提供向心力，所以根据牛顿第二定 律有 2 m m G r 地 ＝ 2 m r v ，得 ＝ Gm r 地 ，所以半径越小，卫星的线速度越大，即 2＞ 3，所以答 案 B 错误。由于山丘 e 和同步卫星 q 具有共同的角速度，所以根据 a＝ 2r，得到半径越大，加 速度越大，即 a1＜a3，所以答案 C 错误。由于同步卫星与近地卫星都是万有引力全部提供向心 力，得出 a＝ 2 m G r 地 ，即 r 越大，加速度越小，所以有 a2＞a3，答案 D 正确。 二、填空题 12．16∶1，8∶1 解析：由 2 m m G R 行 ＝ 2 2 4π m R T 得 m行 ＝ 3 2 2 4R π GT 。又由 ＝ m V 行 ＝ 4 3 π 3 m R 行 ，所以 ＝ 2 3π GT ，又 由 mg＝ 2 m m G R 行 ，得 G m行 ＝gR2，所以 A B ＝ 2 b a T T ＝ 16 1 ， A B g g ＝ A A B B R R ＝ 8 1
13.1334×1012m/s2,1.15×103m/ 解析:由mg=G=,”得 代入数据可得g=1334×101m/s3,又由mg=m R R y=√gR,代入数据可得y=1.15×108m/s 三、解答题 14.人造卫星的速度是7.35×103m/s,周期是6.3×103s 解析:由万有引力提供向心力得Gm 代入数据得7=7.35×103m/s。根 R+h 据圆周运动知识得r=2xR+b)=6.3×10s 15.(1)7717m/s(2)飞船发射时舱内宇航员将处于超重状态,当飞船在轨道上运行时舱 内的宇航员将处于失重状态 解析:(1)飞船做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,则 地面附近重力等于万有引力,则 R 代入数据,联立解得:℃ R 7717m/s VR+h (2)飞船发射时,是加速上升,加速度向上,舱内宇航员将处于超重状态;当飞船在轨道上 运行时,具有向下的加速度,舱内宇航员将处于失重状态。 16.4.415 解析:根据万有引力定律可得运动员在地球表面时,有mg地
13．1.334×1012 m/s 2，1.15×108 m/s 解析：由 mg＝ 2 m m G R 中子 得 g＝ 2 Gm R 中子 ，代入数据可得 g＝1.334×1012 m/s 2，又由 mg＝ 2 m R v 得 v ＝ gR ，代入数据可得 v ＝1.15×108 m/s。 三、解答题 14．人造卫星的速度是 7.35×103 m/s，周期是 6.3×103 s。 解析：由万有引力提供向心力得 2 ( ) m m G R h + 地 ＝ 2 m R h + v ，代入数据得 ＝7.35×103 m/s。根 据圆周运动知识得 T＝ 2 ( ) + R h v ＝6.3×103 s。 15．(1)7 717 m/s (2)飞船发射时舱内宇航员将处于超重状态，当飞船在轨道上运行时舱 内的宇航员将处于失重状态。 解析：(1)飞船做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则 2 ( ) m m G R h + 地 ＝m 2 R h + v ， 地面附近重力等于万有引力，则 mg＝ 2 m m G R 地 ， 代入数据，联立解得： ＝ R h gR + 2 ＝7 717 m/s。 (2)飞船发射时，是加速上升，加速度向上，舱内宇航员将处于超重状态；当飞船在轨道上 运行时，具有向下的加速度，舱内宇航员将处于失重状态。 16．4.415 m 解析：根据万有引力定律可得运动员在地球表面时，有 mg 地＝ 2 Gm m R 地 地
在火星表面时,有m8火 所以地球表面和火星表面的重力加速度之比 g 设运动员在字宙运动会上的跳高成绩为bx则由心=28得M=g天,所以△h g M他=×(236-2m=3.425m,故h H 火=+△Mbk=4.415m
在火星表面时，有 mg 火＝ 2 Gm m R 火 火 ， 所以地球表面和火星表面的重力加速度之比 g g 地 火 ＝ 2 • m R m R 地 火 火 地 ＝10× 2 1 2 ＝ 5 2 ， 设运动员在宇宙运动会上的跳高成绩为 h 火，则由 0 2＝2gh 得 h h 火 地 ＝ g g 地 火 ，所以 h 火＝ g h g 地 地 火 ＝ 5 2 × 1.98 2.36 2 − m＝3.425 m，故 h 火＝ 2 H ＋ h火＝4.415 m