必修二第六章万有引力与航天 第六章《万有引力与航天》知识提纲 知识网络 托勒密:地心说 人类对行哥白尼:日心说 星运动规〈开普勒「第一定律(轨道定律) 行星 第二定律(面积定律) 律的认识 第三定律(周期定律) 运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容 万有引力定律F=6mmn2 引力常数的测定 万有引力定律称量地球质量M 万有引力 4 的理论成就 GT 4丌2R3 与航天 计算天体质量 =R. M 4丌2r 人造地球卫星 Mm 宇宙航行 宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度第二宇宙速度112km/s 地三宇宙速度16.7km/s 第1页共
必修二第六章万有引力与航天 第 1 页 共 13 页 第六章 《万有引力与航天》知识提纲 一、知识网络 托勒密：地心说 人类对行 哥白尼：日心说 星运动规 开普勒 第一定律（轨道定律） 行星 第二定律（面积定律） 律的认识 第三定律（周期定律） 运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容 万有引力定律 F＝G 2 1 2 r m m 引力常数的测定 万有引力定律 称量地球质量 M＝ G gR2 万有引力 的理论成就 M＝ 2 2 3 4 GT r 与航天 计算天体质量 r＝R,M= 2 2 3 4 GT R M= G gR2 人造地球卫星 M= 2 2 3 4 GT r 宇宙航行 G 2 r Mm = m r v 2 mr 2 ma 第一宇宙速度 7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度 11.2km/s 地三宇宙速度 16.7km/s
必修二第六章万有引力与航天 二、重点内容讲解 1、计算重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度,在忽略地球自转的情况下,可用万有引力定律来计算。 598*10 F引=G=6.67*10-11* (6730*10)=9.80ms2)=9.8V/kg 即在地球表面附近,物体的重力加速度g=9.8m/s2。这一结果表明,在重力作用下,物体 加速度大小与物体质量无关。 (2)即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得: GM GM g R 又 (R+h)2 g (R+h) r+h (3)计算任意天体表面的重力加速度g’。有万有引力定律得: g=CM(w为星球质量,R’卫星球的半径),又g=CM,:S=M:()3 R g M R 注意:在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系,万有引力的 另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少,我们可以 忽略,所以在地球表面的物体F引=G 2、天体运行的基本公式 在宇宙空间,行星和卫星运行所需的向心力,均来自于中心天体的万有引力。因此万有 引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。 (1)向心力的六个基本公式,设中心天体的质量为M,行星(或卫星)的圆轨道半径为r, 则向心力可以表示为:F麻F=QM=m≤my2 =mr@-=mr(-)'=mr(2nf)=m@ve (2)五个比例关系:(r为行星的轨道半径) Mm 向心力:F=G 向心加速度:a=G a∝ CGM 得o=,GM mr()2:得T=221G.TVF3 第2页共
必修二第六章万有引力与航天 第 2 页 共 13 页 二、重点内容讲解 1、计算重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。 F 引=G 2 R M =6.67* 11 10 − * 3 2 24 (6730*10 ) 5.98*10 =9.8(m/ 2 s )=9.8N/kg 即在地球表面附近，物体的重力加速度 g＝9.8m/ 2 s 。这一结果表明，在重力作用下，物体 加速度大小与物体质量无关。 （2）即算地球上空距地面 h 处的重力加速度 g’。有万有引力定律可得： g’＝ 2 (R h) GM + 又 g＝ 2 R GM ，∴ g g' ＝ 2 2 (R h) R + ，∴g’＝ 2 ( ) R h R + g （3）计算任意天体表面的重力加速度 g’。有万有引力定律得： g’＝ 2 ' ' R GM （M’为星球质量，R’卫星球的半径），又 g＝ 2 R GM ，∴ g g' ＝ 2 ) ' ( ' R R M M • 。 注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的 另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少，我们可以 忽略，所以在地球表面的物体 F 引=G 2、天体运行的基本公式 在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有 引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。 （1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为 M，行星（或卫星）的圆轨道半径为 r， 则向心力可以表示为：F 引=F 向， Fn ＝G 2 r Mm ＝ma＝m r v 2 =mr 2 =mr 2 ) 2 ( T =mr 2 (2f ) =m v。 （2）五个比例关系：（r 为行星的轨道半径） 向心力： Fn ＝G 2 r Mm ，F∝ 2 1 r ； 向心加速度：a=G 2 r M , a∝ 2 1 r ； ① G 2 r Mm ＝m r v 2 ； 得 v＝ r GM ，v∝ r 1 ； ②G 2 r Mm ＝m r 2 ；得 ＝ 3 r GM ， ∝ 3 1 r ； ③G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ； 得 T＝2 GM r 3 ，T∝ 3 r ；
必修二第六章万有引力与航天 (3)v与O的关系。在r一定时,v=ro,v∝o;在r变化时,如卫星绕一螺旋轨道远离或 靠近中心天体时,r不断变化,v、O也随之变化。根据,、11,这时v与O 为非线性关系,而不是正比关系 3、引力常量的意义 GM 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得:G =k.这实际 上是开普勒第三定律。它表明2=k是一个与行星无关的物理量,它仅仅取决于中心天体 的质量。在实际做题时,它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运 办,在处理人造卫星问题时,只要围绕同一星球运转的卫星,均可使用该公式。 4、估算中心天体的质量和密度 (1)中心天体的质量,根据万有引力定律和向心力表达式可得: 4丌2r3 M (2)中心天体的密度 方法一:中心天体的密度表达式p V=-mR(R为中心天体的半径),根据前 面M的表达式可得:p3m3 G。当r=R即行星或卫星沿中心天体表面运行时,p= G2。此时表面只要用一个计时工具,测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时 间,周期T,就可简捷的估算出中心天体的平均密度。 方法二:由GM进行估算,p M 3g G 4GTR 第3页共
必修二第六章万有引力与航天 第 3 页 共 13 页 （3）v 与 的关系。在 r 一定时，v=r ,v∝ ;在 r 变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或 靠近中心天体时，r 不断变化，v、 也随之变化。根据，v∝ r 1 和 ∝ 3 1 r ，这时 v 与 为非线性关系，而不是正比关系。 3、引力常量的意义 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ∴ k GM T r = = 2 2 3 4 .这实际 上是开普勒第三定律。它表明 k T r = 2 3 是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体 的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运 动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 4、估算中心天体的质量和密度 （1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得： G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ， ∴M＝ 2 2 3 4 GT r （2）中心天体的密度 方法一：中心天体的密度表达式ρ＝ V M ，V＝ 3 4 3 R （R 为中心天体的半径），根据前 面 M 的表达式可得：ρ＝ 2 3 3 3 GT R r 。当 r＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝ 2 3 GT 。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时 间，周期 T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。 方法二：由 g= 2 R GM ,M= G gR2 进行估算，ρ＝ V M ，∴ρ＝ G R g 4 3
必修二第六章万有引力与航天 5、稳定运行与变轨运行 (1)稳定运行: 某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时,始终满足F引=F向,即 GMm mmy 2 所以 GM 故r越大时,v越小;r越小时,v越 (2)变轨运行: GM 某天体皿最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足 ,由于某原因其v变大,此时 其所需要的向心力Fn=变大,万有引力F GMm 不足以提供向心力时,m就做离 心运动,运动到较高轨道2做稳定的圆周运动,此时v比原轨道1处的v小;反之,若在轨 道1处ⅴ突然变小时,将会到较低轨道3稳定运行,此时v比原轨道1要大 三、常考模型规律示例总结 1.对万有引力定律的理解 (1)万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比,两物体间引力的方向沿着二者的连线 (2)公式表示:RC (3)引力常量G:①适用于任何两物体 ②意义:它在数值上等于两个质量都是1kg的物体(可看成质点)相距 1m时的相互作用力 ③G的通常取值为G=6。67×10Nm/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得 (4)适用条件:①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时,物体可看成质点,直接使用万有引力定律计算 ②当两物体是质量均匀分布的球体时,它们间的引力也可以直接用公式计算,但式中的r 是指两球心间的距离 ③当所研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个 质点与另一物体上所有质点的万有引力,然后求合力。(此方法仅给学生提供一种思路) (5)万有引力具有以下三个特性 ①普遍性:万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间 的相互吸引力,它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律 ③宏观性:通常情况下,万有引力非常小,只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在 才有宏观的物理意义,在微观世界中,粒子的质量都非常小,粒子间的万有引力可以忽略不 第4页共
必修二第六章万有引力与航天 第 4 页 共 13 页 5、稳定运行与变轨运行 （1）稳定运行： 某天体 m 围绕某中心天体 M 稳定做圆周运动时，始终满足 F 引=F 向，即： 2 2 GMm mv r r = 所以 v＝ r GM ，故 r 越大时，v 越小；r 越小时，v 越大； （2）变轨运行： 某天体 m 最初沿某轨道 1 稳定做圆周运动满足 2 2 GMm mv r r = ，由于某原因其 v 变大，此时 其所需要的向心力 2 n mv F r = 变大，万有引力 2 GMm F r 引 = 不足以提供向心力时，m 就做离 心运动，运动到较高轨道 2 做稳定的圆周运动，此时 v 比原轨道 1 处的 v 小；反之，若在轨 道 1 处 v 突然变小时，将会到较低轨道 3 稳定运行，此时 v 比原轨道 1 要大； 三、常考模型规律示例总结 1. 对万有引力定律的理解 （1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F= 2 1 2 r Gm m 。 （3）引力常量 G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体（可看成质点）相距 1m 时的相互作用力。 ③G 的通常取值为 G=6。67×10-11Nm2 /kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。 （4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的 r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个 质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性： ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间 的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在 才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不 计
必修二第六章万有引力与航天 〖例1〗设地球的质量为M,地球的半径为R,物体的质量为m,关于物体与地球间的万有引 力的说法,正确的是: A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力 物体距地面的高度为h时,物体与地球间的万有引力为F= B、物体放在地心处,因r=0,所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时,则引力为F= GMm 4R 〖答案〗D 〖总结〗(1)矫揉造作配地球之间的吸引是相互的,由牛顿第三定律,物体对地球与地球对 物体的引力大小相等 (2)F= 中的r是两相互作用的物体质心间的距离,不能误认为是两物体表面间 的距离。 (3)F=Gmm适用于两个质点间的相互作用,如果把物体放在地心处,显然地球已不能 看为质点,故选项C的推理是错误的。 〖变式训练1】对于万有引力定律的数学表达式F=Omm2,下列说法正确的是 A、公式中G为引力常数,是人为规定的。 B、r趋近于零时,万有引力趋于无穷大 C、m、m之间的引力总是大小相等,与m、m的质量是否相等无关。 D、m、m之间的万有引力总是大小相等,方向相反,是一对平衡力。 〖答案〗C 第5页共
必修二第六章万有引力与航天 第 5 页 共 13 页 〖例 1〗设地球的质量为 M，地球的半径为 R，物体的质量为 m，关于物体与地球间的万有引 力的说法，正确的是： A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。 A、 物体距地面的高度为 h 时，物体与地球间的万有引力为 F= 2 h GMm 。 B、 物体放在地心处，因 r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为 R 时，则引力为 F= 2 4R GMm 〖答案〗D 〖总结〗（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对 物体的引力大小相等。 （2）F= 2 1 2 r Gm m 。中的 r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间 的距离。 （3）F= 2 1 2 r Gm m 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能 看为质点，故选项 C 的推理是错误的。 〖变式训练 1〗对于万有引力定律的数学表达式 F= 2 1 2 r Gm m ，下列说法正确的是： A、公式中 G 为引力常数，是人为规定的。 B、r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。 C、m1、m2 之间的引力总是大小相等，与 m1、m2 的质量是否相等无关。 D、m1、m2 之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 〖答案〗C
必修二第六章万有引力与航天 2.计算中心天体的质量 解决天体运动问题,通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动,处在圆心 的天体称作中心天体,绕中心天体运动的天体称作运动天体,运动天体做匀速圆周运动所需 的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。 G=m2=m2=m(2x)2=m式中M为中心天体的质量、m为运动天体的 质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天 体的轨道半径 (1)天体质量的估算 通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运 4 根据万有引力提供向心力,有 GMm 注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大 的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆 用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积 =4mR3,进而还可求得天体的密度.P=VG7)如果卫星在天体表面运行,则 r=R,则上式可简化为PG 规律总结: ①掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来 提供的 ②物体在天体表面受到的重力也等于万有引力 ③注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行运行半径等于星球半径 (2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律 研究行星(或卫星)运动的一般方法为:把行星(或卫星)运动当做匀速圆周运动,向 心力来源于万有引力,即:CMm=m2 mr2=m(2x)2 根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算,必要时还须考虑物体在天体表面所受的 万有引力等于重力,即 GMm 第6页共
必修二第六章万有引力与航天 第 6 页 共 13 页 2. 计算中心天体的质量 解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心 的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需 的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。 ma T mr mr r mv r GMm = = = = 2 2 2 2 ) 2 ( 式中 M 为中心天体的质量,Sm 为运动天体的 质量,a 为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T 为运动天体的周期,r 为运动天 体的轨道半径. (1)天体质量的估算 通过测量天体或卫星运行的周期 T 及轨道半径 r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运 动.根据万有引力提供向心力,有 2 2 ) 2 ( T mr r GMm = ,得 2 2 3 4 GT r M = 注意:用万有引力定律计算求得的质量 M 是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大 的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的 m,二者不能混淆. 用上述方法求得了天体的质量 M 后,如果知道天体的半径 R,利用天体的体积 3 3 4 V = R ,进而还可求得天体的密度. 2 3 3 3 GT R r V M = = 如果卫星在天体表面运行,则 r=R,则上式可简化为 2 3 GT = 规律总结: ① 掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来 提供的. ② 物体在天体表面受到的重力也等于万有引力. ③ 注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径. (2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律 研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向 心力来源于万有引力，即： 2 2 2 2 ) 2 ( T mr mr r mv r GMm = = = 根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的 万有引力等于重力，即 mg R GMm = 2
必修二第六章万有引力与航天 (3)利用万有引力定律发现海王星和冥王星 〖例2〗已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r,地球半径为R求(1)地球的质量?(2) 地球的平均密度? 〖思路分析〗 (1)设月球质量为皿,月球绕地球做匀速圆周运动, GMm mr(2)2 ,、4m2r3 GT or (2)地球平均密度为p=MnGT2R3 42r 谷案:M GT2R 总结:①已知运动天体周期T和轨道半径r,利用万有引力定律求中心天体的质量 ②求中心天体的密度时,求体积应用中心天体的半径R来计算。 〖变式训练2〗人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后,绕该行星做匀速圆周运动 已知该行星的半径为R,探测器运行轨道在其表面上空高为h处,运行周期为T。 (1)该行星的质量和平均密度?(2)探测器靠近行星表面飞行时,测得运行周期为T,则 行星平均密度为多少? 答案:(1)M= 4T(R+h) 3T(R+h) GT- GTR GT 第7页共
必修二第六章万有引力与航天 第 7 页 共 13 页 （3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星 〖例 2〗已知月球绕地球运动周期 T 和轨道半径 r，地球半径为 R 求（1）地球的质量？（2） 地球的平均密度？ 〖思路分析〗 （1） 设月球质量为 m，月球绕地球做匀速圆周运动， 则： 2 2 ) 2 ( T mr r GMm = ， 2 2 3 4 GT r M = （2）地球平均密度为 2 3 3 3 3 3 4 GT R r R M = = 答案： 2 2 3 4 GT r M = ； 2 3 3 3 GT R r = 总结：①已知运动天体周期 T 和轨道半径 r，利用万有引力定律求中心天体的质量。 ②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径 R 来计算。 〖变式训练 2〗人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动， 已知该行星的半径为 R，探测器运行轨道在其表面上空高为 h 处，运行周期为 T。 （1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为 T1，则 行星平均密度为多少？ 答案：（1） 2 2 3 4 ( ) GT R h M + = ； 2 3 3 3 ( ) GT R R + h = （2） 2 1 3 GT =
必修二第六章万有引力与航天 3.地球的同步卫星(通讯卫星 同步卫星:相对地球静止,跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星,周期T=24h,同步卫 星又叫做通讯卫星。 同步卫星必定点于赤道正上方,且离地高度h,运行速率v是唯一确定的 设地球质量为m,地球的半径为R=64×10°m,卫星的质量为m,根据牛顿第二定 m m(Rth R 设地球表面的重力加速度g=98m/s2,则 Gm′=R 以上两式联立解得: 64×105)×(24×3600)2x98 4×3.142 同步卫星距离地面的高度为 h=(42×10-64×10°)m=356×10m 同步卫星的运行方向与地球自转方向相同 注意:赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别 在有的问题中,涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较,地球赤道上的物体随 地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心,而且两者做匀速圆周运动的半径均 可看作为地球的R,因此,有些同学就把两者混为一谈,实际上两者有着非常显著的区别。 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供,但由于地球自 转角速度不大,万有引力并没有全部充当向心力,向心力只占万有引力的一小部分,万有引 力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力(请同学们思考:若地球自转角速度逐渐变 大,将会出现什么现象?)而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星,万有引力全部充当向心 力 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止,因此它做圆周运 动的周期应与地球自转的周期相同,即24小时,其向心加速度a=4nR 0.034m/s2:而绕地球表面运行的近地卫星,其线速度即我们所说的第一宇宙速度, 它的周期可以由下式求出 Mm4丌 R 求得T=2 VGM,代入地球的半径R与质量,可求出地球近地卫星绕地球的运行周期 第8页共
必修二第六章万有引力与航天 第 8 页 共 13 页 3. 地球的同步卫星（通讯卫星） 同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期 T=24h，同步卫 星又叫做通讯卫星。 同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度 h，运行速率 v 是唯一确定的。 设地球质量为 m ，地球的半径为 6 R=6.4 10 m × ，卫星的质量为 m ，根据牛顿第二定 律 ( ) ( ) 2 2 m m 2π G =m R+h R+h T 设地球表面的重力加速度 2 g=9.8m s ，则 2 Gm =R g 以上两式联立解得： ( ) ( ) 2 2 6 2 2 3 3 2 2 7 R T g 6.4 10 24 3600 9.8 R+h= = m 4π 4 3.14 =4.2 10 m × × × × × × 同步卫星距离地面的高度为 ( ) 7 6 7 h= 4.2 10 6.4 10 m=3.56 10 m × － × × 同步卫星的运行方向与地球自转方向相同 注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别 在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随 地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均 可看作为地球的 R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自 转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引 力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变 大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心 力。 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运 动的周期应与地球自转的周期相同，即 24 小时，其向心加速度 2 2 4π R a= T 2 0.034m s ；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度， 它的周期可以由下式求出： 2 2 2 Mm 4π G =m R R T 求得 3 R T=2π GM ，代入地球的半径 R 与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期
必修二第六章万有引力与航天 T约为84min,此值远小于地球自转周期,而向心加速度a= GM R28m/s2远大于自转时 向心加速度。 [例3]已知地球的半径为R=6400m,地球表面附近的重力加速度g=98m/s2,若发射一颗 地球的同步卫星,使它在赤道上空运转,其高度和速度应为多大 [思路分析]:设同步卫星的质量为m,离地面的高度的高度为h,速度为v,周期为T,地球 的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期 g y(R+)/2z Mm (R+h T 由①②两式得 600)2(24×36003×98 m-6400×103m 4×3.142 =3.56×10m Mm 又因为G -m R+h)(R+h) 由①③两式得 Rg_|(64003098 R+hV6400×103+356×10 m/s=3.l×10m/s [答案]:h=356×107mv=3,1×103m/s 利用在地面上Gm和在执道上o(m(()两火 解题 [变式训练3] 下面关于同步卫星的说法正确的是( A.同步卫星和地球自转同步,卫星的高度和速率都被确定 B.同步卫星的角速度虽然已被确定,但高度和速率可以选择,高度增加,速率增大;高度 降低,速率减小 C.我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟,比同步卫星的周期短,所以第一颗 人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低 D.同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]:ACD 第9页共
必修二第六章万有引力与航天 第 9 页 共 13 页 T 约为 84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度 2 2 GM a = =9.8m s R 远大于自转时 向心加速度。 [例 3] 已知地球的半径为 R=6400km，地球表面附近的重力加速度 2 g=9.8m s ，若发射一颗 地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？ [思路分析]：设同步卫星的质量为 m，离地面的高度的高度为 h，速度为 v，周期为 T，地球 的质量为 M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。 2 Mm G =mg R ① ( ) ( ) 2 2 Mm 2π G =m R+h R+h T ② 由①②两式得 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 7 R T g 6400 10 24 3600 9.8 h= -R m 6400 10 m 4π 4 3.14 3.56 10 m = − = 又因为 ( ) ( ) 2 2 Mm v G =m R+h R+h ③ 由①③两式得 ( ) 2 3 2 3 3 7 R g 6400 10 9.8 v= m s 3.1 10 m s R+h 6400 10 3.56 10 = = + [答案]： 7 3 h 3.56 10 m v 3.1 10 m s = = [总结]：此题利用在地面上 2 Mm G =mg R 和在轨道上 ( ) ( ) 2 2 Mm 2π G =m R+h R+h T 两式联立 解题。 [变式训练 3] 下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定 B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度 降低，速率减小 C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是 114 分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗 人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低 D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD
必修二第六章万有引力与航天 万有引力与航天单元测试题 选择题 1.关于万有引力定律的表达式F=Gm,下面说法中正确的是 A.公式中G为引力常量,它是由实验测得的 B.当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大 C.m1与m2相互的引力总是大小相等,方向相反是一对平衡力 D.m1与m2相互的引力总是大小相等,而且与m1、m2是否相等无关 2.设想人类开发月球,不断把月球上的矿藏搬运到地球上,假定经过长时间开采后,地球 仍可看作是均匀的球体,月球仍沿开采前的圆周轨道运动,则与开采前相比() A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短 3.某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的一半,若从地球上高h处平抛一物体, 射程为60m,则在该星球上,从同样高度以同样的初速度平抛同一物体,射程应为() C.90m 4.如图中的圆a、b、c,其圆心均在地球的自转轴线上 对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言() A.卫星的轨道可能为aB.卫星的轨道可能为bC.卫星的轨道可能为 步卫星的轨道只可能为 5.目前的航天飞机飞行的轨道都是近地轨道,一般在地球上空300~700km飞行,绕地球飞 行一周的时间为90min左右。这样,航天飞机里的宇航员在24h内可以见到的日出日落的 次数为() A.0.38 D.6 6.一颗人造地球卫星以初速度ν发射后,可绕地球做匀速圆周运动,若使发射速度为2 则该卫星可能() A.绕地球做匀速圆周运动,周期变大 B.绕地球运动,轨道变为椭圆 C.不绕地球运动,成为太阳系的人造行星 D.挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系 以外的宇宙 7.地球上有两位相距非常远的观察者,都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星,相对自 己静止不动,则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是() A.一人在南极,一人在北极,两卫星到地球中心的距离一定相等 B.一人在南极,一人在北极,两卫星到地球中心的距离可以不等,但应成整数倍 C.两人都在赤道上,两卫星到地球中心的距离一定相等 D.两人都在赤道上,两卫星到地球中心的距离可以不等,但应成整数倍 8.人造地球卫星的轨道半径越大,则() A.速度越小,周期越小B.速度越小,周期越大C.速度越大,周期越小D.速 度越大,周期越大
必修二第六章万有引力与航天 第 10 页 共 13 页 万有引力与航天单元测试题 一、选择题 1．关于万有引力定律的表达式 F=G 2 1 2 r m m ，下面说法中正确的是 （ ） A．公式中 G 为引力常量，它是由实验测得的 B．当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．m1 与 m2 相互的引力总是大小相等，方向相反是一对平衡力 D．m1 与 m2 相互的引力总是大小相等，而且与 m1、m2 是否相等无关 2．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球 仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 （ ） A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将变小 C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短 3．某星球的质量约为地球的 9 倍，半径约为地球的一半，若从地球上高 h 处平抛一物体， 射程为 60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 （ ） A．10m B．15m C．90m D．360m 4．如图中的圆 a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上， 对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言 （ ） A．卫星的轨道可能为 a B．卫星的轨道可能为 b C．卫星的轨道可能为 c D．同 步卫星的轨道只可能为 b 5．目前的航天飞机飞行的轨道都是近地轨道，一般在地球上空 300~700km 飞行，绕地球飞 行一周的时间为 90min 左右。这样，航天飞机里的宇航员在 24h 内可以见到的日出日落的 次数为 （ ） A．0.38 B．1 C．2.7 D．6 6．一颗人造地球卫星以初速度 v 发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度为 2v， 则该卫星可能 （ ） A．绕地球做匀速圆周运动，周期变大 B．绕地球运动，轨道变为椭圆 C．不绕地球运动，成为太阳系的人造行星 D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系 以外的宇宙 7．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自 己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是（ ） A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等 B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等 D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 8．人造地球卫星的轨道半径越大，则 （ ） A．速度越小，周期越小 B．速度越小，周期越大 C．速度越大，周期越小 D．速 度越大，周期越大