高中物理必修二第六章 (2)计算重力加速度 万有引力与航天知识点归纳与重点题型总结 地球表面附近(h(R)方法:万有引力≈重力 行星的运动 地球上空距离地心r=Rth处方法: 1、开普勒行星运动三大定律 0第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭,太阳处在椭圆的一|在质量为,半径为'的任意天体表面的重力加速度g):=6Mm 第二定律(画积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫 过相等的面积。 (3)计算天体的质量和密度 推论:近日点速度比较快,远日点速度比较慢。 利用自身表面的重力加速度:G==mg ⑧第三定律(周期定律加所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次 方的比值都相等。 利用环绕天体的公转:(-2=m一=m0r=m可等等 入k其中k是只与中心天体的质量有关,与儆圆周运动的天体的质量无关。 (注:结合M=p2=2得到中心天体的密度) 指广:对围中心天体运动的行星或里,上式均成立,取决于中心天体的质量帆学航员站在星球表面上的某高处,以初速度沿水平方向抛出一个小球,经过时 凯有奇人适地球卫星,它地球运转的道半比是1:2它们地球量为:求县量 间t,球落到星球表面,小球落地时的速度大小为V.已知该星球的半径为R,引力常 的周期之比为。 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 例、宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球经时间t,小球落到星 ①太阳与行星间引力公式F M 球表面,测得抛出点与落地点的距离为L,若拋出时的初速度增大到2倍,则抛出点与 ②月一地检验 落地点之间的距离为√3L,已知两落地点在同一平面上,该星球的半径为R,万有引力 ③卡文迪许的扭秤实验一测定引力常量G 常量为G,求该星球的质量M。 2、万有引力定律 G=667×0m/g ①内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的大小与物体的质量m和m的乘 积成正比,与它们之间的距离r的二次方成反比。即 适用条件 经验总结一—“天上”:万有引力提供向心力 (1)可看成质点的两物体间,r为两个物体质心间的距离。 (Ⅱ〕质量分布均匀的两球体间,r为两个球体球心间的距离。 条龙:F=mG二=mb2m/2r) 国运用 “地上”:万有引力近似等于重力黄金代换:GM=gR (1)万有引力与重力的关系: 重力是万有引力的一个分力,一般情况下,可认为重力和万有引力相等。 (4)双星:两者质量分别为皿、毗,两者相距 忽略地球自转可得: 特点:距离不变,向心力相等,角速度相等,周期相等。 R- 例设地球的质量为M,赤道半径R,自转周期T,则地球赤道上质量为m的物体所受重 双星轨道半径之比:且= 力的大小为?(式中G为万有引力恒量) 双星的线速度之比:R2n2m1 字宙航行 1、人造卫星的运行规律
高中物理必修二第六章 万有引力与航天 知识点归纳与重点题型总结 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一 个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫 过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次 方的比值都相等。 即： 其中 k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例.有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是 1：2，则它们绕地球运转 的周期之比为 。 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验 ③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量 G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘 积成正比，与它们之间的距离 r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例.设地球的质量为 M，赤道半径 R，自转周期 T，则地球赤道上质量为 m 的物体所受重 力的大小为？（式中 G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 地球表面附近（h《R） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心 r=R+h 处 方法： 在质量为 M’，半径为 R’的任意天体表面的重力加速度 '' g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） 例.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度 V0沿水平方向抛出一个小球，经过时 间 t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为 V. 已知该星球的半径为 R，引力常 量为 G ，求该星球的质量 M。 例. 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经时间 t，小球落到星 球表面，测得抛出点与落地点的距离为 L，若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与 落地点之间的距离为√3L，已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为 R，万有引力 常量为 G，求该星球的质量 M。 经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2 M ma= m m F G r = 2 2 一条龙： ＝ v 2 2 =mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2 黄金代换：GM gR ＝ （4）双星：两者质量分别为 m1、m2，两者相距 L 特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。 双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 三、宇宙航行 1、人造卫星的运行规律 3 2 a k T = 2 Mm F G r = 11 2 2 G N m kg 6.67 10 / − = 1 2 2 m m F G r = 2 R Mm mg = G 2 ' (R h) Mm mg G + = 2'' '' '' R M m mg = G mg R Mm G = 2 r T m r m r v m r Mm G 2 2 2 2 2 4 = = = 3 3 4 M = R 1 2 2 1 2 1 m m v v R R = = 2 R Mm mg = G r T m r m r v m r Mm G 2 2 2 2 2 4 = = =
2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 0)由6当2=m一得 卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为,行星的质量M 与卫星的质量圍之比Mm51,行星的半径届与卫星的半径R之比剧/R=3.6,行星与卫 星之间的距离r与行星的半径品之比r/品=60。设卫星表面的重力加速度为g,则在卫 2):G=朋20得D:,CDM 星表面有O )由d0=n2x得7=2 GMa 例两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动,周期之比为Ts:T=l:8,则轨道半径之比 和运动速率之比分别为() 3、人造卫星、字宙遠度: 将卫星发射至近地圆轨道1(如图所示,然后再次点火,将卫星送入同步轨道3。 2、字宙遠速度 轨道1、2相切于Q点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时, 第一字宙速度:95第二宇宙速度:=12第三宇宙速度:以下说法正确的是: V=16.7km A.卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。 注:(1)宇宙速度均指发射速度 B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。 (2)第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度,也是环绕地球运行的最大速度 C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2 3、地球同步卫星(通讯卫星) 上经过Q点时的加速度。 (1)运动周期与地球自转周期相同,且T=4h: D.卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上 (2)运转角速度等于地球自转的角速度,周期等于地球自转的周期 经过P点时的加速度。 (3)同步卫星高度不变,运行速率不变(因为T不变) (4)同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行,在赤道正上方 4、双星问题: 【例4】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做 对同步卫星:运动规律 GMm 12 2 周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,其运动周期为F,求两星的总质 GM GMP. 由于同步卫星的运动周期确定(为1=24h),故而其r阝a、T、a等均为定值。 四、小专题剖析 1、测天体的质量及密度 继神秘的火星之后,今年土星也成了全世界关注的焦点!f过近7年352亿公里5、有关航天问题的分析 无人飞船“神州二号”曾在离地高度为/=3.4x10m的圆轨道上运行了47小时。 在太空中风全扑仆的华行;美航空航天局和欧航空航天件研究的“卡西尼”号求在这铁时间内它行地球多围(地球半径沉0重力加速度= 土星探测器于美国东部时间6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道,开始“拜 访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对士星及其3颗已知卫星最详尽的探测!若 “卡西尼”号探测器进入绕士星飞行的轨道,在半径为R的土星上空离土星表面高h的 圆形轨道上绕土星飞行,环绕n周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度
3 3 2 T=2 . GM GM GM r M v a G r r r = = = ， ， ， P 1 2 3 • • Q 例.两颗人造卫星 A、B 绕地球作圆周运动，周期之比为 TA：TB=1：8，则轨道半径之比 和运动速率之比分别为（ ） 2、宇宙速度 第一宇宙速度：V1=7.9km/s 第二宇宙 速度：V2=11.2km/s 第三宇宙 速度： V3=16.7km/s 注：（1）宇宙速度均指发射速度 （2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度 3、地球同步卫星（通讯卫星） （1）运动周期与地球自转周期相同，且 T=24h； （2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期； （3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为 T 不变）； （4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。 对同步卫星：运动规律： 由于同步卫星的运动周期确定（为 T=24h），故而 其 r、 v、ω、T 、a 等均为定值。 四、小专题剖析 1、测天体的质量及密度： 继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近 7 年 35.2 亿公里 在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号 土星探测器于美国东部时间 6 月 30 日（北京时间 7 月 1 日）抵达预定轨道，开始“拜 访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测！若 “卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的 圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t 。试计算土星的质量和平均密度。 2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题： 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为 g0，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81，行星的半径 R0与卫星的半径 R 之比 R0/R＝3.6，行星与卫 星之间的距离 r 与行星的半径 R0之比 r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为 g，则在卫 星表面有 mg r GMm = 2 …… 3、人造卫星、宇宙速度： 将卫星发射至近地圆轨道 1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道 3。 轨道 1、2 相切于 Q 点，2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时， 以下说法正确的是： A．卫星在轨道 3 上的速率大于轨道 1 上的速率。 B．卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度。 C．卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度。 D．卫星在轨道 2 上经过 P 点的加速度等于它在轨道 3 上 经过 P 点时的加速度。 4、双星问题： 【例 4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做 周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为 R，其运动周期为 T，求两星的总质 量。 5、有关航天问题的分析： 无人飞船“神州二号”曾在离地高度为 H＝3. 4 105 m 的圆轨道上运行了 47 小时。 求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径 R=6.37 106 m，重力加速度 g＝9.8m/s2） 2 2 (1) : M m GM v G m v r r r = = 地 卫 地 由 卫 得 2 2 3 (2) : M m GM G m r r r = = 地 卫 地 由 卫 得 2 3 2 2 4 (3) : 2 M m r G m r T r T GM = = 地 卫 卫 地 由 得 r T m r m r v m r GMm 2 2 2 2 ) 2 ( = = =
四、针对训练 利用下列哪组数据,可以计算出地球质量:() A.已知地球半径和地面重力加速度 B.已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期 6.(198年全国卷)宇航员站在某一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小 C.已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量 球。经过时间,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时 已知同步卫星离地面高度和地球自转周期 的初速度增大到2倍,则抛出点与落地点之间的距离为√L。已知两落地点在同一水 平面上,该星球的半径为R,万有引力常数为G。求该星球的质量M 2.“探路者”号字宙飞船在宇宙深处飞行过程中,发现A、B两颖天体各有一颗靠 近表面飞行的卫星,并测得两颗卫星的周期相等,以下判断错误的是 A.天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比 B.两颗卫星的线速度一定相等 C.天体A、B的质量可能相等 D.天体A、B的密度一定相等 3.已知某天体的第一字宙速度为8km/s,则高度为该天体半径的宇宙飞船运行速 度为 B.4 C. 4 2 km/s D.8 km/s 7.(200年全国理综第23题,16分)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段,着 陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面 4.20年2月30日凌晨,我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射|弹起后,到达最高点时高度为h,速度方向是水平的,速度大小为,求它第二次落到 升空,按预定计划在太空飞行了6天零18个小时,环绕地球8圈后,在内蒙古中部火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的 地区准确着陆,圆满完成了空间科学和技术试验任务,为最终实现载人飞行奠定了坚|半径为周期为7火星可视为半径为的均匀球体 实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知,根据以上数据可估算出“神舟”四 号飞船的 A.离地高度B环绕速度 C发射速度D所受的向心力 5.现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同 层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星,如图7-12所示,两星 各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在 起。已知双星质量分别为赝、,它们间的距离始终为L,引力常量为G,求: (1)双星旋转的中心O到m的距离 (2)双星的转动周期 m 0 图7-12
四、针对训练 1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（ ） A．已知地球半径和地面重力加速度 B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期 C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量 D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期 2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现 A、B 两颗天体各有一颗靠 近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是 A．天体 A、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体 A、B 的质量可能相等 D．天体 A、B 的密度一定相等 3．已知某天体的第一宇宙速度为 8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船运行速 度为 A．2 2 km/s B．4 km/s C．4 2 km/s D．8 km/s 4．2002 年 12 月 30 日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射 升空，按预定计划在太空飞行了 6 天零 18 个小时，环绕地球 108 圈后，在内蒙古中部 地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚 实基础.若地球的质量、半径和引力常量 G 均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四 号飞船的 A.离地高度 B.环绕速度 C.发射速度 D.所受的向心力 5. 现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同 层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图 7－12 所示，两星 各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一 起。已知双星质量分别为 m1、m2，它们间的距离始终为 L，引力常量为 G，求： (1) 双星旋转的中心 O 到 m1的距离； (2) 双星的转动周期。 6．（1998 年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小 球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时 的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3 L。已知两落地点在同一水 平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。 7．（2004 年全国理综第 23 题，16 分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着 陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面 弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 v0，求它第二次落到 火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的 半径为 r，周期为 T。火星可视为半径为 r0的均匀球体。 图 7－12
