第四节万有引力理论的成就 分层训练迎战两考 [A级抓基础] 1.人造卫星绕地球运动只受地球的引力,做匀速圆周运动,其轨道半径为r,线速度 为v,周期为T为使其周围变为87,可采用的方法有() A.保持轨道半径不变,使线速度减小为 B.逐渐减小卫星质量,使轨道半径逐渐增大为4r C.逐渐增大卫星质量,使轨道半径逐渐增大为8r D.保持线速度不变,将轨道半径增加到8r 解析:利用万有引力提供卫星的向心力,可以得出=/,=2x2从中可 以看出:线速度、周期与半径具有一一对应关系,与卫星的质量无关.使轨道半径逐渐增大 为4r,能使其周期变为87,速率同时减小为,B正确,A、C、D错误.故选B. 答案:B 2.科学家们推测,太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上,从地球上看,它永远在太 阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”.由以上信息 我们可能推知() A.这颗行星的公转周期与地球相等 B.这颗行星的自转周期与地球相等 C.这颗行星质量等于地球的质量 D.这颗行星的密度等于地球的密度 解析:由题意知,该行星的公转周期应与地球的公转周期相等,这样,从地球上看,它 才能永远在太阳的背面. 答案:A 3.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,要测定该行星的密度,只需要( A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度 解析:取飞船为研究对象,由一m下及3,知= 答案:A 4.天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径 和运动周期,若知道比例系数G,由此可推算出(
第四节 万有引力理论的成就 [A 级 抓基础] 1．人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为 r，线速度 为 v，周期为 T.为使其周围变为 8T，可采用的方法有( ) A．保持轨道半径不变，使线速度减小为v 8 B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 4r C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 8r D．保持线速度不变，将轨道半径增加到 8r 解析：利用万有引力提供卫星的向心力，可以得出 v＝ GM r ，T＝2π r 3 GM ，从中可 以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关．使轨道半径逐渐增大 为 4r，能使其周期变为 8T，速率同时减小为v 2 ，B 正确，A、C、D 错误．故选 B. 答案：B 2．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太 阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息 我们可能推知( ) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 解析：由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它 才能永远在太阳的背面． 答案：A 3．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，只需要( ) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度 解析：取飞船为研究对象，由 G Mm R 2＝mR 4π2 T 2 及 M＝ 4 3 πR 3ρ，知 ρ＝ 3π GT 2 ，故选 A. 答案：A 4．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径 和运动周期，若知道比例系数 G，由此可推算出( )
A.行星的质量 B.行星的半径 C.恒星的质量 D.恒星的半径 解析:恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力,即 故M= 可求出恒星的质量M,选项C正确.其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期 求出,A、B、D错误 答案:C 5.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C,某时刻恰好在同一过地心 的直线上,如图所示,当卫星B经过一个周期时() 地球 B A.A超前于B,C落后于B B.A超前于B,C超前于B C.A、C都落后于B D.各卫星角速度相等,因而三颗卫星仍在同一直线上 解析:由一m,可得产=2a故轨道半径越大,周期越大,当B经过 个周期时,A已经完成了一个多周期,而C还没有完成一个周期,所以选项A正确,选项 B、C、D错误 答案:A 6.(多选)如图所示,是在同一轨道平面上的三颗质量相同的人造地球卫星,均绕地球做 匀速圆周运动.关于各物理量的关系,下列说法正确的是() ○BQC 地球 A.线速度v>v>ve B.周期>fB>fc C.向心加速度a1>an>ac D.角速度aA>B>ac 解析:根据万有引力提供向心力,有
A．行星的质量 B．行星的半径 C．恒星的质量 D．恒星的半径 解析：恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力，即 G Mm r 2＝mr 4π2 T 2 ，故 M＝ 4π2 r 3 GT 2 ， 可求出恒星的质量 M，选项 C 正确．其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期 求出，A、B、D 错误． 答案：C 5.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星 A、B、C，某时刻恰好在同一过地心 的直线上，如图所示，当卫星 B 经过一个周期时( ) A．A 超前于 B，C 落后于 B B．A 超前于 B，C 超前于 B C．A、C 都落后于 B D．各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上 解析：由 G Mm r 2＝mr 4π2 T 2 ，可得 T＝2π r 3 GM ，故轨道半径越大，周期越大．当 B 经过一 个周期时， A 已经完成了一个多周期，而 C 还没有完成一个周期，所以选项 A 正确， 选项 B、C、D 错误． 答案：A 6.(多选)如图所示，是在同一轨道平面上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做 匀速圆周运动．关于各物理量的关系，下列说法正确的是( ) A．线速度 vA＞vB＞vC B．周期 TA＞TB＞TC C．向心加速度 aA＞aB＞aC D．角速度 ωA＞ωB＞ωC 解析：根据万有引力提供向心力，有 G Mm r 2＝m v 2 r ＝ma＝m 4π2 T 2 r，得 v＝ GM r ，a＝ GM r 2 ，T
Nar由=x,所以线速度吟>>h故A正确:由于7=2x1 GU 半径 越大,周期越大,所以周期a>ac,故C正确:由于a=== ,所以角速度cA> 故D正 答案:ACD [B级提能力] 7.(多选)不可回收的航天器在使用后,将成为太空垃圾.如图所示是漂浮在地球附近的 太空垃圾示意图,对此以下说法中正确的是() A.离地越低的太空垃圾运行周期越小 B.离地越高的太空垃圾运行角速度越小 C.由公式v=√g得,离地球高的太空垃圾运行速率越大 D.太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞 解析:太空垃圾绕地球做匀速圆周运动,根据如= r=mo=m严r可得,离地越 低,周期越小,角速度越大,速度越大,选项A、B正确,选项C错误;太空垃圾与同一轨 道上同向飞行的航天器速率相等,不会相撞,选项D错误. 答案:AB 8.(多选)设地球的半径为R,质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动,地 面的重力加速度为g,则() A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星做圆周运动所需的向心力为一mg D.卫星的周期为2 解析:由M=题和a、W=听2,3作mF3B,.可求得卫星的线速度为v
＝2π r 3 GM .由于 v＝ GM r ，所以线速度 vA＞vB＞vC，故 A 正确；由于 T＝2π r 3 GM ，半径 越大，周期越大，所以周期 TA＜TB＜TC，故 B 错误；由于 a＝ GM r 2 ，半径越大，向心加速度越 小，所以向心加速度 aA＞aB＞aC，故 C 正确；由于 ω＝ 2π T ＝ GM r 3 ，所以角速度 ωA＞ωB ＞ωC，故 D 正确． 答案：ACD [B 级 提能力] 7.(多选)不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾．如图所示是漂浮在地球附近的 太空垃圾示意图，对此以下说法中正确的是( ) A．离地越低的太空垃圾运行周期越小 B．离地越高的太空垃圾运行角速度越小 C．由公式 v＝ gr得，离地球高的太空垃圾运行速率越大 D．太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞 解析：太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，根据 G Mm r 2＝m v 2 r ＝mω 2 r＝m 4π2 T 2 r 可得，离地越 低，周期越小，角速度越大，速度越大，选项 A、B 正确，选项 C 错误；太空垃圾与同一轨 道上同向飞行的航天器速率相等，不会相撞，选项 D 错误． 答案：AB 8．(多选)设地球的半径为 R，质量为 m 的卫星在距地面高为 2R 处做匀速圆周运动，地 面的重力加速度为 g，则( ) A．卫星的线速度为 gR 3 B．卫星的角速度为 g 8R C．卫星做圆周运动所需的向心力为1 9 mg D．卫星的周期为 2π 3R g 解析：由 G Mm R 2＝mg 和 G Mm （3R）2＝m v 2 3R ＝mω 2·3R＝m 4π2 T 2 ·3R，可求得卫星的线速度为 v
角速度 周期T=6 卫星做圆周运动所需的向心力等于万 有引力,即(3B=题,故选项A、C正确 答案:AC 9.假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为函 在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G地球的密度为( 5-g 3π 3π 解析:物体在地球的两极时 物体在赤道上时,则十门=,又地 球质量M=·p,联立以上三式,解得地球的密度P=32 G7(-g),故选项B正确, 选项A、C、D错误 答案:B 10.“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成.探测器原本预计 在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空,自动完成月面样品 采集,并从月球起飞,返回地球,带回约2kg月球样品.某同学从网上得到一些信息,如 表中数据所示,请根据题意,判断地球和月球的密度之比为() 月球半径 月球表面处的重力加速度 地球和月球的半径之比 地球表面和月球表面的重力加速度之比 g D.6 解析:在地球表面,物体的重力近似等于物体所受的万有引力,故=解得∥ 故地球的密度oMG 同理,月球的密度P=4C
＝ gR 3 ，角速度 ω＝ 1 3 g 3R ，周期 T＝6π 3R g ，卫星做圆周运动所需的向心力等于万 有引力，即 F＝G Mm （3R）2＝ 1 9 mg，故选项 A、C 正确． 答案：AC 9．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0， 在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为( ) A. 3π GT 2 · g0－g g0 B. 3π GT 2 · g0 g0－g C. 3π GT 2 D. 3π GT 2 · g0 g 解析：物体在地球的两极时，mg0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg＋m 2π T 2 R＝G Mm R 2 ，又地 球质量 M ＝ 4 3 πR 3·ρ，联立以上三式，解得地球的密度 ρ＝ 3πg0 GT 2（g0－g） ，故选项 B 正确， 选项 A、C、D 错误． 答案：B 10．“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器原本预计 在 2017 年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品 采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如 表中数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R0 月球表面处的重力加速度 g0 地球和月球的半径之比 R R0 ＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比 g g0 ＝6 A. 2 3 B. 3 2 C．4 D．6 解析：在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，故 mg＝G Mm R 2，解得 M＝ gR 2 G ， 故地球的密度 ρ＝ M V ＝ gR 2 G 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR ， 同理，月球的密度 ρ0＝ 3g0 4πGR0
故地球和月球的密度之比_8B6个/2B po goR 答案:B 11.两颗靠得很近的恒星称为双星,这时两颗星必须各自以一定的速率绕其一中心转动, 才不至于因万有引力而吸在一起,已知双星的质量分别为m和踢,相距为L,求 (1)双星转动中心位置 (2)双星转动的周期 解析:设双星的转动中心距m为x,对双星分别列方程 对m 对:(一了产(- 联解可得:x= L,T=2 (m+)G L 答案:(1)x=质+(2)7=2m (m+)G 12.2012年8月,“好奇号”火星探测器登陆火星,已知火星的半径R,“好奇号”登陆 火星前在火星表面绕火星做匀速圆周运动的周期为T,将地球和火星的公转均视为匀速圆周 运动,火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍,引力常量为G 火星,“好奇号” O地球 (1)求火星的质量M及平均密度p (2)火星年相当于多少地球年? 解析:(1)设“好奇号”质量为m,由“好奇号”所受万有引力提供它做圆周运动的向 心力,根据牛顿第二定律,得 B,解得 又由∥p·/。,4 联立解得p=G7 (2)设地球和火星的公转半径分别为n、n2,由火星到地球的最远距离约为最近距离的 五倍,可得 n+n=5×(n-n)
故地球和月球的密度之比ρ ρ0 ＝ gR0 g0R ＝6× 1 4 ＝ 3 2 .故选 B. 答案：B 11．两颗靠得很近的恒星称为双星，这时两颗星必须各自以一定的速率绕其一中心转动， 才不至于因万有引力而吸在一起，已知双星的质量分别为 m1 和 m2，相距为 L，求： (1)双星转动中心位置； (2)双星转动的周期． 解析：设双星的转动中心距 m1 为 x，对双星分别列方程． 对 m1：G m1m2 L 2 ＝m1 4π2 T 2 x； 对 m2：G m1m2 L 2 ＝m2 4π2 T 2 (L－x)． 联解可得：x＝ m2 m1＋m2 L，T＝2πL L （m1＋m2）G . 答案：(1)x＝ m2 m1＋m2 L (2)T＝2πL L （m1＋m2）G 12．2012 年 8 月，“好奇号”火星探测器登陆火星，已知火星的半径 R，“好奇号”登陆 火星前在火星表面绕火星做匀速圆周运动的周期为 T，将地球和火星的公转均视为匀速圆周 运动，火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍，引力常量为 G. (1)求火星的质量 M 及平均密度 ρ； (2)火星年相当于多少地球年？ 解析：(1)设“好奇号”质量为 m，由“好奇号”所受万有引力提供它做圆周运动的向 心力，根据牛顿第二定律，得 G Mm R 2 ＝m 2π T 2 R，解得 M＝ 4π2 R 3 GT 2 ， 又由 M＝ρ·V＝ρ· 4 3 πR 3， 联立解得 ρ＝ 3π GT 2 . (2)设地球和火星的公转半径分别为 r1、r2，由火星到地球的最远距离约为最近距离的 五倍，可得 r1＋r2＝5×(r2－r1)
由开普勒第三定律=k,得 联立解得=36年 答案:)23
由开普勒第三定律r 3 T 2＝k，得r 3 1 T 2 1 ＝ r 3 2 T 2 2 ， 联立解得 T2＝ 3 4 6 年． 答案：(1)4π2 R 3 GT 2 3π GT 2 (2)3 4 6 年