第四节万有引力理论的成就 课堂探究 探究一计算被环绕天体质量的几种方法 问题导引 观察下面两幅图片,请思考:(1)如果知道自己的重力,你能否求出地球的质量:(2) 如何能测得太阳的质量呢? 提示:(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力,根据mg=Cm可求地球质量:(2)地 GM 2 J 球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供,根据 )2r可求太阳质量 名师精讲 应用万有引力定律,不仅可以计算太阳的质量,还可以计算其他天体的质量。下面以地 球质量的计算为例,介绍几种关于天体质量的方法。 已知条件 求解方法 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期 )2r得 4丌2r3 7,半径为r 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r GM=m得MG v2 和月球运行的线速度v 已知卫星运行的线速度v和运行周期T 由-2=mV和-2=m得M= 2πG 已知地球的半径R和地球表面的重力加速 由m=Gn得M= 度g 特别提醒(1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量,而不能求出 做圆周运动的行星或卫星的质量 (2)若已知星球表面的重力加速度g和星球的半径,忽略星球自转的影响,则星球对 物体的万有引力等于物体的重力,有=题,所以旋 其中CM′=sR是在有关计算中常用到的一个替换关系,被称为“黄金替换” 【例1】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为,假设宇航 员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示
第四节 万有引力理论的成就 课堂探究 探究一 计算被环绕天体质量的几种方法 问题导引 观察下面两幅图片，请思考：(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量；(2) 如何能测得太阳的质量呢？ 提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据 mg＝G Mm R 2可求地球质量；(2)地 球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据GMm r 2 ＝m( 2π T ) 2 r 可求太阳质量。 名师精讲 应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地 球质量的计算为例，介绍几种关于天体质量的方法。 已知条件 求解方法 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期 T，半径为 r 由 GMm r 2 ＝m( 2π T ) 2 r 得 M＝ 4π2 r 3 GT 2 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v 由 GMm r 2 ＝m v 2 r 得 M＝ v 2 r G 已知卫星运行的线速度 v 和运行周期 T 由 GMm r 2 ＝m 2π T v 和 GMm r 2 ＝m v 2 r 得 M＝ v 3 T 2πG 已知地球的半径R和地球表面的重力加速 度 g 由 mg＝G Mm R 2得 M＝ gR 2 G 特别提醒 (1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出 做圆周运动的行星或卫星的质量。 (2)若已知星球表面的重力加速度 g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对 物体的万有引力等于物体的重力，有GMm R 2 ＝mg，所以 M＝ gR 2 G 。 其中 GM＝gR 2 是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金替换”。 【例 1】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v0，，假设宇航 员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示
数为,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( 解析:卫星在行星表面附近做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律 有F=P字航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为,则 属,解得M=,B项正确 答案:B 题后反思求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据重力等于万有引力,即mg= 求得∥5F 另一种方法是根据万有引力等于向心力,即 7n,求得4x 当然,无论哪种方法只能求中心天体的质量。 探究二应用万有引力定律分析计算天体运动的问题 问题导引 双女座 春分点 宝瓶座 地球 星 003年8月29日,火星、地球和太阳处于三点一线,上演“火星冲日”的天象奇观。 这是6万年来火星距地球最近的一次,与地球之间的距离只有5576万千米,为人类研究火 星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图,请思考: (1)该时刻火星和地球谁的速度大呢? (2)在经过一年时间,火星是否又回到了原位置? 提示:()火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动可得vVP故地球的速 度大:(2)在经过一年,地球回到原来位置,火星的周期大于地球的周期,火星还没有回到 原位置 名师精讲 1.两条思路一—两个重要的关系式 (1)质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时,由牛顿 第二定律及圆周运动知识得=m1=m=朋1=m2) (2)质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力,即 2.几个重要的物理量
数为 N0，已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( ) A. mv 2 GN0 B. mv 4 GN0 C. N0v 2 Gm D. N0v 4 Gm 解析：卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律 有 G Mm′ R 2 ＝m′ v 2 R ，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为 m 的物体的重为 N0，则 G Mm′ R 2 ＝N0，解得 M＝ mv 4 GN0 ，B 项正确。 答案：B 题后反思 求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力等于万有引力，即 mg＝ G Mm R 2 ，求得 M＝ gR 2 G ；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即 G Mm r 2＝m( 2π T ) 2 r，求得 M＝ 4πr 3 GT 2 。 当然，无论哪种方法只能求中心天体的质量。 探究二 应用万有引力定律分析计算天体运动的问题 问题导引 2003 年 8 月 29 日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。 这是 6 万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有 5 576 万千米，为人类研究火 星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，请思考： (1)该时刻火星和地球谁的速度大呢？ (2)在经过一年时间，火星是否又回到了原位置？ 提示：(1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动 G Mm R 2＝m v 2 R ，可得 v＝ GM R ，故地球的速 度大；(2)在经过一年，地球回到原来位置，火星的周期大于地球的周期，火星还没有回到 原位置。 名师精讲 1．两条思路——两个重要的关系式 (1)质量为 m 的行星绕质量为 M 的星体在半径为 r 的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿 第二定律及圆周运动知识得 G Mm r 2＝man＝m v 2 r ＝mω2 r＝m( 2π T ) 2 r。 (2)质量为 m 的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即 G Mm R 2＝mg。 2．几个重要的物理量
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 由学一得√=,越大天体的r越小 (2)由 得 r越大,天体的a越小 ()由m=m(7)2得7=2xr越大,天体的7越大 ()由=m得a=,r越大,天体的a越小 利用上述结论可以对行星运动的线速度V、角速度ω、周期T以及向心加速度a等进 行定性分析,也可以进行定量计算。 【例2】(多选)如图所示,飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速 圆周运动,不考虑质量变化,相对于在轨道1上,飞船在轨道2上的() 轨道2 地球 轨道1 A.速度大B.向心加速度大 C.运动周期长D.角速度小 解析:飞船绕中心天体做匀速圆周运动,万有引力提供向心力 =mO RR 以(2五)3,可判断飞船在2轨道上速度小,向心加速度小,周期长,角速度小,正确选项为 答案 题后反思解决该类问题要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型:就是将天体(或卫星) 的运动看成是匀速圆周运动:二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征,即天体(或卫星) 的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论:在向心加速度、线速度、角速度和周期四个 物理量中,只有周期的值随着轨道半径的变大而增大,其余的三个都随轨道半径的变大而减 探究三双星问题的分析思路 问题导引 宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”,两颗天体以它们连线上的一点为圆 心,做匀速圆周运动,两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考
设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动。 (1)由 G Mm r 2＝m v 2 r 得 v＝ GM r ，r 越大，天体的 v 越小。 (2)由 G Mm r 2＝mω2 r 得 ω＝ GM r 3 ，r 越大，天体的 ω 越小。 (3)由 G Mm r 2＝m( 2π T ) 2 r 得 T＝2π r 3 GM ，r 越大，天体的 T 越大。 (4)由 G Mm r 2＝man 得 an＝ GM r 2 ，r 越大，天体的 an 越小。 利用上述结论可以对行星运动的线速度 v、角速度 ω、周期 T 以及向心加速度 an 等进 行定性分析，也可以进行定量计算。 【例 2】 (多选) 如图所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2。若飞船在两轨道上都做匀速 圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( ) A．速度大 B．向心加速度大 C．运动周期长 D．角速度小 解析：飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即GMm R 2 ＝ mv 2 R ＝mω2 R＝ m( 2π T ) 2 R，可判断飞船在 2 轨道上速度小，向心加速度小，周期长，角速度小，正确选项为 CD。 答案：CD 题后反思 解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星) 的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星) 的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个 物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减 小。 探究三 双星问题的分析思路 问题导引 宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆 心，做匀速圆周运动，两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考：
(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供? 2)两颗天体做应注意的周期有什么关系? 提示:(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供:(2)因两天体及圆 心始终在同一条直线上,所以两颗天体转动的周期必定相同 名师精讲 1.双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作是匀速圆周运动,其向心力由两颗恒星间的万有引 力提供。由于力的作用是相互的,所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的,利用万 有引力定律可以求得其大小 2.双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系 两子星绕着连线上的一点做圆周运动,所以它们的运动周期是相等的,角速度也是相等 的,所以线速度与两子星的轨道半径成正比 3.两子星做圆周运动的动力学关系 设双星的两子星的质量分别为M和M,相距L,M和的线速度分别为v和v,角速 度为ω,由万有引力定律和牛顿第二定律得 M OM 对M:=M=Mn 对M: 一=丛n22 警示在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两 子星做圆周运动的轨道半径 【例3】(多选)两颗靠得很近的天体称为双星,它们都绕两者连线上某点做匀速圆周 运动,因而不至于由于万有引力而吸引到一起,以下说法正确的是( A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成正比 B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供？ (2)两颗天体做应注意的周期有什么关系？ 提示：(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供；(2)因两天体及圆 心始终在同一条直线上，所以两颗天体转动的周期必定相同。 名师精讲 1．双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作是匀速圆周运动，其向心力由两颗恒星间的万有引 力提供。由于力的作用是相互的，所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万 有引力定律可以求得其大小。 2．双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系 两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。 3．两子星做圆周运动的动力学关系 设双星的两子星的质量分别为 M1 和 M2，相距 L，M1 和 M2 的线速度分别为 v1 和 v2，角速 度为 ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得 对 M1：G M1M2 L 2 ＝M1 v 2 1 r1 ＝M1r1ω 2 对 M2：G M1M2 L 2 ＝M2 v 2 2 r2 ＝M2r2ω2 警示在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两 子星做圆周运动的轨道半径。 【例 3】 (多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周 运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法正确的是( ) A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成正比 B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
C.它们做圆周运动的半径之比与其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比 解析:两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等,角速度也相等,选项A错误;由 =rω得线速度与两子星做圆周运动的半径成正比,因两子星圆周运动的向心力是由两子 星间的万有引力提供,向心力大小相等,由dM二Mna和dM是 =是“可知:Mn2= 超z2ω32,所以它们的轨道半径与其质量成反比,选项D正确、C错误:而线速度又与轨道半 径成正比,所以线速度与其质量也成反比,选项B正确 答案:BD 题后反思解决双星模型的习题时,应注意以下几点:其一,两星之间的万有引力提供 各自所需要的向心力:其二,两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同:其三, 两星的轨道半径之和等于两星间的距离
C．它们做圆周运动的半径之比与其质量成正比 D．它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比 解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项 A 错误；由 v＝rω 得线速度与两子星做圆周运动的半径成正比，因两子星圆周运动的向心力是由两子 星间的万有引力提供，向心力大小相等，由 G M1M2 L 2 ＝M1r1ω2 和 G M1M2 L 2 ＝M2r2ω2 可知：M1r1ω2＝ M2r2ω2，所以它们的轨道半径与其质量成反比，选项 D 正确、C 错误；而线速度又与轨道半 径成正比，所以线速度与其质量也成反比，选项 B 正确。 答案：BD 题后反思 解决双星模型的习题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供 各自所需要的向心力；其二，两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三， 两星的轨道半径之和等于两星间的距离